第三章 图形的相似 5分钟小测-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

5分钟小测 第三章图形的相似 第1课时 相似多边形(1) 基础过关。 1.已知线段a,b,c,其中c是a、b的比例中项，若a=9cm,b=4cm,则线 段c的长为 A.18 cm B.5 cm C.6 cm D.±6cm 2.若线段c满足总=云，且线段a=4cm,b=16cm,则线段c=（ A.6cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 3.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则B'C'的长度x和角B的大 小分别是 A.x=2,3=78° D 5 B.x=2,3=88 1109 67° C.x=4.5,3=78° D.x=4.5,B=88° 4.若线段a,b,c,d成比例，其中a=5cm,b=7cm,c=4cm,d= 5.在比例尺为1：5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm,则 两地的实际距离 km。 6.已知线段a=2厘米，c=8厘米，则线段a和c的比例中项b是 厘米。 循环过关。 7.如图，若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2一10x +24=0的一个根，则该菱形的周长为 21 数学·九年级上册(BS) 第2课时 相似多边形(2) 基础过关。 1.由5a=6b(a≠0)，可得比例式 ( A名-日 R台-8 c台-音 n- 2.若a:b=2:3,则下列各式中正确的式子是 A.2a=3b B.3a=2b C62 a-3 3.已知号=号，那么，千6的值为 ( A写 k号 C. 3 D. 4若号-台-千则a+26牛8“等于 a A.8 B.9 C.10 5.已知号=，则，46的值为 6.若a:b:c=1:3:2,且a十b十c=24,则a十b一c= 7.已知线段a,6cd,如果号-音号那么 循环过关。● 8.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( A.对角线互相垂直 B.对边平行且相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 22 5分钟小测 第3课时探索三角形相似的条件(1) 基础过关。 1.下列各组图形中，一定相似的是 ( A.两个等腰梯形 B.两个菱形 C.两个正方形 D.两个矩形 2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，且∠1=∠2= ∠3，则与△ADE相似的三角形的个数为 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 B D (第2题图) (第4题图) 3.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 ,那么 这两个三角形相似。简单地说： ,两个三角形相似。 4.如图，△ABC是正三角形，D,E分别是BC,AC上的点，当∠ADE= 时，△ABDc∽△DCE。 5.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB上的点，∠ADE=∠B,AB= 10,AD=8,DE=4。 (1)求证：△ADE∽△ABC;(2)求BC的长。 E ≥循环过关公 6.若2a=36,则a+2b- a 23 数学·九年级上册(BS) 第4课时探索三角形相似的条件(2) 基础过关。○ 1.如图，点A,B,C,D,E,F,G,H,K都是7×8方格纸中的格点，为使 △DEM∽△ABC,则点M应是F,G,H,K四点中的 A.F B.G C.H D.K (第1题图) (第2题图) 2.如图，方格纸中△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC∽ △EPD,则点P所在格点为 A.P B.P2 C.P3 D.P 3.在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=34°，AC=5cm,AB=4cm,∠A'= 34°，A'C=2cm,A'B'=1.6cm,那么这两个三角形是否相似？ 答： ,理由是 4.如图，在△ABC中，点D在边BC上.已知AB=7,AC=6,BD=5,CD =4,则△ABC与△DAC是否相似？为什么？ 循环过关。9 5.如图，a∥b∥c,若AC=5,CE=10,DF=12,则BD的长 为一。 24 5分钟小测 第5课时探索三角形相似的条件（3) 基础过关、 1.如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在 格点上)，那么△DEF与△ABC的周长比为 A.4:1 B.3:1 C.2:1 D.2:1 2.在△ABC和△DEF中，如果AB=4,BC=3,AC=6,DE=2.4,EF=1.2, FD=1.6,那么这两个三角形是否相似？答： ,理 由是 3.在△ABC和△A'B'C'中，AB=5cm,BC=8cm,AC=10cm,BC'= 12 cm,A'C'=15 cm.A'B'= cm时，△ABC∽△A'B'C'。 4如图，在△ABC中，点F,0.G在边BC上，点E在A0上，8-8- 。求证：△EFG△ABC. OG B 。循环过关。 5.如果正方形的一条对角线长为√6，那么它的面积是 25 数学·九年级上册(BS) 第6课时探索三角形相似的条件(4) 基础过关一 1.如果C是线段AB的黄金分割点C,并且AC>CB,AB=1,那么AC的 长度为 ( A号 B司 c.5-1 D.3-5 2 2 2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现一本书的宽与长之比为黄金比 已知这本书的长为20cm,则它的宽约为 ( ) A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 3.黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC> BC),如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线 段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为 4.已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长 的线段AP的长等于 厘米。 5.如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC。写出黄金分割的比例 式，指出其中的比例中项。 C B 循环过关。 6.已知菱形ABCD中对角线AC,BD相交于点O,添加条件 可使菱形ABCD成为正方形。 26 5分钟小测 第7课时相似三角形判定定理的证明(1) 2基础过关。○ 1.如图，在△ABC中，∠ADE=∠B,DE：BC=2:3,则下列结论正确的 是 A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:2 B E B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2如图，在△ABC中，DE/BC,品 ,DE=4,则BC的长是( 1 A.8 B.10 C.11 D.12 3.如图，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1,l2于点A,B,C和点D, DE E,F.如果AB=6,BC=10,那么F的值是 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，DE∥AC,若BD=8, DA=4,BE=6,则EC= BE一2 F/ B✉ (第4题图) (第5题图) 5.如图，l1∥2∥，AB 号AC,DF=10,那么DE= 循环过关。心 6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相 交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,若 A ∠DHO=20°，则∠HDB的度数是 27 数学·九年级上册(BS) 第8课时 相似三角形判定定理的证明(2) ≥基础过关。 1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成 ①②③④四个三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确 的是 A.①和②相似 B.①和③相似 40③ C.①和④相似 D.②和④相似 2.在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，能判断 △ABC和△DEF相似的是 A是-8架 B是架 C.∠A=∠E D.∠B=∠D 3.△ABC和△A'B'C',BC=3,AC=4,AB=5;B'C'=6,A'C'=7,A'B'= 8,则△ABC和△A'B'C (填“是”或“不是”)相似图形。 4.在△ABC和△A'B'C中，∠A=120°，AB=7cm,AC=14cm,∠A'= 120°，A'B'=3cm,A'C'=6cm。判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并 说明理由。 一循环过关。 5.如图，正方形ABCD的边长为4cm,∠ABE=15°，且 AB=AE,则DE=cm。 28 5分钟小测 第9课时相似三角形的性质(1) 基础过关 1.已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=2:3,则边AB与边DE上的高之 比为 ( A.2:3 B.4:9 C.9:4 D.16:81 2.已知两个相似三角形的对应边之比为2：3，则它们的对应角平分线之 比为 ( A.3:2 B.9:4 C.2:3 D.6:9 3.已知△ABC∽△A'B'C,顶点A,B,C分别与顶点A',B,C对应，AD, 、 AD'分别是△ABC和△ABC'的角平分线，0=三，AB=9,则Ag 4.已知△ABC∽△A'B'C,顶点A,B,C分别与顶点A',B,C对应，AD, A'D分别是BC,B'C边上的中线，如果BC=3,AD=6,B'C'=2,那么 A'D的长是 5.如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,CM,FN分别平 分∠ACB和∠DFE者兴号，AB=6,求DE的长。 D 循环过关 9 y=3,那么+义 6如果工=2 y A B.5 5 D. 29 数学·九年级上册(BS) 第10课时 相似三角形的性质(2) 基础过关。 1.若△ABC△ABC'且常=是，△ABC的用长为15m,则△ABC 的周长为 () 80 A.18 cm B.20 cm D.cm 2.已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积比为 ( A.2:3 B.4:9 C.3:2 D.√2：√3 3.两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的周长比为 ( A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 4.若△ABCD△DEF,且AB:DE=1：3,则S△ABC:S△DEF=( A.1:3 B.1:9 C.1:√3 D.1:1.5 5.如果△ABCp△DEF,相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么 △ABC的面积为 ( A.1 B.4 C.8 D.16 6.已知△ABCP△DEF,若△ABC与△DEF的面积比为4：1，则△ABC 与△DEF的周长比为 7.两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形最大角的角平分 线之比为 8.已知△ABC△DEF,它们的面积分别为18cm和8cm2,若AB= 6cm,则DE的长为 cm。 循环过关。心 9.已知二=4，则+y+少的值等于 ( x2-y2 A号 c.-5 D.- 7 5 30 5分钟小测 第11课时 图形的位似(1) 一基础过关。 1.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4,则 DE的长等于 A.6 B.5 C.9 D. 2.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是 A.点P B.点O C.点M D.点N 3.在下列图形中，不是位似图形的是 A B C 4.如图，线段AB的两个端点坐标分别为A(2,2),B(4,2),以原点O为 位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE。若DE=1,则端点D的 坐标为 A.(2,1) B.(2,2) D C.(1,1) E D.(1,2) 循环过关 5.若两个相似三角形的面积比为4：1，那么这两个三角形的对应边的比 为 ( A.4:1 B.1:4 C.2:1 D.16:1 31 数学·九年级上册(BS) 第12课时 图形的位似(2) 基础过关。○ 1.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0, 0),A(6,4),B(4,0),以点O为位似中心，在第三象限 内作与△OAB的位似图形△OCD,相似比为，则点 C的坐标为 A.（-1,0) B.(0,-1) c.（-,-1D.(-1,-) 2.在△ABC中，AB=AC,∠A=36°.以点A为位似中心，把△ABC放大 2倍后得△AB'C',则∠B等于 ( A.369 B.54° C.72° D.144° 3.在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(3, 1),O(0,0).以原点O为位似中心，在第三象限画出△OA1B1,使它与 △OAB的相似比是2。 循环过关。 4.从一块正方形的木板上锯掉2宽的长方形木条，剩下的面积是 48m,则原来这块木板的面积是 () A.100m2 B.64m2 C.121m2 D.144m2 32 5分钟小测 第13课时 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 基础过关 1.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标 杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC-12.4m,则建筑物CD的高是 ( A.8.5m B.9.5m C.10.5m D.11.5m D B 0 A B E ▣ M4AKAA444444444444444 60504030201001 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，道口栏杆短臂OA长1m,长臂OB长8m,当长臂外端B升高 4m时，短臂外端A下降的距离是 ( ) A.0.6m B.0.5m C.0.4m D.0.3m 3.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10cm,AC被分为60 等份。如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那 么小玻璃管口径DE是 cm。 循环过关。 4.如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，若△ADE的面积为1， 则三角形ABC的面积为 A.2 B.3 C.4 D.5 33 数学·九年级上册(BS) 第14课时 《图形的相似》单元复习 基础过关。 1若号-子，则下列各式中不正确的是 ( A.x十y=7 B.y=4 y-x C.x+22-=11 x D2- 2.阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图 所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8 米，则窗口底边离地面的高BC为 ( A.4米 B.3.8米 C.3.6米 D.3.4米 B -2 B 1.8m B E D 2.7n← 3 (第2题图)》 (第4题图) (第5题图) 3.若两个相似多边形的面积之比为1：4，周长之差为6，则这两个相似多 边形的周长分别是 4.如图，l1∥l2∥L3,AB=6,DE=5,EF=7.5,则AC= ≥循环过关。心 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA 在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位 似，且矩形OA'B'C的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标 是 A.( B.(-1,-) c(1)或(--1) D.(1,2)或(-1，-) 3413 6.解：西=2x=2。 7.1或-7 第5课时一元二次方程的解法一公式法 1.D2.A3.B4.D 5.解：x2-2√2x-3=0, .a=1,b=-2√2，c=-3, .△=b-4ac=(-2√2)2-4×1×(-3)=20>0， “x=-b±yB-4ac_22±25 2a 2 ∴x1=√2+√5，x2=√2-5。 6.-10 第6课时一元二次方程的解法一因式分解法 1.C2.D3.x1=4,x2=34.x=0,x2=2 5.解：1x=号=1： (2x=-号x=3. 6.-3 第7课时一元二次方程的根与系数的关系 1.B2.A3.-24.4 5.解：(1).'一元二次方程x2+2x十2m=0有两个不相等的实 数根， 4=2-4X1×2m=4-8m>0,解得m<分， ∴.m的取值范围为m<立· (2)“x1,x2是一元二次方程x2十2x+2m=0的两个根， .1十x2=-2,x1x2=2m, .x十z=(x1十x2)2-2xx2=4-4m=8,解得：m=-1。 当m=-1时，△=4-8m=12>0。 ∴.m的值为-1。 6.A 第8课时一元二次方程的应用(1) 1.C2.B 3.解：设x小时后两船相距100海里，根据题意， 得(15x)2+(20x)2=1002, 解得x1=4,x2=一4（舍去）。 答：4小时后两船相距100海里。 4.D 第9课时一元二次方程的应用(2) 1.B2.D 3.解：(1)(600-10x) (2)根据题意，得(50十x-40)(600一10x)=12000, 整理，得x2一50x十600=0，解得：x1=20,x2=30, 又要尽可能让顾客得到实惠， ∴.x=20, ,.50+x=50+20=70。 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个70元。 4.D 参考苔案 第10课时《一元二次方程》单元复习 1.A2.D3.84.8 5.解：设该园地垂直于校墙的一边长为xm,则平行于墙的一 边长为(40一2x)m。根据题意列方程， 得x(40-2x)=198, 整理，得x2-20x十99=0，解得x=11,x2=9。 ,11>10,x1=11不符合实际要求，舍去。 .x=9,此时40一2x=22。 答：这个长方形园地垂直于校墙的一边长为9m,平行于墙的 一边长为22m。 6.B 第三章图形的相似 第1课时相似多边形(1) 1C2.C3D4.29cm5.750647.24 第2课时相似多边形(2) 1.D2.B3.B4.C5.96.87.号8.A 第3课时探索三角形相似的条件(1) 1.C2.A3.对应相等两角对应相等4.60 5.(1)证明：∠ADE=∠B,又∠A=∠A, .△ADE∽△ABC: (②)解：由1)得：△ADB△ABC,铝-， 即品=亮解得：BC=5, 4 答：BC的长为5。 7 6.3 第4课时探索三角形相似的条件(2) 1.C2.C 3.△ABC∽△A'B'C'因为这两个三角形中，有两组对应边的 比相等，且相应的夹角相等 4解：相似，在△ABC和△DAC中，∠C=∠C,=号-兰， 器？-受所以二-品。根据"同边成比例且夹角相等 的两个三角形相似”，可得△ABC△DAC。 5.6 第5课时探索三角形相似的条件(3) 1.D 2.△ABC∽△DFE 因为这两个三角形中，三组对应边的比相等 3.7.5 4.证明：8器-8票∠B0A=∠P0E, .△OEF∽△OAB,同理△OGEC∽△OCA 需-8咒-照.x8%-8瓷-88+品-8器 ÷器-股-e△EFGAC, 5.3 37 数学九年级上册(BS) 第6课时探索三角形相似的条件(4)】 1.c2A38-%5≈0.6184.55-6) 2 5解S-比例中项是AC。 6.AC=BD或AB⊥BC 第7课时相似三角形判定定理的证明(1) 1.A2.D3是4.3546.20 第8课时相似三角形判定定理的证明(2) 1.B2.B3.不是 4.解：△ABCp△A'B'C'。理由： 滑-司瓷-普子滑-A怨. 又∠A=∠A',.△ABC∽△A'B'C'。 5.4 第9课时相似三角形的性质(1) 1.A2.C3.64.4 5.解：∠A=∠D,∠B=∠E, .△ABCc∽△DEF. ",CM,FN分别平分∠ACB和∠DFE, 能兴脚品=号， .DE=9。 6.D 第10课时相似三角形的性质(2) 1.B2.B3.A4.B5.D6.2:17.2:38.49.B 第11课时图形的位似(1) 1.A2.A3.D4.C5.C 第12课时图形的位似(2) 1.C2.C 3.解：△OAB的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(3,1),O(0, 0),△OA1B1在第三象限，且与△OAB的相似比是2， .A1(-4,-6),B1(-6,-2), 如图所示：△OAB即为所求。 个 -- 0----x B1--i- 答图 4.B 第13课时☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.C2.B3.94C 第14课时《图形的相似》单元复习 1.D2.A3.6和124.155.C 第四章投影与视图 第1课时投影(1) 1.B2.A3.D 4.解：作答图如下： 0 答图 ∴.影子BE与DF即为所求。 5.C 第2课时投影(2) 1.A2.D3.A 4.解：如答图，即为所作。 答图 5.8 第3课时 视图(1)】 1.B2.B3.B4.D5.B 第4课时视图(2) 1.D2.C 3.解：(1)如答图； 主视图 左视图 俯视图 答图 (2)由图观察可知，组合几何图形六个面的面积均为6cm°， 即这个组合几何体的表面积为6×6=36(cm),故这个组合 几何体的表面积为36cm2。 4.D 第5课时《投影与视图》单元复习 1.D2.D3.9134.B5.B 第五章二次函数 第1课认识二次函数 1.C2.A3.C4.C 5.(1)≠2(2)=26.A 第2课时二次函数的图象(1)】 1.C2.C3.C 4.(1)顶点(0,0)(2)抛物线上y轴（或直线x=0) (3)减小增大 5.C