第三章 图形的相似 素养检测-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第三章《图形的相似》素养检测 (满分：100分 时间：90分钟) 班级： 学号： 姓名： 分数： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列各组线段，能构成比例线段的是 A.3 cm,6 cm,7 cm,9 cm B.2 cm,8 cm,6 cm,5 cm C.3 cm,9 cm,18 cm,6 cm D.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm 2.能判定△ABCp△DEF的条件是 A提器 提-架∠A=∠F C是8S∠B=∠E DE-S∠A=∠D 3.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABPp△ACB,添加一个条件，不正确的是 A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.BR-C8 D.AB2=AP·AC C (第3题图) 第4题图) (第5题图) (第6题图) 4.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似。若AB:FG=3:2,则下列结论正确的是 A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F 如图，在△ABC中，DE∥BC,能-是，若AB=8,则BD的长为 A号 B.9 C. D号 6如图，点C把线段AB分成两条线段AC和5C,如果SC,那么下列说法错误的是 A.线段AB被点C黄金分割 B.点C是线段AB的黄金分割，点 C.AB与AC的比等于黄金比 D.AC与AB的比等于黄金比 7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个 点A,B,C都在横线上，过点A的另一条直线分别与点B,C所在横线的交点为 点D,E,则△ABD与△ACE的面积比为 ( A16 B c D.i 第三章《图形的相似》素养检测第1页（共8页） 8.如图，△DEF为等边三角形，分别延长FD,DE,EF到点A,B,C,使DA=EB=FC,连接AB,AC, BC,连接BF并延长，交AC于点G。若AD=DF=2,则FG的长为 () A33 BE c.5 G (第8题图) (第9题图) (第10题图) 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） AB⊥CD,且△ABC∽△DBE,若AC=2,DE=3, 10.如图，AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD=6,BC=9,AE=9,AB=12, 则FG= 11.如图，在三角形纸片中，∠A=80°，AB=6,AC=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角 形与原三角形相似的有 (请在横线上填上符合条件的序号)。 809 30 ① 、EH ③ (第11题图) (第12题图) (第13题图) 12.击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截。如图，传球选 手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点D处接住，将球所经过的路径视为直 线，此时∠AOB=∠COD,若点A距地面的高度AB为1.2m,点D距地面的高度CD为0.8m,传 球选手与接球选手之间的距离BC为3m,则OB的长为m。 13.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式。如图，在△ABC 中，点D,E分别是AB,AC的中点，作AF⊥DE于点F,沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成 四边形GBCH。若DE=4,AF=3,则四边形DBCE的面积为 三、解答题（本大题共7小题，共61分）】 14.(8分)若a:b：c=1：3:2,且a十b十c=24,求a十b-c的值. 第三章《图形的相似》素养检测第2页（共8页） 15.(8分)李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮 尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8的点E处，然后观测者沿着直线 BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2m,观测者目高CD= 1.75m,则树高AB约是多少？ 第三章《图形的相似》素养检测第3页（共8页） 16.(8分)如图，AC,BD相交于点O,∠A=∠D。 (1)求证：△AOB∽△DOC; (2)已知AO=3,DO=2,△AOB的面积为6，求△DOC的面积。 第三章《图形的相似》素养检测第4页（共8页） 17.(8分)如图，小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'BC'是以点O 它们的顶点都在小正方形的顶点上。 (1)画出位似中心点O; (2)求出△ABC与△A'B'C'的周长比与面积比。 第三章《图形的相似》素养检测第5页（共8页） 为位似中心的位似图形， 18.(9分)周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度。如图，由于无法直接测量， 小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF,通过在直线EF上选点观测发现，当他位于N点时，他的 视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N'点时，视线从M点通过D点正好 落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A,B间的距离即为遮阳篷的宽。已知AB∥CD∥EF,点 C在AG上，AG,DE,MN,MN'均垂直于EF,MN=M'N',露台的宽CD=GE,测得GE=2.5m, EN'=3m,N'N=3.9m。请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米（结果精确到0.1m)。 M-----M G E N N F 第三章《图形的相似》素养检测第6页（共8页） 19.(10分)【跨学科】如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD,点O是凸透 镜的中心，光线AE∥BO,点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm,蜡烛AB的长为8cm, 点D,B,O,F在同一条直线上。 (1)如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB=6c。 M D BON 图1 图2 ()填空：号的值为 (i)求此时虚像CD的高度； (2)如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD,且CD-是AB时，求此时物距OB的长。 第三章《图形的相似》素养检测第7页（共8页） 20.(10分)探究不同裁剪方式的面积大小问题 图1是一张直角三角形纸板，两直角边长分别为BC=15cm,AC 素材1 =20cm,小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样 的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上。 图1 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学 素材2 按图3的方式裁剪出一个矩形，且AH=8cm。 图2 图3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角三角形纸板上裁下一个矩形CDEF,矩形的四个 D 顶点都在△ABC的边上； 素材3 步骤2：取剩下的纸板△ADE裁下一个正方形GHJI,正方形的 四个顶点都在△ADE的边上，且满足矩形CDEF的边CF的长 图4 是正方形GHJI边长的两倍小0.9cm。 问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁出的两种图形的面积大小，通过计算说明。 任务2 请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长。 第三章《图形的相似》素养检测第8页（共8页）.CF=CE'-FE'=AE-BE=24-7=17, ∴.CF的长为17。 (3)解：CF=FE， 证明：如答图，过点D作DH⊥AE,垂足为H, 则∠DHA=90°， 0 ∠1+∠3=90°， 3 DA=DE, E :AH=合AE, E 2 四边形ABCD是正方形， 答图 .AB=DA,∠DAB=90°， .∠1+∠2=90°， ∠1+∠3=90°，∠2=∠3， ∠AEB=∠DHA=90°， ∴.△AEB≌△DHA(AAS), ∴.AH=BE, BE=EF,∴.AH=EF, CE-AE,.FE-CE ∴CF=FE。 第二章《一元二次方程》素养检测 1.C2.D3.A4.B5.D6.C7.C8.C 9.=±810.181.212.1139 14.解：x2+4x-12=0, 移项，得x十4x=12, 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 得x2+4x+4=12+4, 配方，得(x+2)2=16, 则x+2=士4， 解得x1=2,x2=一6。 15.解：设每节课每名同学教会x名同学做实验，根据题意，可 得1+x+x(1+x)=36, 解得1=5，x2=一7（不合题意舍去）。 答：每节课每名同学教会5名同学做实验。 16.解：(1)x2一4x一2m十5=0有两个不相等的实数根 .△=b-4ac>0, ∴.(-4)2-4×1×(-2m+5)>0, m>安 (2):,2是该方程的两个根， ∴.x1十x2=4,81x2=-2m十5， x+x=3x1x2+1, .x号+2x1x2+x2-5x1x2=1, .(x1+x2)2-5x1x2=1, ∴.42-5(-2m+5)=1, .m=1。 参考咨案 17.解：(1)(400+20x) (2)当降价x元时，每件的利润为(68一45一x)元，月销售量 为(400+20x)件， 根据题意，得(68-45-x)(400+20x)=8400, 整理，得x2-3x-40=0,解得x1=8,x2=-5(不符合题 意，舍去)。 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元。 18.解：(1)设原计划每天摊铺沥青xm,则实际每天摊铺(x+ 120)m, 根据题意，得30x=12(x+120),解得x=80。 答：原计划每天摊铺沥青80m。 (2)设镶上的木质框架的宽为ym, 根据题意，得(3+3+3)2+2）=3×2×2×器 解得y=0.2,y2=-3.2(不合题意，舍去)。 答：镶上的木质框架的宽为0.2m。 19.解：(1)x=-7 (2)将方程x2一3x一4=0变形为x(x一3)=4， 画四个长为x,宽为x一3的矩形，如答图所示，构造一个” 空心”大正方形， -3 x-3 x-3 答图 则图中大正方形的面积从整体看可表示为(x十x一3)2， 从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和， 即4x(x-3)十32=4×4+9=25， 因此，可得新的一元二次方程(x十x一3)2=25， x及x-3表示边长，∴.2x-3=5,即x=4。 (3)2-3x=1 20.解：(1)①13=2+32②93 (2)①-1 ②k=13,理由 :S=x2+4y2+4x-12y十(x,y是整数，k是常数)， .S=x2+4x+4+4y2-12y+9+k-13, .S=(x+2)2+(2y-3)2+k-13。 S为“完美数”，.k-13=0,即=13。 (3).-x2+5x+y-10=0, ∴.-x2+6x-9+y-x-1=0, y-x=x2-6x+9+1,∴y-x=(x-3)2+1. (x-3)2≥0，.(x-3)2+1≥1， ∴当x=3时，(x-3)2十1有最小值1， 即当x=3时，y-x有最小值为1。 第三章《图形的相似》素养检测 1.C2.D3.C4.A5.D6.C7.B8.C 41 数学九年级上册(BS) 9号10号 11.①②④12.1.813.18 14.解：.a；b:c=1:3:2,.设a=x,b=3x,c=2x, ,a十b+c=24,即x十3x十2x=6x=24,解得x=4, .a=4,b=12,c=8,则a十b一c=4+12-8=8。 15.解：根据题意，得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB, ∴.△ABE∽△CDE, 小器-品即受- 解得AB=7。 答：树高AB约是7m。 16.(1)证明：'∠A=∠D,又∠AOB=∠DOC, .△AOB∽△DOC; (2)解：.'△AOB∽△DOC, 器品 解得SAc=3· 8 所以△DOC的面积为号. 17.解：(1)如答图，连接BB,A'A并延长相交于一点，此点即 为位似中心点O。 4 答图 (2)由图形，得AB=√32+2=√13， A'B′=√62+4=213， .△ABC与△A'B'C的周长比为1：2，面积比为1：4。 18.解：延长MM交DE于点H,如答图， B D “M G N NF 答图 则HM=EN=EN'+N'N=3+3.9=6.9(m), CD=GE=2.5 m,MM'=NN'=3.9 m, 易知∠ACD=∠DHM=90°，CD∥HM, .∠ADC=∠DMH, R△ACIRu△DHM0-器-会S 又易知AB∥MM,∴.△ABD∽△MMD, “品品-器 即智-部得AB=1.4 ,遮阳篷的宽AB约是1.4m。 19.解：10号 (:AB/CD△0ABn△0CD号-82， cD-号AB-号×8-20(m, 即此时虚像CD的高度为20cm。 2):0E=AB,CD=AB=0E,即62=， :OE/CD∴△CFDn△EFPO,8-6是-是， DF=20F=×10=(cm 00-0F+DF=10+号-2(cam. AB∥CD,△AOB△COD, 器器 =AB=4 Γ3 0B=号0D=专×要-(m. 即此时物距OB的长为号cm, 20.解：任务1：小华：设正方形的边长为xcm, 则AF=(20-x)cm, 根据题意，得△AFD∽△ACB, ∴帚-200，解得x-9, 5=(9r-3980(em), 小明：根据题意，得AB=√20+15=25(cm), △AHG∽△ACB, “亮-铝，解得GH=6em, .PQ=GH=6cm。 又根据题意，得△BPQc∽△BCA, 咒-品懈得Pg=号m, ∴Hp-25-8-号-2(em, :5e=6×2号=75(em). :75>3600 49 S小明>S水华。 任务2：根据题意，得△AHG∽△ACB, HG:AH:AG=3:4:5, AH=4a cm,HG=3a cm,AG=5a cm, 42 ∴.DE=CF=(6a-0.9)cm, 同理可，得△GDI∽△ACB, ÷8-岩解得GD=号am, 12 AD=3 5acm。 根据题意，得△ADE∽△ACB, 37a ,。5-6a-0.9,解得a=2, .20 15 AD=×2=4 (cm), 矩形CDEF的边长为DE=6X2-0.9=是(cm, cD=20-7g-29(cm. 第四章《投影与视图》素养检测 1.A2.D3.B4.B5.A6.A7.C8.B 9.中间的上方10.①③11.20π或16.5π12.1113.8 14.解：(1)根据题意得：上面的长方体长4cm,宽2cm,高4 cm,下面的长方体长8cm,宽6cm,高2cm; (2)此立体图形的体积是4×4×2+6×8×2=128cm3。 15.解：(1)主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，符合 三棱柱的三视图特征，所以这个几何体是三棱柱； (2)三棱柱的侧面展开图是三个长方形，长方形的长为三棱 柱的高3cm,长方形的宽为俯视图中三角形的边长2cm, 一个侧面长方形的面积为3×2=6(cm), ,三棱柱有三个侧面3×6=18(cm), ∴.侧面积为3X6=18(cm2)。 ∴这个几何体的侧面积为18cm。 16.解：(1)如答图所示。 从正面看 从左面看 答图 (2)(6+6+10+10+7+7+4)×1×1=50(cm), ∴这个几何体的表面积为50cm2。 17.解：(1)过点E作EH⊥FG于点H,如答图。 E 答图 在Rt△EHF中，∠EFG=45°，EF=4cm, 所以可设FH=EH=xcm。 根据勾股定理，得x2+x2=4,解得x=2√2， ∴.EH=2√2cm, 由三视图，可知AB=EH=2√2cm。 参考咨案 (2)直三棱柱的体积为S△0·AD=2X10X2V2X7= 70√2(cm3)。 18.解：(1)如答图，连接MA,NB并延长，它们的交点为O点， 再连接OC,OD,并延长交地面于P,Q点，则PQ为CD的 影子。 MF 答图 (2)如答图，作OF⊥MN交AB于点E, 则AB=1.2m,EF=1.2m,MN=2m。 .AB∥MN, .△OAB∽△OMN,OE⊥AB。 ..AB:MN=OE:OF, 即1.2：2=(OF-1.2)：OF, 解得OF=3, 答：路灯O与地面的距离为3m。 19.解：(1)如答图，汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建 筑物B。 0 四 0 B A M 答图 (2)如答图， ,小明的视线与公路的夹角为30°，建筑物A高25m, .AC=25m, ∴.CM=2AC=50m,由勾股定理， 得AM=√CMP-AC=√502-25=25√3(m), ∠AEC=45°， ..AE=AC=25 m, .ME=AM-AE-25√3-25≈18.3(m)。 答：他向前行驶了约18.3m。 20.解：(1)根据题意，知PA∥NM,∠POA=∠NAM=90°， AN=1.6m,AO=18m,AM=1.8m, .∠PAO=∠NMA, .△PAOp△NMA, ÷8-品5器 .∴.OP=16m. 答：路灯OP的高为16m。