专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（第20～22章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第20~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 突破二次根式与代数变形结合的综合化简压轴题 · 掌握换元法、分类讨论思想解复杂一元二次方程 · 攻克相似三角形与正方形、矩形折叠、勾股定理的综合证明题 · 熟悉动态几何、存在性问题中方程与相似模型的联用 · 强化坐标法在压轴题中的应用，规范推理书写 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式与代数变形 同类二次根式合并前必须先化为最简二次根式 完全平方公式与平方差公式是根式化简的两大工具 已知条件式求代数式的值：先变形条件再整体代入 二次根式有意义条件常与换元法、不等式结合命题 概念辨析例题：已知 x=，求 x2-2x 的值。 答案：由 x-1=，平方得 x2-2x+1=3，故 x2-2x=2。 解析：直接代入展开较繁，先把条件变形为 x-1=，两边平方后恰好出现所求式 x2-2x，整体求值避免展开计算。 ☆ 2.一元二次方程压轴题型 换元法把高次或复合方程降为一元二次方程 方程定义求参数需同时考虑二次项系数与次数限制 图形运动问题用时间 t 表示线段长，列方程求解 菱形面积、勾股定理背景下先列方程再验根 概念辨析例题：已知关于 x 的方程 (m-1)x|m|+1+2x-3=0 是一元二次方程，求 m 的值。 答案：由 |m|+1=2 且 m-1≠0，得 m=-1。 解析：一元二次方程须满足未知数最高次数为2且二次项系数不为0：|m|+1=2 得 m=±1，又 m≠1，故 m=-1。两个条件缺一不可。 ☆ 3.判别式与根与系数关系压轴 结合坐标轴对称：两点关于 x 轴对称时横坐标相同 求参数范围先列 Δ 的不等式，再结合题意取舍 韦达定理整体代入处理两根代数式 三角形存在性问题先判三边关系再取舍 概念辨析例题：已知 x1,x2 是方程 x2-4x+1=0 的两根，求 x12+x22 的值。 答案：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-2=14。 解析：由韦达定理 x1+x2=4，x1x2=1，把所求式配方为两根之和与积的组合，整体代入得14，无需解出根。 ☆ 4.相似三角形压轴综合 正方形+相似：利用正方形边等、角90°找等角 矩形折叠：折痕两侧对应边、对应角相等 三边成比例判定相似适合网格与坐标题 相似证明题规范：先定相似，再写对应边比例 概念辨析例题：在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，AE⊥EF 交 CD 于 F，求证：△ABE∽△ECF。 答案：由 ∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，又 ∠AEF=90° 得 ∠AEB+∠FEC=90°，故 ∠BAE=∠FEC，两角对应相等，△ABE∽△ECF。 解析：正方形提供两个直角，AE⊥EF 提供一组互余角，通过同角的余角相等转化出第二组等角，从而由两角对应相等证相似。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再合并 一元二次方程定义 ax2+bx+c=0 a≠0 且次数为2 韦达定理 x1+x2=- 整体代入求对称式 判别式 Δ=b2-4ac 求参数勿忘 a≠0 相似判定 两角/两边夹角/三边成比例 证明先定相似再写比例 黄金分割 ≈0.618 线段比对应准确 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的化简与运算（第1-3题） · 同类二次根式先化简再合并 · 条件式求值先变形再整体代入 · 乘除混合先合并根号再开方 · 最简二次根式要求分母不含根号 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南许昌·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示是其局部．若该画纸长为，宽为．现要装裱该画，装裱后的画的长增加，宽增加，则装裱后整个画卷的面积为_____． 3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【考点2】一元二次方程的概念与解法（第4-10题） · 定义求参数须同时满足次数与系数两条件 · 换元法降次后回代检验 · 配方法、公式法、因式分解法按特征选用 · 勾股、菱形背景先列方程再验根 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是______． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为_________． 7．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． (1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． (2)当为何值时，此方程是一元一次方程？ 8．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 9．（25-26九年级上·山东青岛·期中）解方程： (1)； (2)． 10．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）解方程： (1)公式法：； (2)配方法：； (3)； (4)． 【考点3】根的判别式与根与系数关系（第11-16题） · 对称点坐标特征结合根的条件 · 对称式用韦达定理整体代入 · 求参数范围列 Δ 不等式后取舍 · 三角形存在性先判三边关系 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）若m，n为方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·河北唐山·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______． 15．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第17-20题） · 图形运动问题用时间 t 表示线段 · 营销、增长率模型按轮次列方程 · 完全平方公式几何应用面积建模 · 解后检验根是否符合运动范围 17．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 18．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 19．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【考点5】成比例线段与黄金分割（第21-23题） · 成比例线段按对应位置写比例 · 黄金分割线段长按 列方程 · 注意较长段与全段的对应关系 21．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在中，点E是的中点，连接交对角线于点M，交于点N．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点是线段的黄金分割点，若线段，求线段的长． 【考点6】相似三角形的判定与性质（第24-36题） · 正方形中用边等角直找等角 · 矩形折叠抓折痕对应边角相等 · 网格题先算三边再用三边成比例 · 证明题先写相似再写对应边比例 24．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 25．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，，，则的长为_______． 26．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 27．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是____________，____________，____________． 29．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程___________米． 30．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 31．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 32．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 33．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，交于点O，则图中与相似的三角形共有多少个？请你写出来． 34．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 35．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 36．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【考点7】相似三角形的实际应用（第37-39题） · 平行投影测高按比例列方程 · 实际问题先抽象出相似模型 · 结果注意单位与合理性 37．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 38．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，则液面为______cm． 39．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【考点8】位似图形与坐标（第40-47题） · 位似中心出发对应点连线共点 · 坐标系中位似比即坐标比 · 网格画位似图形先定对应点 · 重心、三线合一是等腰三角形常用性质 40．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 41．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，以点A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26九年级上·湖南·期末）如图，与是以点O为位似中心的图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 44．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，关于的中点作位似图形，若点恰为的重心，则与的周长比为__________． 45．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图是标示了、、顶点坐标的某三角形广场，现要将该广场进行扩建，以点为位似中心，使得扩建前的与扩建后的位似．若已知点的对应点的坐标为，则 （1）与的相似比为________； （2）点的对应点的坐标为________． 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 47．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点网格线的交点上． (1)以点为位似中心，将在点的另一侧放大倍得到，画出，连接，，判定的形状． (2)计算的面积． 【考点9】图形与坐标综合（第48-52题） · 等边三角形性质结合勾股求坐标 · 方位角确定位置要方向角与距离 · 有序数对表示位置先横后纵 · 动态问题先画定格瞬间的示意图 48．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知中，，于点D，E是的中点，交于点O，若，则的长是（    ） A．5 B． C．6 D．10 49．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（    ） A．，， B．，， C． D．，， 50．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）为等边三角形，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 51．（23-24七年级下·山西大同·期中）如图，将一片枫叶固定在平面直角坐标系中．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 52．（23-24六年级上·北京房山·期中）如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先读清条件，标注等量关系 · 代数变形优先整体代入，避免展开 · 相似证明规范书写对应角对应边 · 动态问题定格关键时刻再列方程 · 每解一个方程都要回头验根 【作业1】．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【作业2】．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形．已知点的对应点为，若，则的长为（   ） A．10.5 B．12 C． D．14 【作业3】．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【作业4】．（25-26九年级上·广东河源·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【作业5】．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【作业7】．（26-27九年级下·全国·课后作业）利用复印机的缩放功能将直角缩小为原来的得到，已知，，．则的斜边上的高为_______． 【作业8】．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【作业9】．（24-25九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【作业10】．（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【作业11】．（21-22九年级上·广东佛山·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为________m． 【作业12】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，工地上竖立着两根电线杆、，它们相距，分别自两杆上高出地面、的A、C处，向两侧地面上的E和D、B和F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳与的交点P离地面的高度是多少米？ 【作业13】．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，把长、宽的矩形纸板剪掉个小正方形和个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为 (纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是，则的值是_____．    【作业14】．（25-26九年级上·陕西延安·期末）在“国旗在心中”活动中，萌萌近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，是线段的黄金分割点，若，则的长为___________．（结果保留根号） 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）一种雨伞的截面图如图所示，伞骨，支撑杆，当点O沿滑动时，雨伞开闭．若，则B，D两点间的距离等于_______． 【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形内接于，在斜边上，试证明： (1)； (2)． 【作业17】．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【作业18】．（26-27八年级下·全国·课后作业）化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第20~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 突破二次根式与代数变形结合的综合化简压轴题 · 掌握换元法、分类讨论思想解复杂一元二次方程 · 攻克相似三角形与正方形、矩形折叠、勾股定理的综合证明题 · 熟悉动态几何、存在性问题中方程与相似模型的联用 · 强化坐标法在压轴题中的应用，规范推理书写 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式与代数变形 同类二次根式合并前必须先化为最简二次根式 完全平方公式与平方差公式是根式化简的两大工具 已知条件式求代数式的值：先变形条件再整体代入 二次根式有意义条件常与换元法、不等式结合命题 概念辨析例题：已知 x=，求 x2-2x 的值。 答案：由 x-1=，平方得 x2-2x+1=3，故 x2-2x=2。 解析：直接代入展开较繁，先把条件变形为 x-1=，两边平方后恰好出现所求式 x2-2x，整体求值避免展开计算。 ☆ 2.一元二次方程压轴题型 换元法把高次或复合方程降为一元二次方程 方程定义求参数需同时考虑二次项系数与次数限制 图形运动问题用时间 t 表示线段长，列方程求解 菱形面积、勾股定理背景下先列方程再验根 概念辨析例题：已知关于 x 的方程 (m-1)x|m|+1+2x-3=0 是一元二次方程，求 m 的值。 答案：由 |m|+1=2 且 m-1≠0，得 m=-1。 解析：一元二次方程须满足未知数最高次数为2且二次项系数不为0：|m|+1=2 得 m=±1，又 m≠1，故 m=-1。两个条件缺一不可。 ☆ 3.判别式与根与系数关系压轴 结合坐标轴对称：两点关于 x 轴对称时横坐标相同 求参数范围先列 Δ 的不等式，再结合题意取舍 韦达定理整体代入处理两根代数式 三角形存在性问题先判三边关系再取舍 概念辨析例题：已知 x1,x2 是方程 x2-4x+1=0 的两根，求 x12+x22 的值。 答案：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-2=14。 解析：由韦达定理 x1+x2=4，x1x2=1，把所求式配方为两根之和与积的组合，整体代入得14，无需解出根。 ☆ 4.相似三角形压轴综合 正方形+相似：利用正方形边等、角90°找等角 矩形折叠：折痕两侧对应边、对应角相等 三边成比例判定相似适合网格与坐标题 相似证明题规范：先定相似，再写对应边比例 概念辨析例题：在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，AE⊥EF 交 CD 于 F，求证：△ABE∽△ECF。 答案：由 ∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，又 ∠AEF=90° 得 ∠AEB+∠FEC=90°，故 ∠BAE=∠FEC，两角对应相等，△ABE∽△ECF。 解析：正方形提供两个直角，AE⊥EF 提供一组互余角，通过同角的余角相等转化出第二组等角，从而由两角对应相等证相似。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再合并 一元二次方程定义 ax2+bx+c=0 a≠0 且次数为2 韦达定理 x1+x2=- 整体代入求对称式 判别式 Δ=b2-4ac 求参数勿忘 a≠0 相似判定 两角/两边夹角/三边成比例 证明先定相似再写比例 黄金分割 ≈0.618 线段比对应准确 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的化简与运算（第1-3题） · 同类二次根式先化简再合并 · 条件式求值先变形再整体代入 · 乘除混合先合并根号再开方 · 最简二次根式要求分母不含根号 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河南许昌·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示是其局部．若该画纸长为，宽为．现要装裱该画，装裱后的画的长增加，宽增加，则装裱后整个画卷的面积为_____． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算及长方形面积公式的应用，熟练掌握二次根式的化简与乘法运算法则是解题的关键． 先分别求出装裱后画卷的长和宽，再根据长方形面积公式（面积 = 长×宽）计算装裱后的面积，需要先化简二次根式，再进行乘法运算． 【详解】解：原来长为，长增加， 装裱后长为 原来宽为，宽增加， 装裱后宽为 ∴面积 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接将，代入式子计算即可； （2）先利用完全平方式将变形为，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点2】一元二次方程的概念与解法（第4-10题） · 定义求参数须同时满足次数与系数两条件 · 换元法降次后回代检验 · 配方法、公式法、因式分解法按特征选用 · 勾股、菱形背景先列方程再验根 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的一元二次方程， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为_________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，先解方程得出，，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 菱形一条对角线长为6， 菱形的边长为， 菱形的另一条对角线为， 菱形的面积为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． (1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． (2)当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】(1)一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7 (2)当时，此方程是一元一次方程 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、判断是否是一元一次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】换元法解一元二次方程、二次根式有意义的条件 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 9．（25-26九年级上·山东青岛·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、直接开平方法是解题的关键． （1）对于方程，采用配方法，将方程转化为完全平方式来求解； （2）对于方程，利用直接开平方法，将其转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴，． 10．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）解方程： (1)公式法：； (2)配方法：； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】（1）先确定，，，再计算，判定有两个不相等的实数根，最后利用公式，即可求解； （2）先把二次项系数化为1，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）利用因式分解法，得到两个因式分别等于0，即或，再解方程即可； （4）先将方程左边因式分解，得到，从而得到或，再解方程即可． 【详解】（1）解：移项得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：移项，得， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴或， 解得：，； （4）解： 方程左边因式分解，得， ∴或， 解得：，． 【考点3】根的判别式与根与系数关系（第11-16题） · 对称点坐标特征结合根的条件 · 对称式用韦达定理整体代入 · 求参数范围列 Δ 不等式后取舍 · 三角形存在性先判三边关系 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）若m，n为方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：m为方程的实数根， ∴， 即， ∴， ∵m，n为方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：A． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 13．（2026·河北唐山·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】已知，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子展开后代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得， ， ∴ ． 15．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1) ，； ； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】 根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第17-20题） · 图形运动问题用时间 t 表示线段 · 营销、增长率模型按轮次列方程 · 完全平方公式几何应用面积建模 · 解后检验根是否符合运动范围 17．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据题意，设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为，先根据墙的长度为16米，求出，再求出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 18．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 19．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 【考点5】成比例线段与黄金分割（第21-23题） · 成比例线段按对应位置写比例 · 黄金分割线段长按 列方程 · 注意较长段与全段的对应关系 21．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在中，点E是的中点，连接交对角线于点M，交于点N．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 先推断出，，得到，则，进而得到，求出，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∵，点E是的中点， ∴，， ∴， 即， 则， ∴， 解得． 故选：A． 22．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点是线段的黄金分割点，若线段，求线段的长． 【答案】线段的长为或 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割点，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据黄金分割点的定义，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：由于点为线段的黄金分割点， 若，则； 若，则， 此时； 综上所述，线段的长为或． 【考点6】相似三角形的判定与性质（第24-36题） · 正方形中用边等角直找等角 · 矩形折叠抓折痕对应边角相等 · 网格题先算三边再用三边成比例 · 证明题先写相似再写对应边比例 24．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边求边长 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 25．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【知识点】利用相似三角形的性质求解、线段的和与差、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据图形发现，代入已知条件得的值，再根据条件，，结合三角形相似判定定理可证明，根据相似三角形的性质求出的长，再根据，代入数据计算即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4. 26．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 27．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查三角形重心的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握重心的性质是解题关键． 连接并延长交于点，利用重心的性质，结合、判定四边形为平行四边形，再通过证明、，分别得出、，最后结合​，计算得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点． 为重心， 为中点，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是____________，____________，____________． 【答案】 【知识点】相似图形 【分析】根据相似三角形三边对应成比例，将原三角形三边同时乘同一个不为1的正实数，即可得到符合要求的边长． 【详解】解：∵要新三角形与原三角形相似， ∴新三边与原三边对应成比例． ∴可以取相似比为， ∵原三角形三边长从小到大依次为，，， ∴新三边依次为：，，． 29．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程___________米． 【答案】7.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 30．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 31．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 32．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2) 理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）略 33．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，交于点O，则图中与相似的三角形共有多少个？请你写出来． 【答案】一共有3个，分别是：，， 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 利用两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后利用有两个角相等的三角形相似进行判定即可． 【详解】解：∵， , ； ∵， , ， ， ； ， ， ； 所以，与相似的三角形一共有3个，分别是：，，． 34．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ∴，， ， 又， ， ， ； (2)10 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 即， ． 35．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先利用等角对等边得到，将求证式转化为，再通过角的等量代换证明，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 【详解】略 36．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】 证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 【知识点】等边三角形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】略． 【考点7】相似三角形的实际应用（第37-39题） · 平行投影测高按比例列方程 · 实际问题先抽象出相似模型 · 结果注意单位与合理性 37．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 38．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，则液面为______cm． 【答案】 3 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比进行计算，首先计算出图1和图2中圆锥形杯身中液体部分的高度，然后利用比例关系求解． 【详解】解：设图1中杯口直径为，图2中液面直径为，杯身尖端为点， 由图1可知，杯身部分（圆锥部分）的高度为，杯口直径 ， 由图2可知，液面在杯身部分的高度为 ， 液面与杯口平行， ， 液面直径与杯口直径的比等于对应高度的比 ， 即， ， 解得， 故液面为 ． 39．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 【考点8】位似图形与坐标（第40-47题） · 位似中心出发对应点连线共点 · 坐标系中位似比即坐标比 · 网格画位似图形先定对应点 · 重心、三线合一是等腰三角形常用性质 40．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比、平行投影 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故选：D． 41．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，以点A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求位似图形的对应坐标 【分析】取的中点F，设，则，根据中点坐标公式求解即可； 【详解】解：取的中点F，设，则， 把按相似比放大， ， ， ， ， 解得 故； 42．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到，进而得出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点， ， ， ， ． 43．（25-26九年级上·湖南·期末）如图，与是以点O为位似中心的图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了位似性质，以及相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据位似性质，证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的图形，且与的周长之比为， ∴，且相似比为， ∴， ∴， 故选：D． 44．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，关于的中点作位似图形，若点恰为的重心，则与的周长比为__________． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了三角形重心的性质和位似比的概念，关键是掌握三角形重心的性质． 根据三角形重心的性质可以求出，从而进一步求出，，，这样便可求出，从而根据相似三角形的周长比计算即可． 【详解】解：点恰为的重心， 点是的三等分点， ， 是关于点的位似图形， ，，， ， ， 故答案为：． 45．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图是标示了、、顶点坐标的某三角形广场，现要将该广场进行扩建，以点为位似中心，使得扩建前的与扩建后的位似．若已知点的对应点的坐标为，则 （1）与的相似比为________； （2）点的对应点的坐标为________． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形的性质， （1）先分别确定点与点、点与点横坐标的距离，即可得出结论； （2）设点，然后分别表示出、的横坐标、纵坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算； 根据位似变换的定义，利用两点间的横（纵）坐标的距离之比等于对应边的比列出方程是解题的关键． 【详解】解：（1）∵以点为位似中心，使得扩建前的与扩建后的位似，且、、、 ∴点与点横坐标的距离为：， 点与点横坐标的距离为：， ， ∴与的相似比为， 故答案为：； （2）设点， ∴点与点横坐标的距离为：，点与点横坐标的距离为：， 点与点纵坐标的距离为：，点与点横坐标的距离为：， ∵与的相似比为， ∴，， 解得：，， 经检验：，是原方程的解且符合题意， ∴， 故答案为：． 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【答案】(1)不是； (2) 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】（1）求出两个长方形的长宽之比，即可判断． （2）利用位似图形的性质，推出两个长方形的边长之比，即可解答． 【详解】（1）解：外部大长方形的长和宽之比为， 中空的长方形铁板的长，宽， 中空的长方形长和宽之比为， ， 大、小两个长方形不是位似图形； （2）解：中空的长方形铁板的长，宽， 当大、小两个长方形是位似图形时， 可得， 整理可得， 所以当m和的比值是时，大、小两个长方形是位似图形． 47．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点网格线的交点上． (1)以点为位似中心，将在点的另一侧放大倍得到，画出，连接，，判定的形状． (2)计算的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求；为直角三角形 (2) 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，熟练掌握位似图形的性质是解答本题的关键． （）根据位似的性质作图即可；利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论． （）利用网格，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，，， ， ， 为直角三角形． （2）由图可知，的面积为． 【考点9】图形与坐标综合（第48-52题） · 等边三角形性质结合勾股求坐标 · 方位角确定位置要方向角与距离 · 有序数对表示位置先横后纵 · 动态问题先画定格瞬间的示意图 48．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知中，，于点D，E是的中点，交于点O，若，则的长是（    ） A．5 B． C．6 D．10 【答案】B 【知识点】重心的有关性质、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的重心的性质、勾股定理等知识点，灵活三角形重心的性质成为解题的关键． 根据中点的定义和已知条件可得，再说明是的中线，即，进而得到点O为的重心，根据重心的性质可求得，最后根据勾股定理以及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∴， ∵中，，于点D， ∴是的中线，即， ∵E是的中点， ∴点O为的重心， ∴， ∴， ∴． 故选B． 49．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（    ） A．，， B．，， C． D．，， 【答案】A 【知识点】等边对等角、坐标与图形综合 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键．分情况讨论当作为腰时得到两个符合条件的C点坐标，当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点，求出点C坐标即可． 【详解】解：当作为腰时， ， 或， 当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点， ，， ，， ， 在中，， ， 综上分析，或或 故选：A． 50．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）为等边三角形，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和平面直角坐标系中点的特征，利用等边三角形的性质求解点的坐标是解题的关键． 首先作辅助线构造直角三角形，再利用等边三角形的性质求解点B的横坐标，最后利用勾股定理求点B的纵坐标，最后确定点B的坐标即可． 【详解】解：如图，过点B作于点C， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点B在第一象限， ∴， 故选：D． 51．（23-24七年级下·山西大同·期中）如图，将一片枫叶固定在平面直角坐标系中．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，能根据点和点的坐标确定出平面直角坐标系是解答本题的关键． 根据所给点和点的坐标，确定平面直角坐标系，据此可解决问题． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 则平面直角坐标系如图所示： 所以点的坐标为， 故答案为：． 52．（23-24六年级上·北京房山·期中）如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 【答案】(1)， 如图：    (2) 如图：    (3)东，南（或南，东），． 【知识点】用有序数对表示位置、根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用． （1）从图上即可得出学校的位置； （2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可； （3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置． 【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是，公园的位置是 （2）解：∵小桥在学校东偏北方向处， ∴用数对表示小桥的位置为：， （3）解：如图可知，    则公园位于小桥的东偏南或南偏东方向上，距离是． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先读清条件，标注等量关系 · 代数变形优先整体代入，避免展开 · 相似证明规范书写对应角对应边 · 动态问题定格关键时刻再列方程 · 每解一个方程都要回头验根 【作业1】．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同类二次根式、异分母分式加减法 【分析】本题考查了同类二次根式. 判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后，比较根号内的被开方数是否相同. 【详解】解：A.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； B.与根号内的被开方数相同，是同类二次根式； C.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； D.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B. 【作业2】．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形．已知点的对应点为，若，则的长为（   ） A．10.5 B．12 C． D．14 【答案】D 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的性质可得，推出，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵点的对应点为，， ∴， ∴， ∴． 【作业3】．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【作业4】．（25-26九年级上·广东河源·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和判别式． 根据一元二次方程的定义和判别式，一元二次方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零，进而计算即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即， ∵有两个实数根， ∴， 即， 化简得， ， ∴， ∴， 综上，且． 故选：D． 【作业5】．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 【作业6】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【答案】2.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】设正方形的边长为，证明，，求出的长，作差即可. 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ． ，，正方形的边长为， ， 解得， ． 又由得， ， 即， 解得， ． 【作业7】．（26-27九年级下·全国·课后作业）利用复印机的缩放功能将直角缩小为原来的得到，已知，，．则的斜边上的高为_______． 【答案】12 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】缩放得到的三角形与原三角形相似，根据相似比求出原三角形斜边长度，再结合边长比例与勾股定理求出两条直角边，最后用面积法计算斜边上的高． 【详解】解：∵缩放得到的，相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵，， 设，，， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴，， ∵是斜边上的高， ， ∴． 【作业8】．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算、公式法解一元二次方程 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 【作业9】．（24-25九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 【作业10】．（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【作业11】．（21-22九年级上·广东佛山·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为________m． 【答案】12 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 当旋转到达地面时，为最短影长，则，影长最大时，木杆与光线垂直， 影长的最大值为，即，利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出的长． 【详解】解：如图 当旋转到达地面时，为最短影长，等于， ∵最小值， ∴， ∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图 ： 即， 在中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，工地上竖立着两根电线杆、，它们相距，分别自两杆上高出地面、的A、C处，向两侧地面上的E和D、B和F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳与的交点P离地面的高度是多少米？ 【答案】2.4米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确找出相似三角形是解答本题的关键．设米，米，根据，得到，，再利用相似三角形的性质列出方程组，然后即可求解． 【详解】解：由题意得：米，米，米， 设米，米，则米， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， 答：钢丝绳与的交点P离地面的高度是米． 【作业13】．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，把长、宽的矩形纸板剪掉个小正方形和个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为 (纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是，则的值是_____．    【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，观察图形可知小矩形的长为，根据去除阴影部分后的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的值是 ． 故答案为：． 【作业14】．（25-26九年级上·陕西延安·期末）在“国旗在心中”活动中，萌萌近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，是线段的黄金分割点，若，则的长为___________．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】利用黄金分割比为，可得，再由即可求解． 【详解】解：是线段的黄金分割点，， ，即， 则， 解得：． 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）一种雨伞的截面图如图所示，伞骨，支撑杆，当点O沿滑动时，雨伞开闭．若，则B，D两点间的距离等于_______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据已知条件推出两组对应边成比例，结合公共角证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算的长度即可. 【详解】解：，， ， ， ， ， ， . 【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形内接于，在斜边上，试证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）判定，推出； （2）由正方形的性质推出，，判定，推出，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【作业17】．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 【作业18】．（26-27八年级下·全国·课后作业）化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法、化为最简二次根式 【分析】利用二次根式的性质及二次根式乘除法法则，将被开方数中能开尽方的因数（或因式）开出来，同时化去被开方数中的分母，使结果化为最简二次根式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $