精品解析：山东泰安市泰山区大津口中学2026-2027学年七年级上学期第一次阶段性练习数学试卷（10.10）

初二上学期阶段性练习1 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（共12小题，每题4分，共48分．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 B. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的角平分线与高互相重合 D. 角平分线是角的对称轴 5. 若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是( ). A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知，，是边上的高，是的平分线，则等于（ ） A. B. C. D. 9. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A. 10 B. 15 C. 30 D. 20 11. 等腰三角形的一边长为4，周长为20，则该三角形的腰长为（　　） A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 12 12. 如图，，在上，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分．） 13. 若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是_______． 14. 如图，在中，，，，则的长为________． 15. 如图，，请你再补充一个条件_________，使得．（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母） 16. 如图，在中，D、E分别为、的中点，若的面积为，则的面积为______． 17. 如图，点、在上，点、在上，，，则_____． 18. 如图，，，若，则的长为__． 19. 如图，把一块等腰直角三角形零件（，其中），放置在一凹槽内，三个顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，已知，测得，则__________． 20. 已知如图所示，等腰三角形的腰长的平分线相交于点，过点作，则的周长为___________． 三、解答题（共8小题，共70分．） 21. 如图，在中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，，交BC于点E．求∠BDE的度数． 22. 在下图的每个三角形中，分别按要求画图： （1）在图①中用尺规作出中线；（保留痕迹，写出结论） （2）在图②中用尺规作出角平分线；（保留痕迹，写出结论） （3）在图③中画出高线．（写出结论） 23. 如图，在和中，，，．求证：． 24. 如图，点在一条直线上，． （1）求证：． （2）若，求的大小． 25. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 26. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为16，求的长度． 27. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数． 28. 综合与实践 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF＜AE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF＞AE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二上学期阶段性练习1 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（共12小题，每题4分，共48分．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°， ∴∠B=180°﹣80°=100°． 故选D． 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 B. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的角平分线与高互相重合 D. 角平分线是角的对称轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，根据三角形的角平分线，中线，高的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理即可一一判断． 【详解】解：A、三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部，错误，三角形的高不一定在三角形内部，本选项不符合题意． B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，本选项符合题意， C、等腰三角形的角平分线与高互相重合，错误，应该是等腰三角形的顶角的角平分线与底边上的高互相重合．本选项不符合题意． D、角平分线是角的对称轴，错误，应该是角平分线所在的直线是角的对称轴，本选项不符合题意． 故选：B． 5. 若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求三角形第三边的范围，根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：设第三边的长为，由题意，， ∴， 故第三边长可能为； 故选B． 6. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】选项A，添加， 在和中， ， ∴≌（ASA）， 选项B，添加， 在和中，，，，无法证明≌； 选项C，添加， 在和中， ， ∴≌（SAS）； 选项D，添加， 在和中， ， ∴≌（AAS）； 综上，只有选项B符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 7. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案． 【详解】易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间． 故选C． 【点睛】解答此题最好的办法是动手操作一下，即可以解决问题，又锻炼动手操作能力． 8. 如图，在中，已知，，是边上的高，是的平分线，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，已知，， ∴， ∵是边上的高，是的平分线， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A. 10 B. 15 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用基本作图得到AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得DC=DE=3，然后根据三角形面积公式． 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， 由作法得AP平分∠BAC， ∴DC=DE=3， ∴△ABD的面积= 故选B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 11. 等腰三角形的一边长为4，周长为20，则该三角形的腰长为（　　） A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4为腰或者4底边时． 【详解】解：分情况考虑： 当4是腰时，则底边长是20-4-4=12， 此时4，4，12不能组成三角形，应舍去； 当4是底边时，腰长是（20-4）2=8， 此时4，8，8能够组成三角形． 此时腰长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12. 如图，，在上，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等．由，推出，，，，再由等腰三角形的性质，可以求解． 【详解】解：令和交于， ， ， ，， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， 由条件不能推出， ∴①②③正确． 故选：C． 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分．） 13. 若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是_______． 【答案】54 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角是． 故答案为：54 14. 如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：6 15. 如图，，请你再补充一个条件_________，使得．（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，补充条件即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴． 补充， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 补充， 在和中， ， ∴． 补充， 在和中， ， ∴． 补充， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，在中，D、E分别为、的中点，若的面积为，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：是的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此即可求解． 【详解】解：∵D、E分别为、的中点， ∴， ， ∴． 故答案为：6 17. 如图，点、在上，点、在上，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，根据等边对等角，得到，三角形的外角的定义和性质得到，再根据等边对等角，三角形的外角的性质，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，，，若，则的长为__． 【答案】4 【解析】 【分析】如图所示，过点P作于E，根据平行线的性质得到，则由三角形外角的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质可得，再由角平分线的性质可得． 【详解】解：如图所示，过点P作于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 19. 如图，把一块等腰直角三角形零件（，其中），放置在一凹槽内，三个顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，已知，测得，则__________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】因为是等腰直角三角形，，所以，且，结合可得，由此推出，确定证明三角形全等的角相等条件．因为，所以可通过判定和全等．由全等三角形的性质可得对应边，因为，所以将对应边长度代入即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∴． 20. 已知如图所示，等腰三角形的腰长的平分线相交于点，过点作，则的周长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的性质可知：，，由可得，，从而得出，，进而得出的周长为，即可得出答案． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴，． ∵， , ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：12． 三、解答题（共8小题，共70分．） 21. 如图，在中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，，交BC于点E．求∠BDE的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义求出∠ABD的度数，即可利用平行线的性质求出∠BDE的度数． 【详解】解：∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°． 又∵∠A＝70°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝80° ∵BD平分∠ABC， ∴ ∵， ∴∠BDE＝∠ABD＝40°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 22. 在下图的每个三角形中，分别按要求画图： （1）在图①中用尺规作出中线；（保留痕迹，写出结论） （2）在图②中用尺规作出角平分线；（保留痕迹，写出结论） （3）在图③中画出高线．（写出结论） 【答案】（1）如图，即为所作． （2）如图，即为所作． （3）如图，即为所作． 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，长为半径作弧，连接两弧交点，交于，连接，即为所求； （2）先以为圆心，任意长为半径作弧，交、于、两点，分别以、两点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，连接，交于，即为所求； （3）过点作的垂线，交延长线于，即为所求． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：略 23. 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】因为已知，所以给两个角同时加上公共角，即可得到．结合已知的、，使用全等判定定理即可证明两个三角形全等． 【详解】略． 24. 如图，点在一条直线上，． （1）求证：． （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线的性质得出相等的角，证明，再利用线段的和差进行证明即可； （2）利用两直线平行同位角相等进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． 25. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）用割补法求解； （2）①作出的三个顶点关于直线对称的对应点，依次连接即可； ②连接交于点P，则点P为满足条件的点． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略； ②连接交于点P，则， ∴， ∴点P为满足条件的点． 26. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为16，求的长度． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可； （2）中垂线的定义和性质，求出，推出的周长等于，进行求解即可． 【小问1详解】 解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 的垂直平分线交于点，， ，， 的周长为16， ， ∵， ∴． 27. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）∠3＝55°． 【解析】 【分析】（1）先由∠BAC=∠DAE，就可以得出∠1＝∠EAC，就可以得出△ABD≌△ACE； （2）由（1）得出∠ABD=∠2，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠2＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角和与内角和，解题关键在于掌握判定定理. 28. 综合与实践 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF＜AE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF＞AE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】（1）EF＝AE+BF； （2）EF＝AE﹣BF ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥m，BF⊥m， ∴∠AEC＝90°，∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠FCB， 又∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF； （3）EF＝BF﹣AE 【解析】 【分析】（1）通过“”证明，即可求解； （2）通过“”证明，得到、，即可求解； （3）通过“”证明，得到、，即可求解 【详解】解：（1）EF＝AE+BF； 证明如下：∵ ∴ 由题意得：， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴、 又∵ ∴ （2）略 （3）EF＝BF﹣AE ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥m，BF⊥m， ∴∠AEC＝90°，∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠FCB， 又∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $