第20章 二次根式高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

附：答案与解析 第20章 二次根式 [高频考点突破] 0D原式=Vs3+2√/合×0-(8+46+3) 4+2√6-11-4√6=-7-26.(2)原式=(5√2)2- (2√5)2-(5-2√/10+2)=50-20-7+2√/10=23+ 2√0.(3)原式=[(W2-√3)-5]×[（√2-√5）+ W5]=(W2-√3)2-(W5)2=2-22×√5+3-5=-2√6. 0:x十y=25=5,y=5月=1.￥+5 2 y+x_(x+y2-22y=5)2-2X1=3,(x-1D(y- xy 1)=xy-x-y+1=xy-(x+y)+1=1-5+1= 2-5. ③A:重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边 长的和减去大正方形的边长，∴.易得重叠部分也是正方 形.：三个小正方形的面积分别为45、32、8，.三个小正 方形的边长分别为√45=35，√32=42，√8=2√2！ .大正方形的边长为35+4√2-2√2=3√5+22. ∴.S室台=(3W5+22)2-(45+32-8)=45+12√10+ 8-69=12√/10-16. ④C √2-1 √2+1(2+1)(2-1) =2-1, 5+√2 3-√2 1 (W3+√2)W-√2) 5-E+店 √4-5 =4-3,∴. 1 (4+5)(W4-√5) n+ī+元= n打-m(n为正整数).·（1十2+十5 1 ×(√2014+1)= 5+4 +.+/203+√20 (W2-1+3-√2+…+√2014-√2013)X(√2014+ 1)=(√2014-1)×（√2014+1）=2014-1=2013. [综合素养提升] ①C解法-：a2+b2=4ab,∴.(a-b)2=2ab. abdab2ab 2ab 2ab 解法二：将a2+b2=4ab变形为 (台)广-4·名+1=0，解得2=2-5或2+5.：> >0.合-2-.261+ =1+2-5 6-ab-12-3-1 3-3 =一3 1-√3 ②B如图，连结AC、EF,它们相交于点O,则EF垂直平 分AC.连结BD,BD也垂直平分线段AC,∴.点B、E、O、 F、D在同一条直线上.设正方形AECF的面积为x,则菱 形ABCD的面积为2.∴.AE=E.在Rt△AOE中， AC=V2.:菱形ABCD的面积= A0=OE=② AC.BD-BD BD=2 2 G,E-0-0=E-受医A加 2 那-反，要AB:E的值为E. (第2题) ③63一10：正方形①②的面积分别为4和3，∴.正方 形①的边长为2，正方形②的边长为√3.∴.正方形③的边 长为2一√3.∴.涂色部分矩形的宽为2一√3，长为一 (2-√3)=23-2.∴.涂色部分的面积为(23-2)(2- 5)=45-6-4+23=63-10. ④0m= 2015 2015(√2016+1) √2016-1（√2016-1）（√2016+1） 2015(√2016+D-√2016+1，·原式=m2(m2- 2015 2m-2015)=m3[(m-1)2-2016]=m3[(√2016+1- 1)2-2016]=0. ⑤(1)原式=(W4+1+5)-√⑧-5=3+5-2√2- √5=3-2√2.(2)原式=2+3-4W3+4-2+23=7- 2√3. 37本册知识结构 二次根式有意义的条件、 相关概念及性质 利用相似及勾股定理测量 二次根式的乘除运算 二次 根式 直角三角形的性质 积（商）的算术平方根 二次根式的加减运算及混合运算 锐角三角函数的定义 一元二次方程的相关概念 特殊角的三角函数值 解直角 直接开平方法 三角形 已知斜边和 因式分解法 已知一边与 一锐角 元二次方程的解法 一元 角，求其余边角 配方法 二次 已知一直角边 方程 解直角 和一锐角 公式法 三角形 已知两边，求其 已知两直角边 一元二次方程根的判别 余边角 已知斜边和 式及根与系数的关系 直角边 运用一元二次方程解决实际问题 解直角三角形的应用 九年级 成比例线段 上册 平行线分线段成比例 成比例线段 定理及其推论 及相似图形 相似图形的性质 必然事件 相似三角形的定义 确定事件 相似三角形的判定 事件 不可能事件 相似三角形的性质 相似三角形 随机事件 图形的 相似三角形的应用 相似 随机事件 频率与概率的关系 三角形的重心 及其概率 位似图形的定义 简单事件的概率计算 位似图形的性质 位似图形 利用位似作图 用画树状图法或列表法计算概率 轴对称、平移、旋转 图形与坐标 及位似 第20章 二次根式 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一二次根式的混合运算 小结 二次根式混合运算的简化方法 典例1计算： 处理二次根式混合运算时，可先观察式子结 {6-2+s÷2 构：对含平方形式的项，巧用平方差公式简化乘 积；对高次幂形式的项，结合幂的运算法则拆分 (2)(7+45)×(2-√5)2+(2一√3)× 变形（如逆用积的乘方），将复杂运算转化为简便 (2+3)-5. 的基础运算，提升计算效率」 (3)(W2+1)16X(3-22). 对应练习 1.计算： 分析 (1)先化简各个二次根式并合并同类二次 v压÷5+2月×原-(2E+ 根式，再进行除法运算，或者先进行除法运算， 再化简、合并同类二次根式. 3)2. (2)先计算(2一√5)2=7一4√5，接着可以 对(7+43)×(7-43)、(2-3)×(2+√3) 分别运用平方差公式进行计算，最后可求得 结果 (2)(25+5√2)(5√2-25)-(5- (3)由(W2+1)2=3十22，先把(W2+1)6 2)2. 转化成[（√2十1）2]8，然后利用a"b”=(ab)” 解答 解若：D原武-6g-23+43 (3)(2-√5-√3)(2+5-√3). 25-285:25-14 3 (2)原式=(7+4√3)×(4-4√3十3)+ 考点二与二次根式有关的化简求值 (4-3)-√3=(7+43)×(7-4√3)+1 1 1 典例2已知x= 3=49-48+1-√3=2-5. 2+ 25·求代数 (3)原式=[（√2+1）2]8×(3-2√2)9= 式x2-xy十y2的值. 分析 (3+22)8X(3-22)9=[(3+22)(3 先将条件中的x、y分母有理化，再将所求 22)]8×(3-2√2)=(9-8)8X(3 代数式变形为x十y和xy的形式，最后整体代 入求值即可. 22)=1X(3-22)=3-2√2. 2 第20章二次根式 1 2-3 请通过计算说明木工乙的想法是否可行. 解答：x 2+√3 (2十5)(2-5) 2-√3，y= 1 2+√/5 =2 2-√3(2-√3)(2+√3) 3,.x十y=4,xy=(2-√3)(2+3)= (典例3图) 1.∴.原式=(x+y)2-3xy=42-3× 分析 1=13. (1)基本流程：正方形面积→正方形边 小结 长→矩形各边→矩形面积 简化本题运算的关键是“先化简、再变形、最 矩形面积 后代入”，避免了直接代入的繁琐计算， (2)基本流程： 矩形的长→比 矩形的宽 对应练习 较矩形ABCD与新矩形的长与宽的大小→ 2[2024衡阳衡山段考]已知x=5-1 结论 2 解答：(1)由题意，可得正方形的边长为 y=5十I,求义+和(x一1)(y-1 √192=8√3(dm),.AD=83-23= 的值. 6√3(dm),AB=8√3-7√3=√3(dm). ∴.矩形木板ABCD的面积为6√3X√3= 18(dm2. (2)木工乙的想法可行.从矩形木板ABCD 中裁出-个面积为12dm'宽为9 dm的矩 形木料裁出的木料长为12÷5 2 =12× 2 考点三二次根式与几何图形的综合 =4√6(dm).由(1)，得矩形ABCD的长 典例3有一块矩形木板ABCD,木工甲采 为6√3dm、宽为√3dm,.4√6=√96， 用如图所示的方式，将木板的长AD增加 2√3dm(即DE=2√3dm),宽AB增加 6=w-45<659 2 7√3dm(即BG=7√3dm),得到一个面积 3..可以裁出所求的矩形木料..木工乙 为192dm的正方形AGFE. 的想法可行 (1)求矩形木板ABCD的面积. 小结 (2)木工乙想从矩形木板ABCD中裁出一 注意以下三点：(1)掌握矩形（正方形）面积 公式；(2)明晰解题基本流程；(3)能比较两个实 个面积为12m,宽为号dn的矩形木料 数的大小 3 数学（华师版）九年级上 对应练习 3.如图，在大正方形纸片中放置两个小正 解答：)：1++=1+} 方形，已知两个小正方形的面积分别为 1 1 S1-45,S2=32,重叠部分的面积为8， ++=1+ =1十21++ 则空白部分的面积为 ( 11+23+安+7-1中 1 2+1 11 1 33中=112=1+3X4: (第3题) “++-1+1品 A.1210-16 B.8√10-6 C.12√/10-8 D.610+8 ++层=+}市1安 考点四二次根式的规律探究与应用 1+21+-2》 典例4先观察下列等式，再回答问题： 1++-1+=1日=1+ 21+传-3》. ②1+ 1++=1+片-311+ 1 (1)根据上面三个等式，请猜想 1+42+5 的结果（直接写出结果） ++后=1+ =1=1+ (2)根据上述规律，解答问题： 设m=+是+安+、+安+ 1 2023220242 =1+2023X2024 +++…++ 0232T2024 1+ 1 1 20232024 求不超过m的最大整数. 1 分析 .m=2023+1- =2023 2023 2024 2024 (1)左边根号下的整数1与右边带分数的 ∴.不超过m的最大整数是2023. 整数1始终相同，而左边根号下两个分数的分 小结 母与右边带分数的分母直接相关」 观察等式左右的结构特征是解题的关键，解 (2)观察式子，将其裂项相消即可求得m 题时需注意：①归纳规律时要验证其正确性； 的值，进而得到答案。 ②裂项相消时要确认中间项是否全部抵消. 第20章二次根式 对应练习 根据你的猜想、归纳，运用规律计算 4.先观察下列计算： 1 1 1 十…十 1 √2-1 1+2√2+3 √3+√4 =√2-1； √2+1（√2+1）(2-1) ×(√2014+1)的结 √3-√2 √2013+√2014 1 =√3-√2； 3+2(3+√2)(3-√2) 果为 () A.1 B.2014 1 √4-3 =√4-3. √4+√3(4+3)(4-√3) C.2013 D.√2014-1 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.一题多爵如果a2+b2-4ab,a>b>0,那么8+b 6a的值为 ( A.5 B.3 C.-√3 D.-3 2.如图，菱形ABCD的面积是正方形AECF面积的2倍，连结BE,则 AE:BE的值为 ( )B≤ A.1 B.√2 (第2题) e号 u鸟 ③ 3.如图，一个矩形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，且正 ① 方形①②的面积分别为4和3，则图中涂色部分的面积为 ② 2015 4.若m= (第3题) √/2016-1 ,则m5-2m-2015m3= 5.计算： ++0-眉xa-e8+-2gy-2u- 6.若x=3+2w2y=3-22求》++-2@的值 反+E- 5