1.1.2 集合的基本关系 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.1.2 集合的基本关系　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第一章《集合与常用逻辑用语》 集合之间也有"大小"与"相等"——本节课研究集合与集合的基本关系 图 1　本节知识地图：包含、真包含、集合相等、空集、辨析与数集链 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解子集、真子集的概念，掌握符号 A ⊆ B 与 A ⊊ B 的写法和读法； ② 会用 Venn 图表示集合之间的包含关系； ③ 理解集合相等的条件（A = B 当且仅当 A ⊆ B 且 B ⊆ A），理解空集 ∅ 的含义与性质； ④ 能区分元素与集合的从属关系（∈）和集合与集合的包含关系（⊆）； ⑤ 掌握有限集的子集个数公式：n 元集有 个子集。 重点 子集、真子集、集合相等的定义；空集的性质；∈ 与 ⊆ 的辨析；子集个数公式 难点 ∈ 与 ⊆ 的层次辨析；含参数的集合关系中"空集"情况的分类讨论 集合不仅能"装元素"，集合之间也存在确定的关系。认识了这些关系，后面研究集合的运算、乃至函数与不等式，都有了统一的语言基础。 二、情境引入 观察下面两组集合，看它们之间有什么联系： ①A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}。 A 的元素 1、2 都在 B 中，但 B 还有元素 3 不在 A 中。 ②M = {x | x 是正方形}，N = {x | x 是矩形}。 每一个正方形都是矩形，所以 M 的元素都在 N 中。 这两组里，前一个集合的每一个元素都属于后一个集合——这种"全部包含"的关系，就是集合之间的包含关系。 三、子集（A ⊆ B） 一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么称集合 A 是集合 B 的子集（subset），记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A），读作"A 包含于 B"（或"B 包含 A"）。 定义式A ⊆ B　⇔　对任意 x ∈ A，都有 x ∈ B。 读法A ⊆ B：A 包含于 B（也可说 B 包含 A）。注意"包含于"与"包含"方向不同。 Venn 图把集合画成封闭曲线，A ⊆ B 表现为 A 的曲线完全落在 B 的曲线内部（见图 2 左）。 要点辨析 • A ⊆ B 包含 A = B 的情形：子集关系允许两个集合相等。 • 任何集合都是它自身的子集：A ⊆ A。 • 举例：{1, 2} ⊆ {1, 2, 3}；N ⊆ Z；空集是任何集合的子集（详见第六节）。 四、真子集（A ⊊ B） 如果 A ⊆ B，并且 B 中至少有一个元素不属于 A（即 A ≠ B），那么称 A 是 B 的真子集（proper subset），记作 A ⊊ B（或 B ⊋ A），读作"A 真包含于 B"。 等价表述A ⊊ B　⇔　A ⊆ B 且 A ≠ B。 读法A ⊊ B：A 真包含于 B。真子集强调"严格小于"，不能等于。 Venn 图A 的曲线在 B 内部，且 B 中多出一块（有元素只在 B 不在 A），见图 2 右。 图 2　子集与真子集：A 的曲线在 B 内表示 A ⊆ B；B 中多出元素（b）时 A ⊊ B 要点辨析 • 若 A ⊊ B，则必有 A ⊆ B；但 A ⊆ B 不一定有 A ⊊ B（可能 A = B）。 • 举例：{1} ⊊ {1, 2}；N* ⊊ N。 五、集合相等（A = B） 如果两个集合 A、B 满足 A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么称这两个集合相等，记作 A = B。 等价条件A = B　⇔　A ⊆ B 且 B ⊆ A。 含义两个集合相等，就是它们含有完全相同的元素（与元素的排列顺序、重复书写无关）。 Venn 图A 与 B 的曲线重合（图 3 左）。 例 1　判断集合相等 A = {x | }，B = {−1, 1}，判断 A 与 B 是否相等。 解：由 得 x = −1 或 x = 1，所以 A = {−1, 1} = B，即 A = B。 点拨：判断两集合相等，可分别求出元素再利用"互相包含"判定。 六、空集（∅） 不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记作 ∅。 易混辨析∅ 不是数字 0，也不是 {0}。 0 是一个数；{0} 是含一个元素 0 的集合；∅ 是一个元素都没有的集合。三者层次不同。 性质∅ ⊆ A（对任意集合 A）；若 A ≠ ∅，则 ∅ ⊊ A。 例 2　写出空集 下列集合哪些是空集？ ① {x | , x ∈ R}：实数平方加 1 恒大于 0，无解，是 ∅。 ② {x | x > 2 且 x < 1}：没有数能同时大于 2 又小于 1，是 ∅。 ③ {0}：含一个元素 0，不是空集。 七、包含关系与从属关系的辨析（∈ 与 ⊆） 初学者最容易混淆两个不同层次的关系： 图 3　左：集合相等（两圆重合）；右：a ∈ A 是"元素—集合"层，A ⊆ B 是"集合—集合"层 符号 关系层次 左边是什么 举例 ∈ 元素 — 集合 单个元素 a ∈ A 表示 a 是 A 的一个元素 ⊆ 集合 — 集合 整个集合 A ⊆ B 表示 A 的所有元素都在 B 中 常见错误 • 把 a ∈ A 与 {a} ⊆ A 混为一谈：前者说元素 a 属于 A，后者说"只含 a 的单元素集"是 A 的子集。 • {a} ∈ A 一般不成立——除非 A 的某个元素恰好是集合 {a} 本身。 • ∅ 与 {∅} 不同：∅ 无元素；{∅} 是含一个元素（这个元素是空集）的集合，且 ∅ ∈ {∅}。 八、子集的性质 自反性A ⊆ A：任何集合都是它自身的子集。 传递性若 A ⊆ B 且 B ⊆ C，则 A ⊆ C。 相等判定A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A（这正是第五节的定义）。 由传递性还可以推出：若 A ⊊ B 且 B ⊊ C，则 A ⊊ C。 九、常用数集的包含关系 正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集之间，存在一条严格的真包含链： N* ⊊ N ⊊ Z ⊊ Q ⊊ R 读法（以 N* ⊊ N 为例）：正整数集是真包含于自然数集，即正整数集是自然数集的真子集。 图 4　常用数集真包含链（左）与有限集子集个数公式（右） 说明 • 反向也成立：R ⊋ Q ⊋ Z ⊋ N ⊋ N*（"包含"方向反过来）。 • 注意 N* 与 N 之间是真包含（N 比 N* 多了元素 0），不是相等。 十、有限集的子集个数 设集合 A 含有 n 个元素，构造它的任意一个子集时，A 中每个元素都有"选入"或"不选入"两种可能，且各元素的选择相互独立，故共有 种不同的选法，对应 个子集。 个数 说明 子集 含空集与集合自身 真子集 在子集基础上去掉集合自身 非空真子集 再去掉空集 例 3　计数 集合 {a, b, c} 有 3 个元素，所以子集 = 8 个，真子集 7 个，非空真子集 6 个。 十一、例题 例 4　含参数的集合关系（分类讨论空集） 已知集合 A = {x | } = {−2, 2}，B = {x | ax = 1}。若 B ⊆ A，求实数 a 的值。 解：由 B ⊆ A，分两种情况： (1) B = ∅当 a = 0 时，方程 ax = 1 无解，B = ∅；由 ∅ ⊆ A 知此时成立。故 a = 0 符合。 (2) B ≠ ∅当 a ≠ 0 时，B = {}。由 B ⊆ A 得 = −2 或 2，解得 a = 或 a = 。 综上，a 的取值集合为 {, 0, }。 易错：漏掉 a = 0（空集是任何集合的子集，必须单独讨论）。 例 5　嵌套子集的枚举 已知集合满足 {1} ⊆ A ⊆ {1, 2, 3}，写出所有满足条件的集合 A。 解：A 必须含有元素 1，且 A 是 {1, 2, 3} 的子集；2、3 可选可不选。 A = {1}、{1, 2}、{1, 3}、{1, 2, 3}，共 4 个。 十二、本节边界 本课时范围只研究集合与集合的基本关系：包含（⊆）、真包含（⊊）、集合相等（=）、空集（∅），以及 ∈ 与 ⊆ 的辨析、数集链、有限集子集个数。 不在此处集合之间如何由已知集合得到新的集合（集合的运算）在 1.1.3 学习；命题与常用逻辑用语在 1.2。方程与不等式的一般解法不在本课时。 课后巩固 1. 判断{0} 与 ∅ 是否相同？{1, 2} 与 {2, 1} 是否相同？集合 {a} 与元素 a 是否相同？ 2. 填空（选 ∈、∉、⊆、⊊）(a) 0 ____ N；(b) {0} ____ {0, 1}；(c) ∅ ____ {1}；(d) 1 ____ {x | x > 0}。 3. 计数写出集合 {1, 2} 的所有子集，并指出其真子集、非空真子集的个数。 4. 相等判定A = {x | }，B = {−1, 1}，判断 A 与 B 是否相等。 5. 枚举已知 {a} ⊆ A ⊆ {a, b, c}，写出所有满足条件的集合 A。 6. 计数一个含 4 个元素的集合，求它的子集、真子集、非空真子集的个数。 7. 选择下列关系中正确的是（　　）A. 0 ∈ ∅　B. {0} ⊊ {0}　C. ∅ ⊆ {0}　D. {1} ∈ {1, 2} 8. 填空（选 ∈、∉、⊆、⊊、=）(a) {1, 2} ____ {2, 1}；(b) a ____ {a}；(c) {a} ____ {a, b}；(d) ∅ ____ {0, 1}。 9. 含参讨论已知集合 A = {x | }，B = {x | ax = 1}。若 B ⊆ A，求实数 a 的值。 10. 计数集合 {a, b, c, d} 的子集共有多少个？其中必含元素 a 的子集有多少个？ 11. 推证若 A ⊊ B，B ⊊ C，则 A 与 C 有什么关系？若 A ⊆ B，B ⊆ C 呢？ 参考答案 1. {0} ≠ ∅（{0} 有一个元素 0，∅ 无元素）；{1, 2} = {2, 1}（集合与顺序无关）；{a} 是集合、a 是元素，层次不同，{a} ≠ a（但 a ∈ {a}）。 2. (a) ∈；(b) ⊊；(c) ⊊（或 ⊆）；(d) ∈。 3. 子集：∅、{1}、{2}、{1, 2}，共 4 个；真子集 3 个；非空真子集 2 个。 4. A = B（都等于 {−1, 1}）。 5. A = {a}、{a, b}、{a, c}、{a, b, c}，共 4 个。 6. 子集 = 16 个，真子集 15 个，非空真子集 14 个。 7. 选 C。A 项 0 不是 ∅ 的元素；B 项 {0} = {0}，不可能是自身的真子集；D 项 {1} 是 {1, 2} 的子集，应写 ⊆ 而不是 ∈。 8. (a) =；(b) ∈；(c) ⊊；(d) ⊊（或 ⊆）。 9. A = {0, 2}。当 a = 0 时，B = ∅ ⊆ A，符合；当 a ≠ 0 时，B = {}，由 B ⊆ A 知 = 0 或 2，前者不可能，故 a = 。综上，a = 0 或 a = 。 10. 子集 = 16 个；必含元素 a 的子集：a 必入选，b、c、d 可选可不选，共 = 8 个。 11. 两种情形都由传递性得 A ⊆ C。若 A ⊊ B 且 B ⊊ C，假设 A = C，则由 A ⊆ B ⊆ C = A 可得 B = A，与 A ≠ B 矛盾，故 A ≠ C，即 A ⊊ C；若 A ⊆ B，B ⊆ C，则 A ⊆ C。 学科网（北京）股份有限公司 $