1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第一章《集合与常用逻辑用语》 “否定”是逻辑的基本操作：把一个命题说成它的反面，真就变假、假就变真；含量词的命题作否定时，量词还要随之互换 图 1　本节知识地图：命题的否定（真值相反）、全称量词命题的否定、存在量词命题的否定、关键词的否定 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解命题的否定的含义，知道命题 p 与它的否定 ¬p 真假相反； ② 掌握全称量词命题的否定：∀x∈M, q(x) 的否定是 ∃x∈M, ¬q(x)； ③ 掌握存在量词命题的否定：∃x∈M, p(x) 的否定是 ∀x∈M, ¬p(x)； ④ 会区分“命题的否定”与“否命题”，会写常用关键词的否定形式。 重点 命题的否定的含义；全称量词命题与存在量词命题的否定（改量词、否结论） 难点 否定含有关键词（如“都是”“至少有一个”）的命题；分清“命题的否定”（只否结论）与“否命题”（条件结论都否） 上节课认识了命题与两类量词命题（全称量词命题、存在量词命题）。本节课研究怎样对它们作"否定"——这既是逻辑的基本操作，也是今后判定命题真假、进行推理论证的重要工具。 二、情境引入 观察下面两个命题及其真假，说说怎样把它们“说反”： ①所有的菱形都是平行四边形。（真命题） ②存在实数 x，使 。（假命题） 把“真”说成“假”、把“假”说成“真”，就是做“否定”。① 的否定是“不都是平行四边形”，② 的否定是“对任意实数 x，都有 ”。可以看到：否定一个命题，不只是加个“不”字那么简单——尤其当命题里含有量词时，量词本身也要随之改变。这就是本节课要解决的问题。 三、命题的否定 一般地，对命题 p 作否定，得到一个新命题，记作 （读作“非 p”）。 命题 p 与它的否定 真假相反（一真一假）： 真值相反若 p 为真，则 为假；若 p 为假，则 为真。两者一真一假。 两个要点① 本身也是一个命题；② 对 再作否定，就回到原命题 p。 图 2　命题的否定：对 p 否定得 ¬p，p 与 ¬p 真值相反 四、全称量词命题的否定 全称量词命题 表示“对集合 M 中的任意一个 x，q(x) 都成立”。要否定它，只需要说明“在 M 中存在一个 x，使 q(x) 不成立”。于是量词由“任意”变为“存在”，结论 q(x) 被否定为 。 因此： 的否定是 。 要点全称量词命题的否定，是存在量词命题；否定时把全称变存在，并对结论作否定。 举例 的否定是 ； 的否定是 。 五、存在量词命题的否定 存在量词命题 表示“在 M 中至少存在一个 x，使 p(x) 成立”。要否定它，需要说明“对 M 中的任意一个 x，p(x) 都不成立”。于是量词由“存在”变为“任意”，结论 p(x) 被否定为 。 因此： 的否定是 。 要点存在量词命题的否定，是全称量词命题；否定时把存在变全称，并对结论作否定。 举例 的否定是 ； 的否定是 。 六、量词否定互换法则与关键词的否定 把两类量词命题的否定合起来看，可以归纳出一条统一法则： 量词否定互换法则否定一个量词命题时，量词互换（全称变存在），并对结论作否定。 原命题 它的否定 量词与结论的变化 全称变存在，否定结论 存在变全称，否定结论 图 3　量词否定互换法则：全称变存在、存在变全称，并且否定结论 常用关键词的否定形式 命题里常出现一些“整体性”“存在性”的词语，否定时要按其逻辑含义改写，不能简单地在前面加“不”： 原词 它的否定 说明 都是 不都是（不是“都不是”） “不都是”允许有一部分满足，与“都不是”不同 都不是 至少有一个是 整体否定换成存在性肯定 至少有一个 一个也没有（全没有） 存在性换成整体性否定 大于 不大于（即 ≤，含等于） 不能写成“小于” 小于 不小于（即 ≥，含等于） 不能写成“大于” 任意（所有） 存在一个不…… 全称换存在，并否定谓词 书写否定命题的一般步骤 ① 定结构先判断原命题是简单命题、含量词命题，还是“若 p 则 q”形命题。 ② 选法则简单命题与“若 p 则 q”形命题只否定结论；含量词命题先用量词否定互换法则改量词，再否定结论。 ③ 验真假写出否定后，用“命题与其否定真值相反”检验——由原命题的真假可直接得到否定命题的真假。 七、命题的否定 与 否命题 的区别 “命题的否定”与“否命题”是两个容易混淆的概念，必须分清： 图 4　命题的否定 与 否命题 的区别：前者只否结论，后者条件与结论都否 本质区别命题的否定对任意命题都适用，只否定结论；否命题只对“若 p 则 q”形命题，条件与结论都否定。 以“若 p 则 q”为例命题的否定：若 p 则 ；否命题：若 则 。两者一般不是同一个命题。 下面通过一个具体例子，看清“命题的否定”与“否命题”的差别： 原命题：若两条边相等，则这两个角相等。 命题的否定（只否结论）：若两条边相等，则这两个角不相等。 否命题（条件与结论都否）：若两条边不相等，则这两个角不相等。 要点：两者一般不是同一个命题，真假也往往不同，不能混为一谈。 联系：原命题为真时，其否命题可能真也可能假，需另行判断；原命题为假时同理，两者真假没有必然联系。 八、例题 图 5　命题的否定的写法举例：原命题 → 它的否定（注意量词互换与关键词改写） 例 1（全称量词命题的否定） 写出下列命题的否定： ①对任意实数 x，都有 ； ②所有矩形都是正方形。 解：① 全称变存在、否结论，否定为 。② 否定为“存在一个矩形，它不是正方形”。 例 2（存在量词命题的否定） 写出下列命题的否定： ①存在实数 x，使 ； ②存在偶数不是 2 的倍数。 解：① 存在变全称、否结论，否定为 。② 否定为“对任意偶数，它都是 2 的倍数”。 例 3（命题的否定 与 否命题 辨析） 命题“若整数 n 能被 2 整除，则 n 是偶数”。分别写出它的命题的否定和否命题。 解：命题的否定（只否结论）：若整数 n 能被 2 整除，则 n 不是偶数。 否命题（条件与结论都否）：若整数 n 不能被 2 整除，则 n 不是偶数。 可以看到，两者只在条件部分不同：命题的否定保留原条件，否命题把条件也否定了。 例 4（写出否定并判断真假） 写出下列命题的否定，并判断原命题与它的否定的真假： ①存在实数 x，使 ； ②对任意有理数 q，都有 q 能写成分数的形式。 解：① 存在变全称、否结论，否定为 。原命题为真（如 x=−1 时成立），其否定为假。② 全称变存在、否结论，否定为“存在有理数 q，使 q 不能写成分数的形式”。原命题为真，其否定为假。 九、易错辨析 “都是”的否定不是“都不是”“都是”的否定是“不都是”（允许有一部分满足，也允许全不满足）；“都不是”语气更强，两者不等价。 否定量词命题别忘了换量词全称命题的否定一定是存在命题，存在命题的否定一定是全称命题；只把结论加“不”而量词不变，得到的并不是原命题的否定。 “命题的否定”与“否命题”莫混淆前者只否结论、对任意命题可用；后者只针对“若 p 则 q”，条件结论都否。 “大于”的否定不是“小于”“大于”的否定是“不大于”（即 ≤，包含等于）；“小于”的否定是“不小于”（即 ≥）。 十、本节边界 本节已学命题的否定（，与 p 真值相反）；全称量词命题的否定（全称变存在、否结论）；存在量词命题的否定（存在变全称、否结论）；常用关键词的否定形式；“命题的否定”与“否命题”的辨析。 本节不涉及用命题的真假刻画条件与结论之间的内在联系，留待后续课时研究。 十一、课后巩固 1. 写出否定写出下列命题的否定：① 所有质数都是奇数；② 存在实数 x 使 。 2. 全称命题否定写出“对任意自然数 n，都有 ”的否定，并说明原命题与它的否定命题的真假。 3. 存在命题否定写出“存在整数 m，使 m 能被 2 整除且 m>10”的否定。 4. 关键词否定将下列命题否定，注意“都是”“至少有一个”的处理：① 班里的同学都是男生；② 至少有一个同学及格了。 5. 辨析命题“若 ，则 ”。分别写出它的命题的否定和否命题。 6. 综合应用判断下列命题的真假，再写出其否定并说明否定命题的真假：① ；② 。 7. 关键词否定写出“至少有一个偶数是质数”的否定，并判断原命题与它的否定的真假。 8. 存在命题否定写出“存在实数 x，使 ”的否定，并判断原命题与它的否定的真假。 参考答案 1. ① 存在一个质数不是奇数（如 2 是偶数）；② （即不存在使 的实数）。 2. 否定：。原命题为真（自然数平方非负）；否定命题为假（实数平方非负，不存在这样的自然数）。 3. 否定：对任意整数 m，m 不能被 2 整除，或 m≤10（即“能被 2 整除且大于 10”的反面）。 4. ① 班里的同学不都是男生（即至少有一个女生）；② 班里的同学全没有及格（即一个及格的也没有）。 5. 命题的否定：若 ，则 （只否结论）；否命题：若 ，则 （条件结论都否）。两者不同。 6. ① 原命题真（对任意实数 x 都有 ），其否定 为假命题；② 原命题假，其否定 为真命题。 7. 否定为“所有偶数都不是质数”。原命题为真（2 既是偶数又是质数），其否定为假。 8. 否定为 。原命题为真（x=0 或 x=1 都满足），其否定为假。 学科网（北京）股份有限公司 $