第二章 一元二次方程 素养检测-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第二章《一元二次方程》素养检测 （满分：100分 时间：90分钟) 班级： 学号： 姓名： 分数： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）》 1.若关于x的方程(a-1)x2+4x-1=0是一元二次方程，则a满足的条件为 ( A.a>-3 B.a>-3且a≠1 C.a≠1 D.a≤-3 2.用配方法解方程x2一4x一5=0时，原方程应变形为 A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9 3.若x=一3是关于x的一元二次方程x2+ax十3b=0的解，则a一b的值为 A.3 B.-3 C.9 D.-9 4.一元二次方程x2一4x十4=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 5.若关于x的一元二次方程x2一2x十k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 A.k≥1 B.k>1 C.k≤1 D.k<1 6.已知x1,x2是方程x2一2x一1=0的两根，则x1十x2一x1x2的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。”其意思是知识和 技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比是一样 的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：√2≈1.414） A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 8.我们对一个四边形顶点和边都赋予一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相加叫做对 边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值。如图1，四边形的对边值为n十pq, 对角值为αc+bd。现有一四边形特征值如图2，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x 的值为 A.1 B.2 C.-1或10 D.2或7 第二章《一元二次方程》素养检测第1页（共8页) 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.方程x2一9=0的解是 10.国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有人。 11.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=16cm,BC=12cm,点M从点A开始向点B以2cm/s的速度运 动，同时，点N从点B开始向点C以4c/s的速度运动，当点N运动到点C后停止，点M也随之 停止运动。若使△MBN的面积为48cm,则点M运动的时间是s。 M 78-3 出卦3x N —120-4x4x (第11题图) (第12题图) 12.一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠。如果水 渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m,那么水渠应挖的宽度是m。 13.对于任意实数a,b,我们定义新运算“*”：a*b=a2+2ab一b2,例如3*5=32十2X3×5-一52=14。 若m,n是方程(x十2)*3=0的两根，则2+的值为 m 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.(6分)用适合的方法解方程：x2十4x一12=0。 第二章《一元二次方程》素养检测第2页（共8页） 15.(6分)某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学， 第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验。求每节 课每名同学教会多少名同学做实验？ 第二章《一元二次方程》素养检测第3页（共8页） 16.(8分)已知关于x的一元二次方程x2一4x一2m+5=0有两个不相等的实数根。 (1)求实数m的取值范围； (2)若x1,x2是该方程的两个根，且满足x十x=3x1x2十1，求m的值。 第二章《一元二次方程》素养检测第4页（共8页） 17.(8分)第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜 爱。某商场以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售。经统计，2024年 12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件。从2025年1月份起，商场决定采用 降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价x 元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 件（用含x的式子表示）； (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 第二章《一元二次方程》素养检测第5页（共8页） 18.(9分)京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车。在施工 中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就 全部完成。实际每天摊铺的长度比原计划多120m。 (1)求原计划每天摊铺沥青多少米； (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础 上，四周及两张图片中间镶以宽度相等的木质框架而成。若两张风景区图片的长都为3，宽都 为2m,侧上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风茶区图片总面积的器，求镂上的木质框 架的宽为多少米。 第二章《一元二次方程》素养检测第6页（共8页） 19.(12分)综合与实践：阅读材料，并解决以下问题。 (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第40页介绍了我国数学家赵爽在研究《周髀》时给出了一元 二次方程的几何解法：以x2十2x一35=0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35; ②构图：画四个长为x十2，宽为x的矩形，按如图1所示构造一个“空心”大 x+2 正方形； r+2 ③解答：图中大正方形的面积从整体看可表示为(x十x十2)2，从局部看还可 x+2 表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x(x十2)+22=4×35+4= x+2 图1 144,因此，可得新的一元二次方程(x十x+2)2=144, .x表示边长，.2x+2=12,即x=5。 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根，但是从新方程(x十x十2)2=144可以 得到原方程的另一个根是 (2)类比迁移：根据赵爽的几何解法求方程x2一3x一4=0的一个正根（写出完整的求解过程，并在 图2中画出示意图、标明各边长)； 图2 (3)拓展应用：一般地，对于形如x2+ax十b=0的一元二次方程，可以构造图3来解，已知图3是由 四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么α=，b=,方程的 一个正根为 图3 第二章《一元二次方程》素养检测第7页（共8页） 20.(12分)配方法是数学中重要的一种思想方法；它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完 全平方式或几个完全平方式的和的方法。这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意 义来解决一些问题。 比如x2+4x+5=x2+4x十4+1=(x+2)2+1,因为(x+2)2≥0， 所以当x=一2时，(x十2)的值最小，最小值是0。 所以(x+2)2+1≥1。 所以当(x+2)2=0时，即x=一2时(x+2)2+1的值最小，最小值是1， 即x2+4x+5的最小值是1。 定义：一个正整数能表示成a2十b(a,b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”。例如，5是“完美 数”，理由：因为5=22十1，所以5是“完美数”。 【解决问题】 (1)①已知13是“完美数”，请将它写成a2+b2(a,b是正整数)的形式： ②配方：x2-6x十=(x-)2; 【探究问题】 (2)①已知x2+y2-2x+4y+5=0,则x十y=; ②已知S=x2十4y2十4x一12y十k(x,y是整数，是常数)，要使S为“完美数”，试写出符合条件 的一个k值，并说明理由； 【拓展结论】 (3)已知实数x,y满足一x2+5x十y一10=0，求当x为何值时，y一x有最小值，并求出该最小值。 第二章《一元二次方程》素养检测第8页（共8页）.CF=CE'-FE'=AE-BE=24-7=17, ∴.CF的长为17。 (3)解：CF=FE， 证明：如答图，过点D作DH⊥AE,垂足为H, 则∠DHA=90°， 0 ∠1+∠3=90°， 3 DA=DE, E :AH=合AE, E 2 四边形ABCD是正方形， 答图 .AB=DA,∠DAB=90°， .∠1+∠2=90°， ∠1+∠3=90°，∠2=∠3， ∠AEB=∠DHA=90°， ∴.△AEB≌△DHA(AAS), ∴.AH=BE, BE=EF,∴.AH=EF, CE-AE,.FE-CE ∴CF=FE。 第二章《一元二次方程》素养检测 1.C2.D3.A4.B5.D6.C7.C8.C 9.=±810.181.212.1139 14.解：x2+4x-12=0, 移项，得x十4x=12, 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 得x2+4x+4=12+4, 配方，得(x+2)2=16, 则x+2=士4， 解得x1=2,x2=一6。 15.解：设每节课每名同学教会x名同学做实验，根据题意，可 得1+x+x(1+x)=36, 解得1=5，x2=一7（不合题意舍去）。 答：每节课每名同学教会5名同学做实验。 16.解：(1)x2一4x一2m十5=0有两个不相等的实数根 .△=b-4ac>0, ∴.(-4)2-4×1×(-2m+5)>0, m>安 (2):,2是该方程的两个根， ∴.x1十x2=4,81x2=-2m十5， x+x=3x1x2+1, .x号+2x1x2+x2-5x1x2=1, .(x1+x2)2-5x1x2=1, ∴.42-5(-2m+5)=1, .m=1。 参考咨案 17.解：(1)(400+20x) (2)当降价x元时，每件的利润为(68一45一x)元，月销售量 为(400+20x)件， 根据题意，得(68-45-x)(400+20x)=8400, 整理，得x2-3x-40=0,解得x1=8,x2=-5(不符合题 意，舍去)。 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元。 18.解：(1)设原计划每天摊铺沥青xm,则实际每天摊铺(x+ 120)m, 根据题意，得30x=12(x+120),解得x=80。 答：原计划每天摊铺沥青80m。 (2)设镶上的木质框架的宽为ym, 根据题意，得(3+3+3)2+2）=3×2×2×器 解得y=0.2,y2=-3.2(不合题意，舍去)。 答：镶上的木质框架的宽为0.2m。 19.解：(1)x=-7 (2)将方程x2一3x一4=0变形为x(x一3)=4， 画四个长为x,宽为x一3的矩形，如答图所示，构造一个” 空心”大正方形， -3 x-3 x-3 答图 则图中大正方形的面积从整体看可表示为(x十x一3)2， 从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和， 即4x(x-3)十32=4×4+9=25， 因此，可得新的一元二次方程(x十x一3)2=25， x及x-3表示边长，∴.2x-3=5,即x=4。 (3)2-3x=1 20.解：(1)①13=2+32②93 (2)①-1 ②k=13,理由 :S=x2+4y2+4x-12y十(x,y是整数，k是常数)， .S=x2+4x+4+4y2-12y+9+k-13, .S=(x+2)2+(2y-3)2+k-13。 S为“完美数”，.k-13=0,即=13。 (3).-x2+5x+y-10=0, ∴.-x2+6x-9+y-x-1=0, y-x=x2-6x+9+1,∴y-x=(x-3)2+1. (x-3)2≥0，.(x-3)2+1≥1， ∴当x=3时，(x-3)2十1有最小值1， 即当x=3时，y-x有最小值为1。 第三章《图形的相似》素养检测 1.C2.D3.C4.A5.D6.C7.B8.C 41