精品解析：北京市第五中学分校2026～2027学年度第一学期第二次阶段性测试九年级数学

2026～2027学年度第一学期第二次阶段检测 初三数学 一、选择题（本题共8小题，共16分）每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； B、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故选项不符合题意； C、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故选项不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识．根据一元二次方程的一般形式：是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程， 则该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 6. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数的图象确定的符号，然后判断反比例函数的图象是否相符． 【详解】A．，则∴反比例函数的图象应该位于二四象限，故该选项正确，符合题意； B．令x=0，则y=1，∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意； C．由二次函数的图象可得：，此时，∴反比例函数的图象应该位于一三象限，故该选项不正确，不符合题意； D．令x=0，则y=1，∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 7. 如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 连接及，则 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项A说法正确，故此选项不符合题意； 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B说法正确，故此选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C说法错误，故此选项符合题意； 如图， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴选项D说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解． 【详解】解：如图， ∵BC⊥y轴， ∴BC∥AD， ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 设点，则， ①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，解得：，该方程有解， ∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确； ②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB， ∵点A的坐标是， ∴点B的横坐标为5， ∵点B是函数图象上， ∴点B的纵坐标为， ∴ ∵BC⊥y轴， ∴点C的纵坐标为， ∵点C是函数的图象的一点， ∴点C的横坐标为， ∴此时， ∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误； ③若a=1时，点，则， ∴AD=BC=7，， ∴此时四边形ABCD的周长为， 若a=2时，点，则， ∴AD=BC=4，， ∴此时四边形ABCD的周长为， ∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误； ∵，， ∴AD=，点B到x轴的距离为a， ∴四边形ABCD的面积为， ∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确； ∴正确的有①④． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，共16分） 9. 已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线，请写出一个满足条件的二次函数的解析式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，写出，且的一个二次函数解析式即可求解． 【详解】解：依题意，一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线的二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据可判断反比例函数的图象所在象限及每个象限内随的变化规律，结合两点横坐标的大小即可比较和的大小． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大． ， 点，都在第四象限， ． 11. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：， 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：． 故答案为：． 12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 13. 如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，已知矩形的面积为4，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点A的坐标是,设反比例函数的解析式为，则，由矩形的面积为4得到，即可求出答案． 【详解】解：设点A的坐标是,设反比例函数的解析式为， ∴， 由题意可得，， ∵矩形的面积为4， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，再把代入一元二次方程并解一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴ 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 则。 ∴ ∴另一个根是． 15. 小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0），可判断⑤． 【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧， ∴ab＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0，①正确； ∵抛物线经过（1，0）， ∴a+b+c＝0，②正确． ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴另一个交点为（﹣3，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确； ∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下， ∴y2＞y1＞y3，④错误． ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵＝﹣1， ∴b＝2a， ∴3a+c＝0，⑤错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 16. 某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 【答案】 ①. 甲 ②. 89 【解析】 【分析】先整理表格数据，分别计算出甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费；（1）总批数为，每条至少批，然后分三种情况计算总材料费S，然后比较即可解答；（2）总批数为，然后分别计算每种情况的总材料费，然后比较即可． 【详解】解：记分别为甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费，由表可得： ； ； ； (1)总批数为，每条至少批，分三种情况计算总材料费S： ①甲生产批：； ②乙生产批：； ③丙生产批：； 比较得，因此材料费最小时，应向甲分配批． (2)总批数为，分情况讨论： ①单条生产线生产5批： 甲：125万元； 乙：130万元； 丙：120万元； ②两条生产线分配： 甲3，乙2：； 甲3，丙2：； 乙3，甲2：； 乙3，丙2：； 丙3，甲2：； 丙3，乙2：； ③两条生产线分配： 甲4，乙1：； 甲4，丙1：； 乙4，甲1：； 乙4，丙1：； 丙4，甲1：； 丙4，乙1：； ④三条生产线分配： 甲3，乙1，丙1：； 乙3，甲1，丙1：； 丙3，甲1，乙1：； ⑤三条生产线分配： 甲2，乙2，丙1：； 甲2，丙2，乙1：； 乙2，丙2，甲1：； 对比所有方案，材料费的最小值为89万元． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题每题5分，第25-26题每题6分，第27-28每题7分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：移项得， 配方得， 即， 开方得， ∴，． 【小问2详解】 ， ， 或， 解得， 18. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值． 【答案】3. 【解析】 【分析】把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5可得． 【详解】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1， ∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 19. 如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______． （2）将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称，线段垂直平分线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 即旋转中心的坐标为 故答案为： 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 21. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是_____________． 【答案】（1）顶点坐标为； （2） 图象为： ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求解； （2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象； （3）分别令和4求得函数值后即可确定y的取值范围． 【小问1详解】 解： ； ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： x 1 2 3 4 5 y 3 0 0 3 描点，连线． 【小问3详解】 解：∵当时，；当时，， 又∵当时，y有最小值， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点． 22. 新定义：如果二次函数的图像经过点（-1，0），那么称此二次函数的图像为“定点抛物线” （1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线” （2）若定点抛物线与x轴只有一个公共点，求的值． 【答案】（1）是；（2）k＝1 【解析】 【分析】（1）把x=-1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题． （2）因为y=x2-mx+2-k与x轴只有一个公共点，所以（-1，0）是抛物线顶点，所以抛物线解析式为y=（x+1）2，由此即可解决问题． 【详解】（1）当x＝−1时，y＝2＋5−7＝0， ∴抛物线y＝2x2−5x−7经过点（1，0）， ∴二次函数图象为“定点抛物线”． （2）∵y＝x2−mx＋2−k与x轴只有一个公共点， ∴（−1，0）是抛物线顶点， ∴抛物线解析式为y＝（x＋1）2＝x2＋2x＋1， ∴2−k＝1， ∴k＝1． 【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点，理解题意是解题的关键，学会灵活运用顶点式确定二次函数的解析式． 23. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 【答案】寸 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的建立与求解，矩形面积公式，根据题意构建关于画框宽度的一元二次方程是解题关键． 设画框左右宽度为寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【详解】解：设摆台画框的左、右边宽度为寸，则上、下边宽度为寸， 已知创意画的长为寸，宽为寸，则创意画的面积为平方寸， 画框所占面积为创意画面积的， 画框的面积为平方寸， 画框与创意画的总面积为平方寸， 带画框的整体长为寸，宽为寸， ， 可得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 故摆台画框的左、右边宽度为寸． 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸． 24. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A． （1）求a和的值； （2）当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出； （2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知，函数即为函数， 当时，， 当过点时，，解得，即， 当时，为，与平行， 如图， 根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： 令，则， 解得或（舍去）， ∴球第一次落在球桌面上的点为， 把代入，得， 解得（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 当时，， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）从表格中发现高度的最大值为50，可知顶点为，可知，再将代入即可求出； （2）乒乓球在桌面的落点就是抛物线与x轴的交点，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落点，再将代入到求出弹起后满足的关系式，再令，就可求出第二次的落点，然后跟桌面长度比较即可，注意乒乓球是向前运动的，即在坐标系中是向右运动的，所以求出在左侧的落点要舍去. 【小问1详解】 解：乒乓球竖直高度的最大值 依题意，， ∴与的函数关系式为， 把代入函数解析式得：， 解得， ∴与的函数关系式为. 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较，的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； （3）若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 【答案】（1），理由如下： 当时，抛物线， 将代入得，， 将代入得，， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，然后分别将，代入求解比较即可； （2）首先根据判别式得到或，设，两点的横坐标分别为，，利用根与系数的关系得到，，然后表示出，根据长度大于4求解即可； （3）令整理得到，设，求出抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据题意得到与轴没有交点，然后利用判别式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴或， 当时，， 设，两点的横坐标分别为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵长度大于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵或， ∴． 【小问3详解】 解：令得，， 整理得，， 设， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，总满足， ∴与轴没有交点， ∴， ∴． 27. 如图1，中，，点E在上，且满足，点F在射线上，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接交于点G． （1）写出与的数量关系，并证明； （2）如图2，取的中点D，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 延长至，使得， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是的中点， 连接， ∵是的中点，的中点为， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得到结论； （2）如图，延长至，使得，连接，证明是的中点，连接，证明，，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于点和直线，作点关于的对称点，点是直线上一点，作线段满足且，如果线段与直线有交点，则称点是点关于直线和点的“垂对点”，如图所示，点是点关于直线和点的“垂对点”． （1）如图1，已知点， ①若点，则点关于轴和点的“垂对点”的坐标为______； ②若点，求点关于轴和点的“垂对点”的坐标； （2）若点、点是直线上的点，点，且满足点是点关于轴和点的“垂对点”，直接写出点的坐标； （3）已知点，，，．点在四边形的边上，直线：，若四边形的边上存在点是点关于直线和点的“垂对点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②． （2） 或 ． （3）． 【解析】 【分析】（1）由 是 关于 的对称点知 垂直平分 ，由 ， 得“把点 绕点 旋转 就是点 ”；又“线段 与 有交点”要求点 与点 在 的同侧（或点 在 上）．于是求“垂对点”只需把 绕 旋转 （得两个点），再取落在 所在一侧的那个； （2）按同一规律，把 用参数表示并写出 的坐标，再按旋转关系写出点 的坐标，由点 在直线 上确定参数； （3）仍用同一规律，直接写出 与 、 坐标的两组关系式，再让 、 沿四边形 的边运动，由 、、、 的取值范围确定 的范围，并用端点处的构造验证端点能取到． 【小问1详解】 解： 由定义得 ， ， 把线段 绕点 旋转 恰好得到线段 ，即点 绕点 旋转 就是点 ； ∵ 是 关于 的对称点， ∴与 在 的异侧， 线段 与 有交点， 点 与点 在 的同侧（或点 在 上）． ① 为 轴，， ； 与 的横坐标之差为 、纵坐标之差为 ，把 绕 旋转 ： 逆时针旋转得 （在 轴右侧，与点 异侧，舍去），顺时针旋转得 （在 轴上，符合题意）； 点 的坐标为 ． ②， 把 绕 旋转 得 或 ，其中 与点 异侧（舍去）， 与点 同侧（符合题意）； 点 的坐标为 ． 【小问2详解】 解：由定义的核心知，点 是把点 绕点 旋转 所得的点，且点 在 上、点 与点 在 的同侧（或点 在 上）； 为 轴，点 、点 都在直线 上， 设 ， ； 与 的横坐标之差为 、纵坐标之差为 ，把 绕 旋转 ： 逆时针旋转得 ，顺时针旋转得 ； 点 在直线 上， 由 得 ，此时 ， ； 由 得 ，此时 ， ； 检验： 与 都在 轴下方； 在 轴上方， 在 轴上；两种情形都满足“点 与点 在 的同侧（或点 在 上）”，符合题意； 点 的坐标为 或 ． 【小问3详解】 解：四边形 的四个顶点为 、、、，故四边形边上任意一点的横坐标满足 、纵坐标满足 ； 设点 、点 都在四边形 的边上，点 在直线 上； 由定义的核心，点 是把点 绕点 旋转 所得的点，且点 与点 在 的同侧（或点 在 上）． 是 关于 的对称点， ，且线段 的中点在 上； 设 ： 上横、纵坐标的变化量相同，而 ， 上横、纵坐标的变化量互为相反数，得 ； 线段 的中点 在 上， ，即 ； 两式联立解得 、，即 ； 把点 绕点 旋转 得点 ： （i）逆时针旋转时，， 点 在 上， ，化简得 ，记为①； （ii）顺时针旋转时，， 点 在 上， ，化简得 ，记为②； 由 、 得 、，由 、 得 ， 由①得 的最小值为 、最大值为 ；由②得 的最小值为 、最大值为 ，二者都给出 ； 如图：当 时，，取 、，此时 是 关于 的对称点，由②得 ，成立，且线段 与 交于点 ，符合题意； 当 时，，取 、，此时 是 关于 的对称点，由②得 ，成立，且线段 与 交于点 ，符合题意； 当 时，让点 、点 沿四边形的边连续移动，总能使①或②成立，且线段 与 的交点随之连续变化而不会消失； 的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第二次阶段检测 初三数学 一、选择题（本题共8小题，共16分）每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 连接及，则 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 二、填空题（本题共8小题，共16分） 9. 已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线，请写出一个满足条件的二次函数的解析式_______． 10. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 11. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是______． 12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 13. 如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，已知矩形的面积为4，则反比例函数的解析式为______． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 15. 小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分） 16. 某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题每题5分，第25-26题每题6分，第27-28每题7分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值． 19. 如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______． （2）将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 21. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是_____________． 22. 新定义：如果二次函数的图像经过点（-1，0），那么称此二次函数的图像为“定点抛物线” （1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线” （2）若定点抛物线与x轴只有一个公共点，求的值． 23. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A． （1）求a和的值； （2）当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较，的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； （3）若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 27. 如图1，中，，点E在上，且满足，点F在射线上，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接交于点G． （1）写出与的数量关系，并证明； （2）如图2，取的中点D，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和直线，作点关于的对称点，点是直线上一点，作线段满足且，如果线段与直线有交点，则称点是点关于直线和点的“垂对点”，如图所示，点是点关于直线和点的“垂对点”． （1）如图1，已知点， ①若点，则点关于轴和点的“垂对点”的坐标为______； ②若点，求点关于轴和点的“垂对点”的坐标； （2）若点、点是直线上的点，点，且满足点是点关于轴和点的“垂对点”，直接写出点的坐标； （3）已知点，，，．点在四边形的边上，直线：，若四边形的边上存在点是点关于直线和点的“垂对点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $