第六章 第4课时 用频率估计概率-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第4课时 用频率估计概率 A基础巩固 ●● 落实课标 5.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只 有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球 1.小明练习射击，共射击60次，其中有38次击 前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜 中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子 色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现， 的概率是 摸到红球的频率稳定于0.2，请你估计n的值。 A.38% B.60% C.约63% D.无法确定 2.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率 与概率，下列说法正确的是 ( A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越 接近概率 3.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实 验数据如表： B能力提升 灵活应用 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 6.篮球运动员甲的三分球命中率是70%，乙的 三分球命中率是50%.本场比赛中甲投三分 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 球4次，命中1次；乙投三分球4次，全部命 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.528d 中.全场比赛结束前，甲、乙两人所在球队还落 累计抛掷次数 1000 2000 3000 5000 后对方球队2分，但还有一次进攻的机会.如 盖面朝上次数 527 1056 1587 2650 果你是教练，那么最后一个三分球由谁来投？ 盖面朝上频率 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 说说你的理由。 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近 于 (精确到0.01)。 4.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成 如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗 移植成活的概率约为 (精确到0.1) 个频率 0.9 0.8 0.7 0.6 02468101214数量（百棵） ●>136● 第六章概率的进一步认识 7.一个不透明的袋子中共装有5个小球，其中3 (3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg, 个红球、1个白球、1个黄球，这些小球除颜色 成本价是1.8元/kg,公司希望这些柑橘能 外都相同.将袋中小球摇匀，从中随机摸出一 够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去 个小球，记下颜色后放回，记为随机摸球1次。 掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少 (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这 元比较合适？ 10次摸球中，摸出黄球的频率是 (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法， 求这两次摸出的小球都是红球的概率。 C拓展应用》。。· 深度思考 9.一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的 小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2 个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一 个球是红球的概率为。 (1)求口袋中黄球的个数； (2)现规定：摸到红球得5分，摸到蓝球得2 分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同 8.某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所 学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一 有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损 个红球，第二次又随机摸到一个蓝球，若随 坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中（精 机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数 确到0.001)。 之和不低于10分的概率。 柑橘总质 300 350 400 450 500 量n/kg 损坏柑橘 … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 质量m/kg 柑橘损坏 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102 的频率” (1)柑橘损坏的概率约为 (精确到0.1)； (2)当抽取柑橘的总质量n=2000kg时，损坏 柑橘质量m最有可能是 A.99.32kg B.203.45kg C.486.76kg D.894.82kg ●>137●数学九年级上册(BS) 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种 结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，恰好选中《九 章算术》和《孙子算经》的结果有2种，∴恰好选中《九章算 术》和孙子算经》的概率为品-日。 11.解：(1)点P所有可能的坐标列表如下： x 1 3 4 y (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) 一 (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (2)共出现12种等可能的结果，其中点(x,y)在函数y=一 x十5图象上的有4种，所以概率为弓。 12.解：(1)五张牌中，牌面数字分别是4,4,5,5,6，其中牌面数 字为4的张数为2，则P(牌面数字为)=号。 (2)列表如下： 入第一张 4 4 5 6 第二张 4 8 9 9 10 4 8 9 9 10 6 9 10 11 6 9 9 10 11 6 10 10 11 11 所有等可能的情况有20种，其中抽取的这两张牌的牌面数 字之和为奇数的情况有12种，则P(抽取的这两张牌的牌 面数字之和为奇数)-号-号， 第3课时用树状图或表格求概率(3) 1.含23号 4.5 5.解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红) (红，白) (红，白) 白 (白，红) (白，白) （白，白) 父 （白，红) (白，白) (白，白) 共有9种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有 4种， “两次都摸出白球的概率为9。 .4 3 8.解：设正方形ABDF的边长为4， 则SE方形ADP=4=16, 且BC=CD=DE=EF=2, :△BIC是等腰直角三角形， .∠IBC=45°， B1=c--2. ∴5a肥=2×xE=1, .Rt△CDE中，CD=2,∠ECD=45°， CE-/CD-2HE-CE-/ 又：OH=IC=√2，.SOGHER=HE·OH=√2X2=2。 .S影=SABC十SOCHEF=1+2=3, 六此点取自阴形部分的服率为一是 9.解：(1)由于该顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选 择方案A进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次 抽出的结果为一红一白时可获得奖金15元，从1个红球、2 个白球中有放回地抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 第1次 红 白1 白2 第2次 红 红红 白1红 白2红 白1 红白1 白1白1 白2白1 白2 红白2 白1白2 白2白2 共有9种等可能的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的 有4种，所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，所获奖金 4 为15元的概率为9· (2)①由(1)可得，只根据方案A抽奖2次，获得15元的概率 为号，获得30元(2次都是红球)的概率为号，两次都不获奖 的概率为号，所以只选择方案A获得奖金的平均值为15× 号+30×号=10（元）： 2 ②只根据方案B,则只能抽奖1次，摸到红球的概率为，因 此获得奖金的平均值为10×号≈6,7（元）： ③根据方案A,B各抽奖1次，所获奖金的平均值为15×号 +10×号≈1.7（元）. 因此根据方案A,B各抽奖1次，更为合算。 第4课时用频率估计概率 1.C2.D3.0.534.0.8 5.解：由题意，得2=0.2， n 解得，n=10, 经检验得：n=10是原方程的解，且符合题意， ∴.估计n的值为10。 6.解：(1)由于甲的命中率高，所以由甲投； (2)由于乙本场发挥稳定，命中率为100%，故可由乙投。 所以从本场来说应选乙投。 7.解：(1)0.3 (2)列表如下： 红 红 珍 白 黄 红 (红，红) (红，红) (红，红) (红，白) (红，黄) 红 （红，红) (红，红) (红，红) (红，白) (红，黄) 红 （红，红) （红，红) (红，红) (红，白) (红，黄) 白 (白，红) (白，红) (白，红) (白，白) (白，黄) 黄 （黄，红) (黄，红) (黄，红) (黄，白) (黄，黄) 共有25种等可能的结果，其中这两次摸出的小球都是红球 的结果有9种， 9 这两次摸出的小球都是红球的概率为2石5· 8.解：(1)0.1(2)B (3)根据柑橘损坏的概率约为0.1，可得能够出售的柑橘为 10000×(1-0.1)=9000(kg), 则定价为10000X1.8+5400=2.6(元). 9000 答：每千克大约定价为2.6元比较合适。 9.解：(1)设口袋中黄球的个数为x, 21 根据题意，得2+十x2,解得x=1. 经检验x=1是原分式方程的解，且符合题意。 .口袋中黄球的个数为1。 (2)摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分， 而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第 二次又随机摸到一个蓝球， 乙同学已经得了7分， .若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10 分的有3种情况，且共有4种等可能的结果， ∴.若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10 分的概率为子。 第六章《概率的进一步认识》易错疑难集训 182是3c4日5号 3 1 6.解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面 都比他大，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他 大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷 到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和 8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大.也就是小光掷 3 参考咨案 的点数比小明大的有5种可能；所以不公平。 可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的 骰子，那么游戏就公平了.其中有一个面数字相同。 7.B8.9 9a号 (2)解：列表如下： 和 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 .共有20种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有 8种，等于10有4种， 8=' 小明获胜概率为》-=号，小丁获雕概率为 2 .该游戏公平。 10解：D日 (2)建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下： 开始 对 错 错 错 对错对错对错对错 此时小新顺利通过第一关的概率为号， 因为日>日， 所以建议小新在第二题使用“求助卡”。 11.(1)0.58(2)0.6 (3)解：(2)中情况下，白球的个数为：20×0.6=12（个）， 添加4个黑球后，模到白球的摄率为：异号名， 即此时摸到白球的概率是？。 2.是 第5课时《概率的进一步认识》单元复习 1.D2A3.A4A53 6.解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A,B, C,画树状图如答图： 开始 小明 B 答图 共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中 同一个项目的结果有3种，∴.幸运游客小明与小亮恰好抽中 .31 同一个项目的概率为9=3·