综合与实践6 生活中的优化问题&第30章 直线与圆的位置关系拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第三十章直线与圆的位置关系 综合与实践6生活中的优化问题 1.如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为α，b,4r的长方体纸箱，饮料罐可近似看成 底面半径为r,高为4r的圆柱体.如图②，若纸箱里装满了一层饮料，则纸箱的空间利用率为（空 间利用率为饮料罐总体积与纸箱容积的比，纸箱的厚度忽略不计) () 包装箱 ○○○○…0 ① ② (第1题) A牙 B.πr2 ab D. Aab 2.(1)如图①，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门PQ,当他带球冲到点A处时，队友乙已冲到 点B处，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对于上面这个问题，小明结合图①判断甲的视角∠PAQ小于乙的视角∠PBQ,根据“仅从射门 角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙.请结合 图①给出小明得到∠PAQ<∠PBQ的理由. (2)德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图②，A,B是平面内两个定 点，C是直线L上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与L相切于点C时，∠ACB最大. 如图③，∠MPN=30°，A,B是边PM上两点，AB=6,C是边PN上一动点， ①若∠ACB最大为90°，求PC的长 ②若∠ACB最大不超过60°，请直接写出PA长的取值范围. ① ③ (第2题) 》“答案与解析”见P75 115 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第三十章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线1的距离为3，P为圆上的一个动点，则点P 到直线的最大距离是 () A.2 B.5 C.6 D.8 2.[2025福建中考]如图，PA与⊙O相切于点A,PO的延长线交⊙O于点C,AB∥PC,且交⊙O 于点B.若∠P=30°，则∠BCP的度数为 () A.30° B.45° C.60° D.75 G 0. 0 H (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,G是DF上一点，连接 GD,GF.若∠A=50°，则∠DGF的度数是 ( ) A.105 B.110 C.115° D.125 4.如图，⊙O的半径为6，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，AE,BF交于点G,BD,CE交 于点H,则四边形BGEH的面积是 () A.36 B.183 C.24√3 D.24 5.如图，AB为⊙O的弦，直线EF与⊙O相切于点C,且ABEF,连接OC,∠AOC=70°.若D为 弦AB所对弧上一点，则∠CDB的度数为 () A.35 B.70 C.35°或145 D.70°或110° (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD,BC分别与 ⊙O相切于F,E两点.若AD=3,BC=6,则EF的长是 () 、号 B166 Cv⑨7 5 5 D2v97 5 7.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点E是△ABC的内心，OE⊥EB.若AE=2√2，则 △ABE的面积为 () A.22 B.2 C.√2 D.1 116 第三十章直线与圆的位置关系 8如图，在平面直角坐标系中.0为坐标原点，抛物线)=一十x与：轴 5 的一个交点为A(一8,0)，C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，P为⊙C 上一动点.若D为PA的中点，连接OD,则OD长的最大值是 ( A√89 (第8题) c D②87 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.如图，⊙O的半径为5，C是⊙O上一点，直线l⊥OC交⊙O于A,B两点，垂足为H,AB=8.若 将直线1沿O℃所在的直线平移后恰与⊙O相切，则平移的距离为 (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,连接AE,HE.若⊙O的半径为2√2，则△AEH的 面积为 11.如图，在正五边形ABCDE中，以点A为圆心，AC为半径画弧，分别交AB,AE的延长线于点 F,G,连接CG,DG,则∠CDG的度数为 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC,BC,AB 相切于点D,E,F,则AO的长是 (第12题) (第13题) (第14题) 3如图，⊙O经过矩形ABCD的顶点A,D,与BC相切于点F,与CD相交于另一点G,若8 月则的值为 14.如图，AB,AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AB,交AC于点D,过点B作⊙O的切线，与AC 的延长线交于点E,连接BC.若CD=OD,CE=1,则AB的长为 三、解答题（共44分） 15.(14分)如图所示的正六边形ABCDEF是一个创意花坛，AB=20m.点G,H,M,N,P,Q分 别在该正六边形的六条边上，且AG=BH=CM=DN=EP=FQ,现计划在六边形 GHMNPQ内种植花卉，在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮. 117 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 (I)正六边形ABCDEF的面积是 m2. (2)当AG的长为多少时，草皮的种植面积最大？最大面积是多少？ E ND H (第15题) 16.(14分)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,AD=CD,对角线AC与BD交于 点E,在BD的延长线上取一点F,使DF=DE,连接AF. (1)求证：AF是⊙O的切线. (2)若AD=5,AC=8,求⊙O的半径. (第16题) 17.(16分)已知PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,连接OP (1)如图①，AB交OP于点C,D为PB的中点，求证：CDPA. (2)如图②，OP交⊙O于点E,EF⊥PB于点F.若PA=45,⊙O的半径为2√5，求EF 的长 ② (第17题) 118 “答案与解析”见P?6∴.AG长的最小值为√I0-√2. E 0 (第6题) 7.2十25如图，连接OM,BP.M为AP的中点， AM-MP.AO-OB.OM-7 BP.OM//BP. ∠APB=90°，.∠OMA=90°.∴.点M在以OA为直 径的⊙O'上.连接O'M,O'C.∴.OM十O'C≥CM.∴.当点 M,O',C依次在同一条直线上时，CM的长最大.：OA= OB=0C=400'=0A=2=0M.在R△00c中. OC=√4+2=2√5.∴.CM长的最大值为OM+ C0'=2+2√5. (第7题) 专题特训十五与圆有关的作图题 1.(1)如图①，点O,D即为所求作.(2)答案不唯一，如 图②，线段CE即为所求作」 ① ② (第1题) 2.(1)如图①，线段AD即为所求作.(2)如图②，点O 即为所求作， D 6 ① ② (第2题) 3.(1)如图①，线段BD、点E即为所求作.(2)如图②， △ABF、直线BG即为所求作 -t ① ② (第3题) 综合与实践6生活中的优化问题 1.A:长方体纸箱装满了一层底面半径为r,高为4r的 圆柱体饮料罐，∴.长方体的长边放置的饮料罐的个数为 会长方体的宽边放置的饮料罐的个数为会：饮料镶的 个致为号·会一票小饮米速的总华积为可·中·票 abr元纸箱容积为a·b·4r=4abr,∴.纸箱的空间利用 率为r=x 2.(1)如图①，连接PC.∠PCQ为△PAC的外角， ∴.∠PCQ>∠PAQ.∠PCQ=∠PBQ,∴.∠PBQ> ∠PAQ,即∠PAQ<∠PBQ.(2)①：'∠ACB=90°， ∴.△ABC的外接圆的圆心在AB的中点处.取AB的中点 0,连接0C,则0A=0B=0C=2AB=3.由题意，得当 ∠ACB最大时，PN为⊙O的切线，.OC⊥PN. :∠MPN=30,.0C=2P0.·P0=6.·PC- √P0-OC=√62-3=3W3.②当∠ACB=60°时， 如图②，连接OA,OB,OC,则OA=OB=OC.由题意，得 此时PC为⊙O的切线，∴.OC⊥PC.过点O作OE⊥AB 于点E,则AE=BE=7AB=3:∠A0B=2∠ACB, ∠ACB=60°，∴.∠AOB=120°.OA=OB,∴.∠OAB= ∠0BA=180°-∠A0B=30.÷0A=20E.AE= √OA2-OE=3OE.∴.√3OE=3..OE=3.∴.OA= 2W3.∠OAB=∠P=30°，∴.OA∥PC..∠A0C+ ∠OCP=180°.∴.∠AOC=90°.过点A作AF⊥PC于点 F,则∠AFC=90°，.四边形AFCO为矩形.OA=OC, ∴.矩形AFCO为正方形.∴.AF=OA=23.∠P= 30°，∴.PA=2AF=4√5.由题意，可知∠ACB越大，PA的 长越小，∴.若∠ACB最大不超过60°，则PA长的取值范 围是PA≥4V3 D ① ② (第2题) 第三十章拔尖自主测评 1.B如图，OA=2,OB=3,当P为B0的延长线与⊙O 的交点时，点P到直线l的距离最大.：OP=OA=2, ∴.点P到直线l的最大距离是3+2=5. B (第1题) 2.C如图，连接OA,OB.PA与⊙O相切于点A, ∴OA⊥PA.∴.∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60. :AB∥PC,∴.∠OAB=∠AOP=60.:OA=OB, ∴.△AOB为等边三角形.∴.∠AOB=60°..∠BOC= 180°-∠AOP-∠AOB=60°.OB=OC,∴.△BC为 等边三角形..∠BCP=60° (第2题) 3.C如图，连接EF,ED,OF,OD.,⊙O是△ABC的 内切圆，分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,∴.OF⊥ AC,OD⊥AB.∴.∠OFA=∠ODA=90°.∴.∠FOD= 360°-∠A-∠OFA-∠ODA=360°-50°-90°-90°= 130.∠FED=号∠POD=65:四边形DErG是 ⊙O的内接四边形，∴.∠FGD+∠FED=180°.∴.∠FGD= 180°-∠FED=115. 0 D (第3题) 4.C如图，连接OA,OF,BE.,六边形ABCDEF是正 六边形，∴.AF=EF,△AOF是等边三角形，BE是⊙O的 直径..AF=OA=OF,∠AOF=60°，∠BFE=90°. :∠AEPF-2∠AOF=30:在R△EFG中，PG= G,EF=AF=OA=6,FG+EF2=EG,·易 FG=2√5，EG=4√5.同理，可得GB=BH=EH=4V3, ∴.四边形BGEH是菱形.∴.四边形BGEH的面积为 BG·EF=243. C D (第4题) 5.C如图，连接OB.,直线EF与⊙O相切于点C, .OC⊥EF.AB∥EF,∴.OC⊥AB.OA=OB, ∴.∠BOC=∠AOC=70°.当点D在BAC上时，∠CDB= 2∠BOC=35.当点D'在BC上时，：四边形CDBD为 ⊙O的内接四边形，∴.∠CDB+∠CDB=180.∴.∠CDB= 180°-∠CDB=145°.综上所述，∠CDB的度数为35 或145. D'F (第5题) 6.A如图，连接OC,与EF相交于点M,过，点D作DG⊥ BC于点G,连接OE,设AD与⊙O相切于点H.:AD∥ BC,AB⊥BC,DG⊥BC,∴.四边形ABGD是矩形.∴.BG= AD=3..CG=BC-BG=6-3=3.⊙0是四边形 ABCD的内切圆，∴.DF=DH,CF=CE,CO平分 ∠ECF.∴.△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分 线.∴.EM=FM设⊙O的半径为R,则易得BE=R,DG 2R,∴.CE=CF=6-R,DF=DH=3一R.在Rt△DGC 中，DG+CG2=CD,.(2R)2+32=[(3-R)+(6- R)],解得R=2..CE=6-R=4..OC √OE+CE=√22+4平=2√5.：S△0e=2OE· CE=号0C·BM,EM-OECE-2X4=45 25 5 ·EF=2EM=2X45_85 5 5 H D O+M E G (第6题) 7.B如图，延长BE交⊙O于点F,连接AF,OF.AB 是⊙O的直径，∴.∠AFB=∠C=90°.∴.∠CAB+ ∠CBA=90°.：点E是△ABC的内心，∴.AE平分 ∠CAB,BE平分∠ABC.·.∠EAB=号∠CAB,∠EBA= 2∠CBA.·∠EAB+∠EBA=(∠CAB+∠CBA) 45°.∴.∠FEA=∠EAB+∠EBA=45°.∴.△FEA是等 腰直角三角形.∴.易得AE=√2AF=2EF.AE 22,∴AF=EF=2.OE⊥EB,∴.EF=BE=2. △ABE的面积为2BE·AF=2X2X2=2. (第7题) 8.B如图，取点H(8,0),连接PH.抛物线y= 6x+m与x轴的一个交点为A(-8,0),0= 5 -品×（一3y+(-80X解得6-号y-一2 号x.:抛物线y=-是x-号x过原点与点A(-8,0。 、对称轴为直线x=一80=一4当x=一4时，y= 2 ×(一0-×（一0=5顶点C的坐标为(-4 5).⊙C与y轴相切，∴.⊙C的半径为4.A(-8,0), H(8,0),OA=OH.:D为PA的中点，∴.OD= 合PH“当PH的长最大时，OD的长最大“当线段 PH过点C时，PH的长有最大值，∴.PH长的最大值为 CP+CH=4+√(-4-8)2+5=4+13=17.∴.OD长 17 的最大值为 V (第8题) 9.2或8连接OB,延长C)交⊙O于点D.AB⊥OC, :AH=BH.BH=号AB=合X8=4.在R△BOH 中，OB=5,.OH=√OB2-BH=√52-4=3. ∴.CH=OC-OH=2,DH=OD+OH=8.:直线1沿 O℃所在的直线平移后恰与⊙O相切，∴.当向下平移时，直 线1经过点C,平移的距离为2；当向上平移时，直线1经过 点D,平移的距离为8. 10.4√2连接OH,过点H作HN⊥AO于点N. :∠HON=360°=45，OH=22..易得HN=2. 8 :AE=2X22=4E,.Sg=3AE·HN=× 4W2×2=42. 11.144°连接AC,AD.:AC=AD,.点D在FG上. ∠CGD=号∠CAD.“五边形AECDE为正五边形， ·AB=BC,∠ABC=∠BAE=5-2)X180°-108 6 ∠BAC=180°-ABC=362.同理，可得∠EAD=36, 2 ∴.∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE=36°.∴.∠CGD= ∠CAD=18.:∠D0G=3∠EAD=18,∠CDG- 1 180°-∠DCG-∠CGD=144°. 12.√10如图，连接OD,OE,OF,设⊙0的半径为r. ∠C=90°，AC=4,BC=3,.AB=√AC+BC=5. :⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC,BC,AB相切于点 D,E,F,∴.AD=AF,BE=BF,AC⊥OD,AB⊥OF, BC⊥OE,且OF=OD=OE=r.易证四边形OECD是正 方形，∴.CE=CD=OD=r.∴.AD=AF=AC一CD=4 r,BF BE=BC-CE=3-r.AF +BF =AB=5, ∴.3-r+4-r=5.∴.r=1..OD=CD=1..AD=3. .AO=√/AD2+OD2=√J10. (第12题) 13.?连接F0并延长，交AD于点E,连接OD,过点0 作OH⊥DG于点H,则OE⊥AD,DH=HG.∴AE= DE.由题意，易得OE=DH,AB=EF=CD.设OE=x, AB=3a,DH HG=x,AD=4a,EF CD=3a, ÷OD=0F=EF-OE=3a-x,ED=AD=2a.在 Rt△OED中，OE2+DE2=OD2,∴.x2+(2a)2=(3a 解得z=名aG=2DH=2x=号aCG= D-G=号a瓷-是 14.2√5连接BD.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°..BC⊥CD.OD⊥AB,CD=OD,∴.BD平分 ∠ABC.∴.∠ABD=∠CBD.OA=OB,OD⊥AB, ∴.AD=DB.∴∠A=∠ABD=∠CBD.又：'易得∠A十 ∠ABC=90°，∴.∠A+∠ABD+∠CBD=90°.∴.∠A= ∠ABD=∠CBD=30°.：BE是⊙O的切线，∴.∠ABE= 90°..∠CBE=90°-2×30°=30°.易得∠BCE=90°， .BE=2CE=2.:∠A=30°，∴.AE=4..AB= √42-2=25. 15.(1)600W3.设正六边形ABCDEF的中心为点O,连 接OA,OB,过点O作OT⊥AB于点T.六边形 ABCDEF是正六边形，OA=OB,∠AOB=360=60. 6 :AT=BT-号AB=10m,∠A0T=2∠A0B=30 ∴.OA=2AT=20m.∴.OT=√OA-AT=103m. S6Am=号AB·0T=10,5m.:SE道5 6S△oB=600W3m2.(2)过点G作GS⊥AF,交FA的 延长线于点S.:∠GAS--60∠GS-30.设 AG=xm,则AS=号xm·SG=VAG-AS= 2xm.AG=FQ,AB-AF,.AQ-BG=(20-)m. √3 设草皮的种植面积为S㎡.“易得S=6×号×(20 x9=-35:+30w5x=85(x-1or+ 2 1505.:-33<0,当x=10时，S的值最大，最大值 2 为150√3.∴.当AG=10m时，草皮的种植面积最大，最大 面积是150√3m2. 16.(1):AB是⊙O的直径，.∠ADB=90°.∴.ADL EF,∠BAD+∠ABD=90°.又DF=DE,∴.AF=AE. ∴.∠FAD=∠EAD.AD=CD,.AD=CD ∴.∠EAD=∠ABD.∴.∠FAD=∠ABD.∴.∠FAB= ∠FAD+∠BAD=∠ABD+∠BAD=90°，即OA⊥AF. ,OA是⊙O的半径，∴.AF是⊙O的切线.(2)连接 OD交AC于点M.AD=CD=5,∴.AD=CD.∴.OD⊥ AC,AM=CM=号AC=4.在Rt△DMC中，DM √CD2-CMP=3.设⊙0的半径为x,则OA=x,OM= x-3.在Rt△AOM中，OM+AMP=OA2,∴.(x- 3+f=r,解得x=尝⊙0的半径为号 17.(1)连接OA,OB.PA,PB分别与⊙O相切于点 A,B,∴.PA=PB,∠APO=∠BPO.∴.OP垂直平分 AB.∴.C是AB的中点.又：D为PB的中点，∴.CD是 △BAP的中位线.∴.CDPA.(2)连接AB交OP于点 H,连接BE,OB.由(1)知，PB=PA,AB⊥PO,则∠OEB+ ∠EBH=90°.：PB与⊙O相切于点B,∴.∠PBO=90° ∴.∠OBE+∠EBF=90°.：'OB=OE,∴.∠OEB= ∠OBE..∴.∠EBH=∠EBF..EH=EF.在Rt△POB 中，∠PB0=90°，OB=25,PB=PA=45,∴.由勾股定 理，得P0=√PB=OB=10.:Sam=2BP·OB= 0P·BHBH-OB-1w525-4在 OP 10 Rt△BOH中，由勾股定理，得OH=√OB2一BH=2. ∴.EH=OE-OH=25-2,即EF=25-2.