3.5 图形的位似 主干题型巩固2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.5 图形的位似 主干题型巩固2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 3．如图，和是以为位似中心的位似图形，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 6．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，位似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的周长比为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 10．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是________． 13．已知，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为___________． 14．如图，正方形的两边分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为位似中心的位似图形．已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的位似比是_____________． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在坐标系中画出绕点顺时针旋转后的图形； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在坐标系中画出． 17．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 18．阅读与思考 下面是某兴趣小组的一次实践活动记录： 兴趣小组札记 今天，在数学兴趣小组开展的活动中，小华给每位同学发了一张扇形纸片，并要求大家按照下面的做法画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径，和上． 小李的做法如下：如图1，先在扇形内画出正方形，使得C，D两点在上，点F在上，连接并延长交于点G，过点G分别作于点J，交于点H，再作于点I．    (1)猜想证明：请问小李画出的四边形是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由． (2)实践操作：如图2，给定锐角三角形，画出一个长宽比为的矩形，使得点D，E位于边上，点F，G分别位于边，上． 19．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知和是位似图形，位似中心是点，且，． (1)在网格中补全平面直角坐标系； (2)画出位似中心点的位置，并直接写出点的坐标； (3)在网格中将补充完整． 20．如图所示，，相交于点，连接，，，，． (1)求证：． (2)直接回答与是不是位似图形． (3)若，，，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B A C A B D 1．【答案】B 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2．【答案】A 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查了图形的放大，三角形放大时，各角的度数不变，各边的长度变大，则周长和面积也变大，据此可得答案． 【详解】解：用放大镜观察一个三角形，看到的三角形的各边的长度扩大，各角的度数不变，则三角形的周长扩大，面积也扩大， ∴只有A选项的说法错误， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似图形的性质，由和是以为位似中心的位似图形，得到，利用对应线段成比例即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 4．【答案】C 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 5．【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先得到，，即可得到，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴与的面积比为． 6．【答案】A 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 7．【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，由此可解． 【详解】解： ，以点O为位似中心，位似比为2， 点A的对应点的坐标为或，即或． 8．【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据位似与相似的关系、相似三角形的性质解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的相似比是2：3， ∴与的周长比为2：3， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 9．【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、利用相似三角形的性质求解 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 10．【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项正确，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 11．【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 12．【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点， 点即为位似中心，． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似变换的性质．以原点为位似中心时，对应点的坐标比等于相似比．根据点和点的坐标求出相似比，再应用相似比求点的对应点坐标． 【详解】解：以原点为位似中心，点的对应点， 根据位似变换的性质，对应点的坐标比等于相似比， ，， ， 设的坐标为， 点对应点， ，． 点坐标为． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】延长交于点，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的位似比． 【详解】解：延长交于点，如图： 在正方形中，， 点的坐标为， ． 由题意可知，， 根据题意可得， 正方形与正方形的位似比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 15．【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 16．【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； 【知识点】在坐标系中画位似图形、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和位似，熟知旋转和位似的相关知识是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到对应点的位置，再描点，连线作图对应的图形即可； （2）把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标，再描点，连线作图对应的图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】(1) ； (2) 证明：， ， ，即， 又， ， ， 又， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形”． 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了位似图形的判定和性质， 对于（1），根据位似图形的对应角相等得出①的答案；再根据位似图形的对应边成比例得出答案； 对于（2），先说明，可得，再说明，进而得出，最后根据“旋转位似图形”定义得出答案. 【详解】（1）解：①和互为“旋转位似图形”， 又 ②， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 18．【答案】(1) 解：四边形是正方形，理由是： ，，， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形，边与矩形的边在同一条直线上， ∴，，，， ，， ，． ，． ． 又， ． 四边形是正方形； (2) 矩形即为所求：    【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由作法可得四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，由于四边形为正方形，所以四边形是正方形； （2）先在内画出矩形，使得H，I两点在上，点K在上，连接并延长交于点F，过点F分别作于点E，交于点G，再作于点D． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 19．【答案】(1) 补全的平面直角坐标系如图所示． (2) 位似中心点的位置如图所示，点P的坐标为． (3) 如图，为所求． 【知识点】在坐标系中画位似图形、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、判断位似中心 【分析】本题考查确定平面直角坐标系，作位似中心，作位似图形． （1）根据点A，B的坐标确定原点，进而补全平面直角坐标系； （2）连接并延长，连接并延长，两延长线交点即为位似中心点P的位置，根据坐标系直接写出坐标； （3）由（2）可得与的相似比为，因此连接并延长至点，使得，连接，，则为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2)不是； (3) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、相似三角形的判定与性质综合、位似图形的识别 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似图形的定义．关键是利用已知角相等和对顶角相等证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段长度，同时掌握位似图形的判定条件． （1）要证明，已知一组角相等()，结合对顶角相等的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据位似图形的定义：位似图形是对应顶点的连线交于一点，且对应边互相平行或在同一直线上的相似图形，结合图形特征判断即可； （3）先由得到对应边成比例，进而推出，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：根据位似图形的定义，位似图形需满足对应边互相平行或在同一直线上，而与的对应边与、与、与均不平行，不满足位似图形的条件， ∴与不是位似图形； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $