第21章 一元二次方程高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第21章， 一元二次方程 ]高频考点突破 考点一含参数的一元二次方程的判定 典例1若关于x的方程(a一3)x2-5a+8+ (a-2)x+5=0是一元二次方程，试求a的 值和方程的解， 分析 根据一元二次方程的定义，得出a2-5a十 8=2且a-3≠0，进而得出答案， 解答：由题意，得a2一5a+8=2且a-3十 0,解得a=2..关于x的方程为-x2十 5=0,解得x=土√5.∴.a的值为2，方程的 解为士√5. 小结 含参方程判定的“双条件锁定法” 1.由“最高次数=2”求参数可能值； 2.代入检验“二次项系数≠0”； 3.若有其他限制（如方程有实数根），则继 续叠加条件. 对应练习， 1.已知关于x的方程(m2一4)x2+(m+2)· x+3m-1=0. (1)当m为何值时，该方程是一元二次 方程？ (2)当m为何值时，该方程是一元一次 方程？ 聚焦高频考点，各个击破 考点二 利用配方法求最值 典例2已知实数x、y满足x2一xy十y2= 4,则x2+xy十y2的最大值为 ,最 大值与最小值的差为 分析 由x2-xy十y2=4,得xy=x2+y2-4= (x-y)2+2xy-4>2xy-4,同理，可得xy= (x十y)2-2xy-4≥-2xy-4.求出xy的取 值范围，将x2十xy十y2进行变形，得到4十 2xy,即可求出最大值与最小值， 解答：由x2-xy十y2=4,得xy=x2十 y2-4=(x-y)2+2xy-4≥2.xy-4, xy≤4..x2+xy+y2=x2-xy十 y2+2xy=4+2xy≤4+8=12..x2+ xy十y2的最大值为12.由x2-xy十y2= 4,得xy=x2+y2-4=（x+y)2-2xy 4>-2xy-4,.xy≥- x2+y+ y2=x2-xy+y2+2xy=4+2xy>4- 专×2-子产+y+的最小值为号 :最大值与最小值的艺为12一号-号 小结 解这类题时要注意：合理变形代数式，凑完 全平方结构；利用平方的非负性分析最值，注意 符号；结合已知条件限定变量范围，验证最值可 行性 对应练习 2.阅读材料：我们已经学习了实数以及二 次根式的有关概念，同学们可以发现以 下结果： 数学（华师版）九年级上 当a>0时，：a+1=(a)2-2a· 后+信广+点a后+ 2≥2， 当月仅当=石，即a=1时a+日 取得最小值，最小值为2. 请利用以上结果解决问题： 若a>0,则当a= 时，22+3a+4 a 有最小值，最小值为 考点三 根的判别式、根与系数关系的 综合 典例3设m是不小于一1的实数，关于x 的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有 两个不相等的实数根x1、x2 (1)若x+x号=6，求m的值 (2)令T=1-x1 ,求T的陬值范围，。 1-x2 分析 首先根据方程有两个不相等的实数根及m 是不小于一1的实数，确定m的取值范围，根据 根与系数的关系，用含的代数式表示出两根 的和、两根的积 (1)变形x号十x号为(x1十x2)2-2x1x2,代 入用含m表示的两根的和、两根的积得方程， 解方程，根据m的取值范围得到m的值；思维 导图如下： x,+x=-2(m-2）,xxm2-3m+3 代入 x+6变形Gcx)-2x64>0m的值 (2)化简T,用含m的式子表示出T,根据 的取值范围，得到T的取值范围. 8 解答：·方程有两个不相等的实数根， .△=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)= -4m+4>0..m<1. 又.m是不小于一1的实数，.一1≤m< 1.∴.x1+x2=-2(m-2)=4-2m,x1· x2=m2-3m+3. (1)x十x2=6, .(x1+x2)2-2x1x2=6,即(4-2m)2 2(m2-3m+3)=6. 整理，得m2-5m+2=0,解得m=5±V7 5-√J17 .-1≤m<1,∴.m= 2 (2)T= mxi mx2 1-x11-x2 mx1(1-x2)+mx2(1-x）= (1-x1)(1-x2) m[(x1十x2)-2x1x2 1-(x1十x2)十x1x2 m(4-2m-2m2+6m-6) 1-4+2m+m2-3m+3 -2m(m-1)2 =2-2m. m-m :T=2-2m,.m=1- T :-1m<1且m≠0-1长1-<1 且1-号≠0，解得0<T≤4且T≠2 小结 根的判别式与韦达定理综合题的“三步解题法” 1.定范围：先由判别式确定参数的取值范 围，保证方程有对应根； 2.用定理：利用韦达定理表示根的和、积， 代入代数式化简； 3.验条件：求解后检验参数是否符合前期 范围，确保解的有效性 对应练习 3.已知x1、x2是方程4a.x2-4a.x十a+4= 0的两个实数根，是否存在a的值，使得 x一2x,x,-2红)的值等于？请说 明理由. 考点四天 利用换元法解方程 典例4阅读下面的材料，解决问题： 解方程x4一5x2+4=0,这是一个一元 四次方程，根据该方程的特点，它的解法通 常如下： 设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为 y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2=1,∴.x=士1. 当y=4时，x2=4,.x=士2 .原方程有四个根，分别为x1=1,x2= -1,x3=2,x4=-2. 请参照例题，解方程(x2十x)2一4(x2十 x)-12=0. 分析 根据题目中的例子和换元法解方程的方法 可以解答本题 解答：设x2十x=y,则原方程可变为y2 4y-12=0, 第21章一元二次方程 解得y1=6,y2=-2. 当y=6时，x2十x=6,得x1=-3,x2=2. 当y=-2时，x2十x=一2，得方程x2+ x+2=0, .'△=b2-4ac=12-4×2=-7<0,此时 方程没有实根， .原方程有两个根，分别为x1=一3， x2=2. 小结 用换元法解方程体现了“化繁为简、降次求 解”的思想.解题时需注意：1.准确设元，避免换 元错误；2.解新方程后需回代求原未知数；3.高 次方程解后注意多解性，勿漏根。 对应练习 4.已知(m+2m)2+2(m十2m)+1=0,则 (m十2n)224的值为 () A.1 B.-2 C.-1 D.2 考点五一元二次方程与几何综合 典例5新情境生活实际如图①，一块地砖 的图案是由4个全等的五边形和1个小正 方形组成的正方形，已知小正方形的面积和 五边形的面积相等，并且图中线段MF的长 为adm.若a=√I0-2,则这块地砖（上表 面)的面积为 Q (典例5图①) A.50 dm2 B.40 dm2 C.30 dm2 D.20 dm2 9 数学（华师版）九年级上 分析 如图②，根据题意易知，点O为正方形 ABCD、EFGH的中心，利用图中的面积关系最 终可推出子SE黄m=5SAmF,设正方形 ABCD的边长为2.xdm,则OF=OE=(x 5 a)dm,以此可得方程4·2x·2x=2（x a)2,解此方程，再将a的值代入即可求解 解答：如图②，连结FH、EG交于点O. 根据题意易知，点O为正方形ABCD EFGH的中心， ∴.S△EOF= 4S正方形EPGH,即S正方形EGH= 4S△0F· 由题意，得S正方形ABCD=5S正方形EFGH· ,'S五边形AMFEP=S正方形EPGH' ·∴.S五边形AMFEP=4S△EOF. S五边无AMFEP一 1 4 S正方形ABCD一S△BOF, 1 4S正方形AD=5S△B0F· 设正方形ABCD的边长为2xdm,则OF= OE=(x-a)dm. :1.2x·2xCx-a) 解得x=(5±10)a .a=√/10-2， ·x=/10或7√10-20 3 7W10-20<√10-2，.x=10. 3 .S正方形AcD=2√10X2√10=40(dm2). 10 故选B. Q (典例5图②) 小结 抓住“各部分面积和=整体面积”建立方程 模型。 对应练习 5.如图是一块矩形菜地ABCD,AB=am, AD=bm,面积为sm.现将边AB增加 1m. 单位：m 2= ① ② (第5题) (1)如图①，如果a=5,边AD减少1m, 得到的矩形面积不变，那么b的值是 (2)如图②，若边AD增加2m,有且只有 一个a的值，使得到的矩形面积为2sm, 则s的值是 典例6如图①，AG∥CF,AB⊥CF,垂足为 B,AB=BC=3,P是射线AG上的动点（点 P不与点A重合)，Q是线段CB上的动点， D是线段AB的中点，连结PD并延长，交 BF于点E,连结PQ,设AP=2t,CQ=t, 当△PQE是以PE为腰的等腰三角形时， 求t的值 G CQ B E (典例6图①) 分析 先把等腰三角形PQE的各边用含t的代 数式表示出来；再根据PE为腰，对等腰三角形 PQE的其余两边分类讨论：最后抓住腰相等建 立方程求出t的值. 解答：如图②，以B为原点、直线CF为x轴， 直线AB为y轴，建立平面直角坐标系， .AGCF,AB⊥CF,∴.AB⊥AG. ∴.∠GAB=∠ABF=90°. .D为AB的中点，.AD=BD .∠ADP=∠BDE, ∴.△APD≌△BED.∴.AP=BE .AP=2t,∴.BE=2t. ∴.点E的坐标为(2t,0) .AB=BC=3,CQ=t, ∴.BQ=3一t,点P的坐标为（一2t,3),点 C的坐标为（一3,0），点A的坐标为(0,3). ∴.点Q的坐标为(t一3,0) 点Q在线段BC上，点P不与点A重合， ∴.0<t≤3. .·BE=2t,BQ=3-t, ,∴.QE=BQ+EB=3+t. ∴.易得PQ2=(-2t-t+3)2+(3-0)2= (3-3t)2+9,QE2=(t+3)2,PE2= (-2t-2t)2+(3-0)2=16t2+9. 根据△PQE是以PE为腰的等腰三角形， 分类讨论： 当PQ=PE时，有(3-3t)2+9=16t2+9, 整理，得742+18-9=0，解得1=（负值 第21章一元二次方程 舍去). 当QE=PE时，有(t+3)2=16t2+9, 整理，得5x-24=0解得1-号0合去). 综上所述的值为或号 .2 y CQ B(O)E F x (典例6图②)》 小结 1.分析要有层次性.首先要抓大放小，如本 题要抓住等腰三角形基本元素（三条边）展开（用 含1的代数式表示三边长，分类讨论)；其次要在 已有分析的基础上深化过程；最后关注细节（如 隐含条件、限制条件等). 2.分析应有条理性.根据第一层次的分析 项目，聚焦目标，按序逐个分析 3.分析注意深刻性.本题中需要注意两点， 一是动点运动的范围，会诱发1的取值范围，二是 对等腰三角形的边的分类的完整性，防止遗漏. 对应练习 6.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,点 P、Q、M、N分别从点A、B、C、D出发沿 AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同 时运动，当有一个点先到达所在运动边 的另一个端点时，运动立刻停止.已知在 相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则 AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2cm. 当x= 时，以P、Q、M、N为顶 点的四边形是平行四边形 B→QM (第6题) 11数学（华师版）九年级上 0原式=+-@+-2=万- √+ √- √+√-√y=2√元-2√.：x=3+22=(W2+1)2, y=3-22=(2-1)2,∴元=2+1，√=2-1. .原式=2(W2+1)-2(W2-1)=4. .1 01)75+5万3丽7+6) 丽7中w-6(后》】 7-5 (2+1)√21-1+(2n-1)√/2+1 1 √(21+1)(2n-1)(√2+I+√2n-1) √2n+1-√2n-1 √(21+1)21-1)（√21+1+√21-1）（√21+-√2-1） (3)1 1 3+353+35 75+5万++ 1 9√47+47√49√3(W5+1) 1 1 十…十 √15(5+√3)√35(W7+√5) -8-1+5-3 √2303(/49+√47)252√15 2√35 2√2303 店清+而扁)×-)- (4)x>y.理由：：1+3+5+√3×5=(1+5)+ 51+3)=(1+5)1+5)1+5+5+V3x √5-3 5-5 1 1+3)1+5)3+15十有同理. √7-5 √7-5 1 1+5+√7+√5X7(1+√5)(1+√7)1+5 1十万易得 1 √2n+I-√2n-I 1+√2n-+√2n+I+√(2n-1)(2n+1D 38 √2n+I-√2n-I 1 1 (1+√2-I)(1+√2+I)√2n-+1√2+I+1 (n为正整数).∴.y 5-√3 1+5+√5+√3X5 7-√5 十十 1+5+√7+√5×7 √2025-√2023 1+√2023+√2025+√2023×2025√5+1 1一十 1 1 十…十 5+15+1√7+1 √2023+1√2025+1 1 1 5+1√2025+1 2 y0 第21章一元二次方程 [高频考点突破] ①(1)根据题意，得m2-4≠0，解得m≠士2.∴.当m≠ 士2时，该方程是一元二次方程.(2)根据题意，得m2一 4=0且m十2≠0，解得m=2.∴.当m=2时，该方程是一 元一次方程 023+42由题意，当4>0时，2a+3a+4=2a十 a +3=2a-√层)+3计4E当a-√层时，即 u=2时，20十3+4取得最小值，最小值为3十42. ③不存在.理由：显然a≠0，由△=（一4a)2一4·4a· a+40=-64u≥0，得a<0.:x,十x,-1,,=at4 Aa .(x1-2x2)(x2-2x1)=5x1x2-2(x日+x2)=9x1x2- 2(x,+x2)2=9(a十4-2三a十36.若有(x,一2x2)(x2- 2x)-则士5-年a=9这与a<0开盾4不 存在a的值，使，-2x,-2) ④A令m+2n=x,则x2+2x+1=0,解得x1=x2= -1..m十2n=-1..(m+22)221=(-1)221=1. ⑤(1)6根据题意，得s=ab,变化后矩形的面积为[(a+ 1)(b-1)]m2.:a=5,∴.(5+1)(b-1)=5b,解得b=6. (2)6十42根据题意，得s=ab,变化后矩形的面积为 [a+1)(b+2)]m2,.2=(a+1)(6+2),b=a 2=a+1(倍+2).a-含+22x+(2- s)a+s=0.有且只有一个a的值，∴.△=b2-4ac (2-s)2-8s=0.s2-12s+4=0,解得51=6+4√2， 52=6-42(舍去). 62或4由题意，知点Q只能在点M的左侧.：以P、 Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，AD∥BC, ∴.PN=QM.①当点P在点N的左侧时，由20-(x+ 3x)=20-(2x十x2),整理，得x2-2x=0,解得x1=0(舍 去)，x2=2..当x=2时，四边形PQMN是平行四边形. ②当点P在点N的右侧时，由20-(x+3x)=(2x+ x2)一20，整理，得x2十6x-40=0,解得x3=-10(舍去)， x1=4.∴.当x=4时，四边形NQMP是平行四边形.∴当 x=2或x=4时，以P、QM、N为顶点的四边形是平行四 边形. 思路导引 分情况讨论 点P在点N左侧 点P在点N右侧 PN=[20-(2.x+x)]cm PN=[(2x+x)-20]cm QM=[20-(x+3x)]cm QM=[20-(x+3x)]cm PN=QM PN=OM x的值 x的值 [综合素养提升] ①D令y=x2一5.x十6，则原方程可化为y2-3y+2= 0,解得y=1或2.当y=1时，x2-5x+6=1,解得x= 5)5,当y=2时，x-5x+6=2,解得x=4或1，综上所 述，原方程的架为x=4或1或 ②B如图，设A'C'与DC交于点E,AA'=xcm,则 A'D=(2-x)cm.:四边形ABCD是正方形，.AB∥ CD,∠BAC=45°，∠D=90°.由平移的性质，得AC∥ A'C',AB∥A'B',∠B'A'C=∠BAC=45°，.A'B'CD. ∴.重叠部分为平行四边形，∠DEA'=∠B'A'C'=45° ∴.△A'DE是等腰直角三角形..DE=A'D=(2 x)cm.∴.CE=2-(2-x)=x(cm).:两个三角形重叠部 附：答案与解析 分的面积为0.8cm2.r(2-x)=0.8,解得=5-=5 51 X2= 5。它移威的距商A为m或 5+5 5 cm. B B' (第2题) ③D,方程有两个不相等的实数根，∴.a≠0且△>0. 由a+22-aXa=a+4>0,解得a>-1.:,十 x2--十2 2=又：x<1<-1<0, x2-1>0,则(x1-1)(x2-1)<0..x1x2-(x1十x2)+ 1<0,即++1<0一8<a<0a的取值范 a 围是-<<0 0A0M=0,x2-3x-2=0,解得x=3计7 2 或-31ax918正：r-3x-2-0, 2 -3x-1=1.“189生8亚故 13x ①错误，不符合题意.②当a=-3时，M一N=(x2-3x一 2)-(x2+3x+3)=-6a-5,∴.M-N没有最小值.故② 错误，不符合题意.③当a=3时，N=x2-3x十3，∴.M 2N+2=x2-3x-2-2(x2-3+3)+2=-x2+3x 6=-(-多)°-号，M-2N+15=-2+3x+7= -(e-号)°+：1M-2N+21+1M-2N+151= 13.-(-)》-9+-(-)‘+=1a “易知一（女一）在数轴上对应的点在-平和只所对 应的点之间（包含这两点·一平<-（女一》<只 又：-(-)》<0-￥≤-(-)≤0曲 -(k-)≥-平易润2<3计y厘放③指 39