第21章·一元二次方程·期中复习讲义 ·2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第21章·一元二次方程·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能识别一元二次方程，掌握其一般形式并会由定义求字母取值 · 能灵活选用直接开平、配方、因式分解、公式法解一元二次方程 · 能用根的判别式判断根的情况并由根的情况求参数 · 能运用根与系数的关系（韦达定理）进行求值与证明 · 能列一元二次方程解决增长率、营销、图形、握手等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念与一般形式 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程叫一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c分别为二次项、一次项系数与常数项 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解（根） 概念辨析例题：若关于x的方程 (m-1)x|m|+1+2x-3=0 是一元二次方程，求m的值。 答案：m=-1。 解析：需满足 m-1≠0 且 |m|+1=2。由|m|+1=2得|m|=1，m=±1；又m≠1，故m=-1。 ☆ 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：形如 (x+a)2=b（b≥0） 配方法：化为 (x+)2= 因式分解法：右边为0、左边分解为两个一次因式之积；公式法：x= 概念辨析例题：用配方法解方程 x2-4x-1=0。 答案：x1=2+，x2=2-。 解析：移项 x2-4x=1，配方两边加4：(x-2)2=5，开方得 x-2=±，故 x=2±。 ☆ 3.根的判别式与根与系数的关系 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根 韦达定理：两根 x1+x2=-，x1·x2= 由根的情况求参数时，须保证二次项系数a≠0 概念辨析例题：已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、x2，求 x12+x22 的值。 答案：11。 解析：由韦达定理 x1+x2=3，x1x2=-1。x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=9-2×(-1)=11。 ☆ 4.一元二次方程的实际应用 增长率问题：基数×(1±增长率)n=最终量 传播/握手/循环赛：n(n-1)=总数（双向）或 =总数（单循环） 营销/利润：单件利润×销售量=总利润；面积问题按长宽列方程 概念辨析例题：某商品原价50元，经两次涨价后为72元，求平均每次涨价的百分率。 答案：20%。 解析：设平均每次涨价率为x，则 50(1+x)2=72，(1+x)2=1.44，1+x=1.2（舍去负），x=0.2=20%。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数必非零 配方法 (x+)2=… 先化二次项系数为1 求根公式 x= 先算判别式 判别式Δ Δ=b2-4ac 判根的个数 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 先化一般形式 增长率模型 a(1±x)n=b n为增长次数 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的有关概念（第1-8题） · 判定义：一元、二次、整式三条件缺一不可 · 一般形式化简要先去括号、移项合并同类项 · 由定义求参数：二次项系数≠0且次数=2联立 · 利用「根代入方程」可求未知系数或代数式的值 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江·期中）若非负整数使得关于的一元二次方程有实数根，且实数满足分式方程，则所有满足条件的的值的和为（　　） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 5．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 7．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是一元二次方程的二次项系数，是一次项系数，是常数项，且满足，写出这个一元二次方程． 【考点2】一元二次方程的解法（第9-17题） · 缺一次项或形如完全平方优先用直接开平方法 · 左边易因式分解（含公因式、平方差、十字相乘）用因式分解法 · 配方法步骤：化1→移项→配方→开方 · 不易分解的一般式用求根公式，先算Δ 9．（23-24九年级上·福建三明·期中） 已知方程，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 11．（2022·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 12．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 _____． 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：_________． 14．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 15．（25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 17．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【考点3】根的判别式与韦达定理（第18-29题） · Δ>0/=0/<0 对应两不等/两相等/无实根 · 由根的情况反求参数：列Δ不等式同时注意a≠0 · 韦达定理求值：常见 x12+x22、+ 用和积变形 · 含参方程先验Δ≥0再用韦达定理 18．（23-24九年级上·福建三明·期中）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 19．（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 20．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 21．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ）． A． B．0或 C．0或8 D．8或 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·陕西西安·期末）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 24．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 25．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则______________． 26．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）设方程的两根为、，求下列各式的值： (1)； (2)． 28．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第30-40题） · 增长率模型 a(1±x)n=b，注意n为次数 · 传播问题：1+x+x(1+x)=(1+x)n · 营销利润：单件利润×销量=总利润，注意涨价与销量此消彼长 · 数字/握手/循环赛按单双向正确列n(n-1)或 30．（2022·湖南衡阳·模拟预测）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 32．（2023·重庆北碚·模拟预测）水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·福建漳州·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 35．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 36．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价______元． 37．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 39．（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 40．（2026·广西柳州·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【考点5】一元二次方程的几何图形应用（第41-48题） · 面积问题：按长×宽=面积列方程，注意线段取值范围 · 边框/通道问题：将中间区域长宽表示为含x式 · 动点问题：用时间t表示线段长再勾股或面积列方程 · 几何背景须检验根是否符合实际图形位置 41．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 43．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____． 44．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为________． 45．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将边长为的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则移动的距离等于_______． 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)一个圆的面积是，求半径r； (2)一个直角三角形的两条直角边的长相差3，面积为9，求较长直角边的长x； (3)一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍，斜边长为5，求较短直角边的长． 47．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的六边形是由两个全等的矩形和两个等腰直角三角形组成的，其中两个矩形的面积和等于两个等腰直角三角形的面积和．若矩形的一边长为2，求另一边长． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把小圆形场地的半径增加，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为．求小圆形场地的半径． 【考点6】一元二次方程的综合与代数求值（第49-52题） · 判断某数是否方程的解：代入检验 · 已知式子值求代数式：整体代入，避免直接求根 · 与勾股、直角三角形结合时，注意三边关系检验 · 新定义/阅读理解题先把定义翻译成方程 49．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 50．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么的值是______． 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a是方程的一个实数根，求的值． 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程有实数根，求的取值范围． 💯 课后巩固 复习建议 · 默写一般形式、求根公式与韦达定理 · 四种解法各练2题，养成先观察结构再选法的习惯 · 判别式求参数题注意a≠0的隐含条件 · 应用题按增长率、利润、面积、握手分类整理模型 · 错题集中重做，重点检验根的实际意义 【作业1】．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【作业2】．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【作业4】．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【作业5】．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【作业6】．（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【作业7】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 【作业8】．（2025·河南信阳·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为____． 【作业9】．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则______． 【作业10】．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【作业11】．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ． 【作业12】．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【作业13】．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【作业14】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【作业15】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【作业16】．（24-25九年级下·四川自贡·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围并化简 (2)设是原方程的两个实数根，是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【作业17】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【作业18】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章·一元二次方程·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能识别一元二次方程，掌握其一般形式并会由定义求字母取值 · 能灵活选用直接开平、配方、因式分解、公式法解一元二次方程 · 能用根的判别式判断根的情况并由根的情况求参数 · 能运用根与系数的关系（韦达定理）进行求值与证明 · 能列一元二次方程解决增长率、营销、图形、握手等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念与一般形式 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程叫一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c分别为二次项、一次项系数与常数项 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解（根） 概念辨析例题：若关于x的方程 (m-1)x|m|+1+2x-3=0 是一元二次方程，求m的值。 答案：m=-1。 解析：需满足 m-1≠0 且 |m|+1=2。由|m|+1=2得|m|=1，m=±1；又m≠1，故m=-1。 ☆ 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：形如 (x+a)2=b（b≥0） 配方法：化为 (x+)2= 因式分解法：右边为0、左边分解为两个一次因式之积；公式法：x= 概念辨析例题：用配方法解方程 x2-4x-1=0。 答案：x1=2+，x2=2-。 解析：移项 x2-4x=1，配方两边加4：(x-2)2=5，开方得 x-2=±，故 x=2±。 ☆ 3.根的判别式与根与系数的关系 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根 韦达定理：两根 x1+x2=-，x1·x2= 由根的情况求参数时，须保证二次项系数a≠0 概念辨析例题：已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、x2，求 x12+x22 的值。 答案：11。 解析：由韦达定理 x1+x2=3，x1x2=-1。x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=9-2×(-1)=11。 ☆ 4.一元二次方程的实际应用 增长率问题：基数×(1±增长率)n=最终量 传播/握手/循环赛：n(n-1)=总数（双向）或 =总数（单循环） 营销/利润：单件利润×销售量=总利润；面积问题按长宽列方程 概念辨析例题：某商品原价50元，经两次涨价后为72元，求平均每次涨价的百分率。 答案：20%。 解析：设平均每次涨价率为x，则 50(1+x)2=72，(1+x)2=1.44，1+x=1.2（舍去负），x=0.2=20%。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数必非零 配方法 (x+)2=… 先化二次项系数为1 求根公式 x= 先算判别式 判别式Δ Δ=b2-4ac 判根的个数 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 先化一般形式 增长率模型 a(1±x)n=b n为增长次数 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的有关概念（第1-8题） · 判定义：一元、二次、整式三条件缺一不可 · 一般形式化简要先去括号、移项合并同类项 · 由定义求参数：二次项系数≠0且次数=2联立 · 利用「根代入方程」可求未知系数或代数式的值 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 2．（22-23八年级下·浙江·期中）若非负整数使得关于的一元二次方程有实数根，且实数满足分式方程，则所有满足条件的的值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，根据一元二次方程根的情况求出字母的取值范围等知识．先解分式方程求出，即可得到关于的一元二次方程为，根据方程有实数根求出，根据为非负整数且，得到，问题得解． 【详解】解：解分式方程，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ∴关于的一元二次方程为， ∵关于的一元二次方程为有实数根， ∴， 解得， ∵为非负整数且， ∴， ∴所有满足条件的的值的和为． 故选：A 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 5．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，结合方程有实数根得到根的判别式大于等于，求出的取值范围，即可确定整数的最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 整数的最小值为． 7．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是一元二次方程的二次项系数，是一次项系数，是常数项，且满足，写出这个一元二次方程． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、一元二次方程的定义、利用算术平方根的非负性解题、一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查一元二次方程的定义和形式，解题的关键是求出一元二次方程一般形式所需参数的值； 要列出一元二次方程，需先求解a、b、c，你能依据已知条件，结合非负数的性质建立关于三个参数的方程，解方程即可求得a、b、c的值，至此问题即可迎刃而解． 【详解】解：∵，且， ， ， ∵是二次项系数，是一次项系数，是常数项， ∴关于x的一元二次方程为． 【考点2】一元二次方程的解法（第9-17题） · 缺一次项或形如完全平方优先用直接开平方法 · 左边易因式分解（含公因式、平方差、十字相乘）用因式分解法 · 配方法步骤：化1→移项→配方→开方 · 不易分解的一般式用求根公式，先算Δ 9．（23-24九年级上·福建三明·期中） 已知方程，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】设模糊数字为，对方程配方，对比求出，再判断每个选项是否符合题意． 【详解】解：设印刷不清楚的数是，则， 移项，得， 配方，得， 则， 解得． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 或， 所以． 故选：C． 11．（2022·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的要求，确定的取值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 12．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 _____． 【答案】 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、因式分解法解一元二次方程 【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键． 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， ∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 14．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 15．（25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5) ， (6) ， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ∴，； （3）解：， ， ， 或， 解得，； （4）解：， ， 或， 解得，； （5）解：， ， ， 解得，； （6）解：， ， ， ， 或， 解得，. 17．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【知识点】化成一元二次方程的一般式、解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 【考点3】根的判别式与韦达定理（第18-29题） · Δ>0/=0/<0 对应两不等/两相等/无实根 · 由根的情况反求参数：列Δ不等式同时注意a≠0 · 韦达定理求值：常见 x12+x22、+ 用和积变形 · 含参方程先验Δ≥0再用韦达定理 18．（23-24九年级上·福建三明·期中）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由题意可知，、是方程的两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”可解此题．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握“，”是解题的关键． 【详解】解：由可知， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ， 故选：C． 19．（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 20．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查根据二元二次方程组的解的情况，求参数的范围，将二元二次方程组转化为一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：， 由②，得：， 把代入①，得：，即：， ∵方程组有实数解， ∴， ∴； 故选D． 21．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ）． A． B．0或 C．0或8 D．8或 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式，即， 解得或， 故选：C． 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】需同时满足有两实数根、两根和为2，结合根与系数的关系及判别式判断； 【详解】解：A选项：方程，两根和为，不符合； B选项：方程，两根和为，，有两个实数根，符合； C选项：方程，，无实数根，不符合； D选项：方程，两根和为，不符合． 23．（25-26八年级下·陕西西安·期末）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、三角形三边关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系、等腰三角形的定义 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 24．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程（化为一元一次） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 25．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则______________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，反过来也成立，也考查了根的判别式． 根据判别式的意义得到，然后解不等式；根据根与系数的关系得到，利用得到，则 ，然后解方程后利用的范围确定的值． 【详解】根据题意得 解得； 根据题意得， 即 整理得，解得， ∴的值为． 故答案为：． 26．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、配方法的应用、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）设方程的两根为、，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系求出与，根据异分母相加的法则化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式变形进行求值即可． 【详解】（1）解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∴； （2）解：． 28．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、通过对完全平方公式变形求值、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，两根之和为，两根之积为． (2)方程有两个相等的实数根，两根之和为，两根之积为． (3)方程没有实数根． (4)方程有两个不相等的实数根，两根之和为，两根之积为． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【详解】（1）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得 ，． （2）解：，，， ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得 ，． （3）解： ，，， ， 方程没有实数根． （4）解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得 ，． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第30-40题） · 增长率模型 a(1±x)n=b，注意n为次数 · 传播问题：1+x+x(1+x)=(1+x)n · 营销利润：单件利润×销量=总利润，注意涨价与销量此消彼长 · 数字/握手/循环赛按单双向正确列n(n-1)或 30．（2022·湖南衡阳·模拟预测）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】年末我国贫困人口还有万人，年平均下降率为．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人，据此列出方程即可， 【详解】解：由题意可得，． 31．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 32．（2023·重庆北碚·模拟预测）水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用连续两次打相同的折扣，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 33．（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 34．（25-26九年级上·福建漳州·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设年均增长率为x，根据“从2023年的30万人增加到2025年的万人”列方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：． 35．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 36．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价______元． 【答案】10或20 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每条连衣裙降价x元，则每天售出条，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每条连衣裙降价x元，则每天售出条， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 即：每条连衣裙应降价10元或20元． 故答案为：10或20． 37．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据月销售利润达到6000元列出一元二次方程并解方程，再根据题意即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 39．（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【知识点】列代数式、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 40．（2026·广西柳州·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)83 (2)9 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得： ； （2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得： ， ∴， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 故n的值为9． 【考点5】一元二次方程的几何图形应用（第41-48题） · 面积问题：按长×宽=面积列方程，注意线段取值范围 · 边框/通道问题：将中间区域长宽表示为含x式 · 动点问题：用时间t表示线段长再勾股或面积列方程 · 几何背景须检验根是否符合实际图形位置 41．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 42．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设米，则米，根据矩形的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又 长度要小于墙长米， ， ∴米． 故选：D． 43．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽． 根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是，宽为，然后根据长方形的面积长宽，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 44．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】 【知识点】三线合一、根据正方形的性质求线段长、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据面积相等，得到正方形的边长为2，根据图形推出，，结合三线合一，得出，设，，利用三角形面积公式列方程，即可求解． 【详解】解：如图，标记各点， 面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， 正方形的面积为4， 正方形的边长为2， 由图形可知，，，， ，， 等腰三角形， ， 设，， ， ， 解得：或（舍）， ， 即该等腰三角形的底边长为． 45．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将边长为的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则移动的距离等于_______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设交于点，交于点，根据平移的性质得到四边形是平行四边形，通过证明是等腰直角三角形，设，列出关于平行四边形面积的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，设交于点，交于点， 由平移的性质知，， 四边形是平行四边形， 将边长为的正方形沿对角线剪开， 和均是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 设，则阴影部分的底长为，高， 根据题意可列方程：， 解得：， 即． 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)一个圆的面积是，求半径r； (2)一个直角三角形的两条直角边的长相差3，面积为9，求较长直角边的长x； (3)一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍，斜边长为5，求较短直角边的长． 【答案】(1)所列方程为，一般形式为 (2)所列方程为，一般形式为 (3)设较短直角边的长为，所列方程为，一般形式为 【知识点】化成一元二次方程的一般式、一元二次方程的定义、用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）直接利用圆的面积公式进而得出答案； （2）直接利用直角三角形面积求法得出答案； （3）利用未知数表示出直角三角形的两直角边后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】（1）解：所列方程为，一般形式为； （2）解：所列方程为，一般形式为； （3）解：设较短直角边的长为，所列方程为，一般形式为 47．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的六边形是由两个全等的矩形和两个等腰直角三角形组成的，其中两个矩形的面积和等于两个等腰直角三角形的面积和．若矩形的一边长为2，求另一边长． 【答案】矩形的另一边长为或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形与等腰直角三角形的性质，一元二次方程的运用；掌握矩形，等腰直角三角形的性质和面积计算公式，根据题目中的等量关系列方程是解题的关键． 设矩形的另一边长为，由此可求出各图形的面积，再根据两个矩形的面积和等于两个等腰直角三角形的面积和，即可求解． 【详解】解：由题意得：小等腰直角三角形的腰长与矩形的一边长相等， 大等腰直角三角形的腰长与矩形的另一边长相等． 设矩形的另一边长为． 由题意，得， 解得，． 故矩形的另一边长为或． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把小圆形场地的半径增加，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为．求小圆形场地的半径． 【答案】小圆形场地的半径为． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设小圆半径为，则大圆半径为． 根据题意得， 解得（舍去），， 答：小圆形场地的半径为． 【考点6】一元二次方程的综合与代数求值（第49-52题） · 判断某数是否方程的解：代入检验 · 已知式子值求代数式：整体代入，避免直接求根 · 与勾股、直角三角形结合时，注意三边关系检验 · 新定义/阅读理解题先把定义翻译成方程 49．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 50．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么的值是______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值．根据是一元二次方程的一个根，可得，进而求的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a是方程的一个实数根，求的值． 【答案】2032 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断是否是一元一次方程解 【分析】分，两种情况讨论，最后合并取值范围． 【详解】解：已知有实数根， 当，方程为，，有实数根； 当，方程有实数根，则，解得， 综上，． 💯 课后巩固 复习建议 · 默写一般形式、求根公式与韦达定理 · 四种解法各练2题，养成先观察结构再选法的习惯 · 判别式求参数题注意a≠0的隐含条件 · 应用题按增长率、利润、面积、握手分类整理模型 · 错题集中重做，重点检验根的实际意义 【作业1】．（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、列举法求概率 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 【作业2】．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据题意可得方程无实数根，再由根的判别式解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴方程无实数根， ∴且， 解得：． 【作业3】．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 【作业4】．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分方程是一元一次方程， 一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当方程是一元一次方程，且有实数根时，， ∴， 解得，； 当方程是一元二次方程时，且有实数根时， ∴，， 解得，且； 综上所述，； 故选：A． 【作业5】．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵， ∴， 设的长为x， 则， ∴， 解得：，（大于半径，舍去）． 即的长为2． 【作业6】．（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 【作业7】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 【答案】直角三角形 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解． 【详解】解：原方程可以化为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【作业8】．（2025·河南信阳·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为____． 【答案】0 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此得出，结合，计算即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， ， 实数的最小整数值为， 故答案为：0． 【作业9】．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则______． 【答案】3 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；由方程解得、是方程的根，结合一元二次方程根与系数的关系即可求解；能将看作、是一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解： ，， 、是方程的根， ， ， ； 故答案为：． 【作业10】．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解参数的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，此处，，， 代入得：， 解不等式得． 【作业11】．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 【作业12】．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【答案】18 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解： ， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 【作业13】．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1) 解： 21与48是“幸福数对”． 理由： ，． ． 与48是“幸福数对”． (2)42和36 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 【作业14】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 【作业15】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 【作业16】．（24-25九年级下·四川自贡·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围并化简 (2)设是原方程的两个实数根，是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；4 (2)存在使得成立 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、二次根式有意义的条件、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得判别式大于0，再结合二次根式有意义的条件列出不等式组求出k的取值范围，再化简绝对值和计算算术平方根即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵是原方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴存在使得成立． 【作业17】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：是，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 当时， ． ∴的长度是方程的一个根． 【知识点】等边对等角、判断是否是一元二次方程的解、直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出的度数，最后用减去得到的度数； （2）先通过勾股定理求出的长度，进而得到的表达式，再通过代入验证或解一元二次方程的方式，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）略 【作业18】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ； （2）， ，，， ， ， ； （3）， ，，， ∴ ， ， ，． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $