6.2用频率估计概率（分层作业，5大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 6.2用频率估计概率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求某事件的频率 题型02 根据频率估计概率 B组 能力进阶 题型01 根据频率估计试验对象的个数 题型02 用频率估计概率的综合应用 C组 思维拔高 题型 用频率估计概率·创新性问题 求某事件的频率题型01 1．（25-26九年级上·贵州·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 2．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样． (1)随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； (2)小明和小英一起做游戏，小明从盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小明获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 4．数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 5．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果见下表： 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 (1)请完成上表． (2)根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ (3)如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 根据频率估计概率题型02 1．布袋里有除颜色外其他均相同的小球，从袋中随机摸出1个球，“摸到红球”的概率是，这句话理解正确的是（     ） A．布袋里只有3个红球，2个其他颜色的球 B．摸球5次，一定有3次摸到红球 C．摸球5次，一定有3次摸到的球不是红球 D．如果摸很多次的话，平均每5次就约有3次摸到红球 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 4．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)通过以上实验，摸到红球的概率估计为____（精确到0.1） ，盒子里红球的数量为____个． (2)若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___． (3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 5．（24-25七年级下·广东深圳·质检）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 6．某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率m/n 0.68 0.74 △ 0.69 0.705 △ (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少? (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少? (4)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少?(精确到1°) 7．某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 根据频率估计试验对象的个数题型01 1．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（    ） A．10 B．15 C．25 D．20 2．（25-26九年级上·期末）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________． 3．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在20%和35%，则箱子里蓝色球的个数很可能是______个. 4．某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． (1)求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球的数量． 5．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 6．（25-26七年级·陕西西安·期中）一个不透明的袋子中放有个白球，个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球次，其中摸出红球的次数为次，这次摸球活动中红球出现的频率为___________； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的倍还多个，求从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率． 7．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据： 根据以上数据，估算袋中白棋子的数量． 8．（2026·安徽滁州·一模）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 用频率估计概率的综合应用题型02 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 2．《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 3．小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为________． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 y (1)填空：__________，__________，__________； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是__________（精确到）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是__________次； (4)如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 5．为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次成绩和第二次成绩情况统计图．    (1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是________分，他两次活动的平均成绩是_______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； (2)若有400名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 6．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 组别 睡眠时间分组 频数 频率 4 0.08 8 0.16 10 21 0.42 0.14 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中，________，________； （2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________； （3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数； （4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议． 7．（25-26九年级下·广东深圳·质检）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查1：“柑橘完好率”调查 采购的总质量 50 100 200 400 500 完好柑橘的质量 柑橘完好的频率 调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x(元)与采购的总质量之间的关系满足． 任务一(分析) (1)可以估计柑橘完好的概率约为_______(精确到)． （2）由(1)知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为_______(结果保留整数；损坏的柑橘不得销售)． 任务二(决策) (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/kg？ 8．某水果批发公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克苹果，在运输过程中，有部分苹果损坏，该公司对刚运到的苹果进行随机抽查，并得到如图的“苹果损坏率”统计图．由于市场调节，苹果（只售好的苹果）的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录． 苹果的售价（元/千克） 14 15 16 17 18 苹果的日销售量（千克） 1000 950 900 850 800 (1)估计购进的10000千克苹果中完好的苹果的总重量为______千克，此时公司应将售完这批完好的苹果的成本调整为______元/千克； (2)按此市场调节的规律来看，若苹果的售价定为16.5元/千克，估计日销售量并说明理由； (3)考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批苹果（只售完好的苹果），且售价保持不变，求该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润，并说明理由． 用频率估计概率·创新性问题题型 1．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 2．（2025·上海·模拟）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 3．（2026·河南平顶山·模拟）某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级、九年级中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为（为优秀），共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：．整理成如下频数分布表． 组别 八年级人数 九年级人数 A 3 2 B 6 4 C 6 8 D 2 4 E 3 2 被抽取的八年级学生跳绳个数在C组的数据：130  135  133  135  135  134； 被抽取的九年级学生跳绳个数在C组的数据：133  132  134  133  133  133  136　136　． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的八年级、九年级学生一分钟跳绳的个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 134 a 135 九年级 133 133 133 b 请回答下列问题： (1)填空： ， ． (2)若该校八年级、九年级参加此次跳绳比赛的人数分别为300，360，请你估计此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数． (3)你认为本次跳绳比赛中八年级和九年级跳绳成绩哪个更好？请说明理由． 4．某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． 5．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 6．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 7．2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 8．[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷. （1）你认为游戏公平吗?为什么? （2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.2用频率估计概率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求某事件的频率 题型02 根据频率估计概率 B组 能力进阶 题型01 根据频率估计试验对象的个数 题型02 用频率估计概率的综合应用 C组 思维拔高 题型 用频率估计概率·创新性问题 求某事件的频率题型01 1．（25-26九年级上·贵州·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 2．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样． (1)随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； (2)小明和小英一起做游戏，小明从盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小明获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)这个游戏对双方公平， 理由如下： ∵盒子中一共有个球，其中红球有5个，且每个球被摸到的概率相同， ∴摸到红球的概率为，摸到非红球的概率为， ∴摸到红球和摸到非红球的概率相同， ∴小明和小英获胜的概率相同， ∴这个游戏对双方公平． 【分析】本题主要考查了求频率，游戏的公平性，熟知频率等于频数除以总数以及概率计算公式是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可． （2）分别求出摸到红球和摸到非红球的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴摸出红球的频率是； （2）略 4．数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 【答案】(1) 补全条形统计图，如图所示： (2) (3)不一定；理由： 因为进行实验时具有随机性，所以当第二小组与第一小组的试验次数相同时，他们摸出的各种球的频率很接近，但不会完全相同，因此他们两组的实验结果不一定会完全一样． 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计图的特点，是解题的关键． （1）先根据条形统计图和扇形统计图求出摸球的总数，然后求出摸出白球的频数，补全条形统计图即可；根据摸出黄球的频数和摸球总数求出摸出黄球的频率即可； （2）根据第一小组摸出黑球所占的百分比求出所对应的扇形的圆心角的度数即可； （3）根据实验的随机性进行回答即可． 【详解】（1）解：实验总次数为：（次）， 摸出白球的频数为：， 摸出黄球的频率为：， 补全条形统计图略； （2）解：第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数为： ； （3）略 5．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果见下表： 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 (1)请完成上表． (2)根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ (3)如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1) 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 0.7 0.8 0.86 0.81 0.82 0.828 0.825 (2)0.83 (3)如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会相近，但一般不会完全一样，因为随机事件的频率具有不确定性，但频率会稳定在概率附近． 【分析】（1）根据优等品率优等品数随机抽取的乒乓球数进行求解即可； （2）根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值进行求解即可； （3）根据概率的意义进行求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由表格中的数据可知，随着抽取的乒乓球数量的增加，优等品率稳定在附近， ∴在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是． （3）解：略． 根据频率估计概率题型02 1．布袋里有除颜色外其他均相同的小球，从袋中随机摸出1个球，“摸到红球”的概率是，这句话理解正确的是（     ） A．布袋里只有3个红球，2个其他颜色的球 B．摸球5次，一定有3次摸到红球 C．摸球5次，一定有3次摸到的球不是红球 D．如果摸很多次的话，平均每5次就约有3次摸到红球 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，概率反映大量重复试验中事件发生的可能性大小，根据概率的定义判断各选项即可. 【详解】解：∵概率是大量重复试验下摸到红球的频率稳定值，不代表布袋中一定是个红球和个其他颜色的球，∴A错误，不符合题意； ∵概率反映的是事件发生的可能性大小，不是确定的试验结果，摸次不一定恰好有次摸到红球，也不一定有次没摸到红球，∴B,C错误，不符合题意； ∵大量重复试验时，频率会趋近于概率，∴多次摸球时，平均每次约有次摸到红球，D正确，符合题意. 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.901左右．根据频率稳定性，当试验种子数较大时，发芽频率趋近于概率，取1000粒时的频率0.901作为概率估计值，再计算种子中能发芽的重量． 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901， 该值可作为发芽概率的估计值． 因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为． 故答案为∶． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了频率和概率，根据频率和概率的定义进行解答即可． （1）根据频数除以总数即可得到频率； （2）用白球的个数除以球的总个数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即这50次摸球中，摸到白球的频率为； （2）因为加入5个白球后，袋中共有白球：（个）， 袋中一共有球：（个）， 所以随机摸出一个球，摸到白球的概率为． 4．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)通过以上实验，摸到红球的概率估计为____（精确到0.1） ，盒子里红球的数量为____个． (2)若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___． (3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 【答案】(1)0.3，6 (2)6 (3)1 【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得，用球的总数乘以红球的概率，即可； （2）根据题意可得需要拿出所有的红球，即可； （3）根据题意可得拿掉x人红球，加入x个黑球后，则红球（6-x），再由概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3， 20×0.3=6； 故答案为：0.3，6 （2）解：因为“摸出黑球”为必然事件， ∴袋子只有黑球， ∴需要拿出所有的红球，即x=6； 故答案为：6 （3）解：由（1）知红球6个，黑球14个， 拿掉x个红球，加入x个黑球后，则红球（6-x），依题意得： ， 解得x=1， 故红球取出1个． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应概率，还涉及了必然事件． 5．（24-25七年级下·广东深圳·质检）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 【答案】(1)； (2) 补充条形统计图： (3)①；② 【分析】本题考查了利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中获取需要的信息是解题的关键． （1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”的人数，从而补全条形统计图； （3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可； ②先求出抽取的恰好使用“”的频率，再用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：∵喜欢用“电话”进行沟通的人数为，所占百分比为， ∴此次共抽查了（人）， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；； （2）解：喜欢用“短信”进行沟通的人数为：（人）， 喜欢用“微信”进行沟通的人数为：（人）； （3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人， ∴该某市的万人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（万人）， 故答案为：； ②由（1）可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人， ∴在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是， ∴用频率估计概率，在该市使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是， 故答案为：． 6．某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率m/n 0.68 0.74 △ 0.69 0.705 △ (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少? (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少? (4)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少?(精确到1°) 【答案】（1）0.68 ， 0.701 ；（2）0.7；（3）0.7；（4）252°. 【分析】（1）根据频率的算法，频率=，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）根据概率的求法计算即可； （4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可． 【详解】（1）填表如下： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率m/n 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，频率将会接近（68+111+136+345+564+701）÷（100+150+200+500+800+1000）=0.7， 故答案为0.7； （3）获得铅笔的概率约是0.7， 故答案为0.7； （4）扇形的圆心角约是0.7×360°=252°． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 7．某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 【答案】(1)； (2)这个运动员投篮命中率的概率是； (3)36分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮24次命中次，然后用12乘以3即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：这个运动员投篮命中率的概率是； （3）解：这个运动员3分球投篮24次大约命中（次）， ∴这个运动员3分球投篮24次的得分大约为（分）． 8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）平均数76，方差44； （Ⅱ）应购进17枝，理由如下： 当时，17枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式为 当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴当一天购进 17枝玫瑰花时，日利润的平均数为（元）； ∵当一天购进 16枝玫瑰花时，日利润的平均数为76元，且， ∴应购进17枝． 【分析】本题考查算术平均数和方差，概率公式，掌握算术平均数和方差的计算方法以及用频率估计简单随机事件发生的概率是正确解答的关键． （1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可； （2）（Ⅰ）求出日需量为14、15、16、17、18、19、20时的每一天的利润，再求出100天的日利润的平均数和方差即可；（Ⅱ）先求出当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式，再求出当一天购进 17枝玫瑰花时的日利润，即可求解． 【详解】（1）解：当时，16枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，利润y关于当天需求量n的函数解析式为； （2）解：（Ⅰ）当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴日利润的平均数为（元）； 日利润的方差为； （Ⅱ）解：略． 根据频率估计试验对象的个数题型01 1．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（    ） A．10 B．15 C．25 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，据此可得白球的个数． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是， ∴摸到红球、黄球的概率分别是， ∴红球和黄球各有个，个， ∴可估计袋中白球的个数是个， 故选：D． 2．（25-26九年级上·期末）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________． 【答案】14 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，得到摸到红球的频率为，从而估计概率为，再乘以总球数20，得到红球个数即可． 【详解】共摸了100次球，有70次摸到红球，摸到红球的频率为， 因此估计摸到红球的概率为， 则口袋中红球的个数约为． 故答案为：14． 3．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在20%和35%，则箱子里蓝色球的个数很可能是______个. 【答案】9 【详解】分析：利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为20%和35%，则摸到蓝球的概率为45%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数． 详解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为20%和35%，所以摸到蓝球的概率为45%，因为20×45%=9（个），所以可估计袋中蓝色球的个数为9个．     故答案为9． 点睛：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 4．某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． (1)求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球的数量． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查概率公式，解题关键是掌握概率公式，并充分理解题意，掌握频率与概率的关系； （1）可用频率估计概率，即4000人次摸到红球1000次，利用概率公式计算； （2）设白球为，再利用概率公式列方程，求解即可． 【详解】（1）解：参加一次这种游戏活动得到玩具奖品的频率为． （2）设袋中白球为个， 则摸到红球的概率， ， 解得：，经检验是方程的解． 故白球接近18个． 5．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【分析】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 6．（25-26七年级·陕西西安·期中）一个不透明的袋子中放有个白球，个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球次，其中摸出红球的次数为次，这次摸球活动中红球出现的频率为___________； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的倍还多个，求从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率的定义，概率等于事件发生的次数除以总试验次数，代入数据直接计算即可． （）先根据白球与红球的数量关系列方程求出红球个数，再根据概率公式计算摸到红球的概率即可． 【详解】（1）解：由题可知一共摸球次，其中摸出红球的次数为次， ∴红球出现的概率为； （2）设红球的数量为，则白球的数量为（）， 由题知白球数量为， ∴， ∴， ∴红球有5个，球的总数为， ∴从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率为． 7．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据： 根据以上数据，估算袋中白棋子的数量． 【答案】袋中白棋子约有40枚． 【分析】利用已知提供的数据求出黑棋子的比例，进而假设出白棋子各数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数. 【详解】解：摸到黑棋子的频率， 设袋中白棋子有个，则，解得． 即袋中白棋子约有40枚． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据试验次数得出黑棋子的比例，从而得到白棋子个数是解决问题的关键. 8．（2026·安徽滁州·一模）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论； （3）分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可． 【详解】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 用频率估计概率的综合应用题型02 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 2．《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 【答案】240 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 3．小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，解题的关键是得到这张纸与圆的面积比；根据题干的数据计算出石子落在圆内的频数与落在纸上的频数的比值即可解答． 【详解】解：这张破纸面积大约为（）， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 y (1)填空：__________，__________，__________； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是__________（精确到）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是__________次； (4)如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1)100；；415 (2) (3)120 (4) 不会一样；理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在左右波动，故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同． 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． （4）根据概率的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是； 故答案为：； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． （4）略 5．为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次成绩和第二次成绩情况统计图．    (1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是________分，他两次活动的平均成绩是_______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； (2)若有400名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 【答案】(1)①90，87.5； ②图中圈出的就是所求；    (2)180人 【分析】（1） ①根据图象直接得到，再求平均即可； ②符合题目要求的范围在直线的左边，直线的上面，圈出即可； （2）用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可． 【详解】（1）①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是， 故答案为：90，87.5； ②如图所示，符合题目要求的范围在直线的左边，直线的上面； （2）（人）， 答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为180人． 【点睛】本题考查了看图知识，求平均数，解题的关键是熟练掌握平均数等知识． 6．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 组别 睡眠时间分组 频数 频率 4 0.08 8 0.16 10 21 0.42 0.14 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中，________，________； （2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________； （3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数； （4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议． 【答案】（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业． 【分析】（1）按照频率=进行求解，根据组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=进行求解，即可得到，的值； （2）根据（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解； （3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数； （4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议． 【详解】（1）根据组别，本次调查的总体数量=， ∴组别的频率=， ∴组别的频数=频率×总体数量， ∴，； （2）∵（1）中求得的值为0.2， ∴其在扇形中的度数； （3）组别和的频率和为：， ∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数（人）； （4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=，解答本题的关键是掌握频率、频数和总体数量的关系． 7．（25-26九年级下·广东深圳·质检）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查1：“柑橘完好率”调查 采购的总质量 50 100 200 400 500 完好柑橘的质量 柑橘完好的频率 调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x(元)与采购的总质量之间的关系满足． 任务一(分析) (1)可以估计柑橘完好的概率约为_______(精确到)． （2）由(1)知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为_______(结果保留整数；损坏的柑橘不得销售)． 任务二(决策) (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/kg？ 【答案】 (1) (2) 90 (3) 应采购柑橘，售价定为20元. 【分析】总结性分析：本题考查了利用频率估计概率、一元一次方程的实际应用与一元二次方程的利润问题，解题的关键是从调研数据中提取概率估计值，结合采购量、完好率与售价公式建立利润方程求解． （1）观察频率数据稳定在附近，估计柑橘完好的概率； （2）先计算元可采购的柑橘总质量，再乘以完好概率得到可销售质量； （3）设采购量为，根据售价公式表示出单价，结合完好率得到销售收入，再根据“利润销售收入总成本”列方程求解． 【详解】（1）解：频率稳定在附近， 估计柑橘完好的概率约为． 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：设应采购的柑橘， 由，得 ． 可销售质量为，总成本为元． 根据利润公式， ， ， ， ， ， ． 此时． 答：应采购的柑橘，售价应定为元． 8．某水果批发公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克苹果，在运输过程中，有部分苹果损坏，该公司对刚运到的苹果进行随机抽查，并得到如图的“苹果损坏率”统计图．由于市场调节，苹果（只售好的苹果）的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录． 苹果的售价（元/千克） 14 15 16 17 18 苹果的日销售量（千克） 1000 950 900 850 800 (1)估计购进的10000千克苹果中完好的苹果的总重量为______千克，此时公司应将售完这批完好的苹果的成本调整为______元/千克； (2)按此市场调节的规律来看，若苹果的售价定为16.5元/千克，估计日销售量并说明理由； (3)考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批苹果（只售完好的苹果），且售价保持不变，求该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润，并说明理由． 【答案】(1)9000；10． (2) 特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克．理由如下： 解：设特级苹果的售价为x元/千克，日销售量是y千克， 由表格可知，销量与售价的函数关系式为一次函数， 设 ，把代入得： ，解得∶ ， ∴， 当时，， ∴特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克． (3) 解：该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润为6750元．理由如下： ∵12天内售完这批特级苹果，   ∴， 解得：， 设该公司每日销售该特级苹果的利润为w元， 根据题意得：， ∵，顶点坐标为， ∴w的抛物线开口向下，对称轴为直线， 又∵， ∴w随着x的增大而增大， ∴当时，w取最大值，最大值为（元）， 答：该公司每日销售该特级苹果可能达到的最大利润是6750元． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，求一次函数解析式，二次函数的实际应用： （1）根据“苹果损坏率”统计图即可得出苹果损坏的概率，进而可求出苹果完好的概率，再利用苹果的总质量苹果完好的概率，即可得出答案． （2）由表格数据可知，销量与售价的函数关系式为一次函数，设，再由待定系数法求出函数表达式，然后代入，求出值即可； （3）根据12天内售完这批特级苹果及总销量天数日销量，列出不等式，求出的取值范围，设利润为w元，然后根据总利润（单价成本）日销量，即可得出关于利润w与售价x的二次函数关系式，然后根据二次函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：“苹果损坏率”统计图可知，苹果损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定， 所以，估计10000千克特级苹果中完好的苹果的总重量为：（千克），（元/千克）； 故答案为：9000；10． （2）略 （3）略 用频率估计概率·创新性问题题型 1．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③ (2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 (3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． （2）解：， 故． （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 2．（2025·上海·模拟）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 3．（2026·河南平顶山·模拟）某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级、九年级中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为（为优秀），共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：．整理成如下频数分布表． 组别 八年级人数 九年级人数 A 3 2 B 6 4 C 6 8 D 2 4 E 3 2 被抽取的八年级学生跳绳个数在C组的数据：130  135  133  135  135  134； 被抽取的九年级学生跳绳个数在C组的数据：133  132  134  133  133  133  136　136　． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的八年级、九年级学生一分钟跳绳的个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 134 a 135 九年级 133 133 133 b 请回答下列问题： (1)填空： ， ． (2)若该校八年级、九年级参加此次跳绳比赛的人数分别为300，360，请你估计此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数． (3)你认为本次跳绳比赛中八年级和九年级跳绳成绩哪个更好？请说明理由． 【答案】(1)131.5， (2)此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数约为183人． (3)九年级跳绳成绩更好． 理由：九年级跳绳个数的中位数、优秀率都比八年级的高， 九年级跳绳成绩更好（理由不唯一，合理即可）． 【详解】（1）解：因为样本总人数为20人，所以中位数为跳绳个数排名第10和第11两人的平均值，八年级组共有9人， 故中位数位于组区间，第10和第11两人跳绳个数分别为130,133， 故， 两组都是优秀组，九年级两组共有6人， 故 ． （2）解：（人）． 此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数约为183． （3）略 4．某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． 【答案】(1) ． (2)“”的可能性大，理由： 由表知：评为“”的频率是， 由此估计全区七年级参加竞赛的学生约有（人）被评为“”． ，，，，   ， 随机抽查一名参赛学生的成绩等级，“”的可能性大． 【分析】本题是统计图的基础应用题，难度一般，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题． （１）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；据此可补全频数分布直方图． （２）根据题意：依次求出个等级的概率，比较可得：“”的概率最高，故是“”的可能性大； 通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能． 【详解】（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，； （2）略 5．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 6．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 【答案】（1）；（2）3π． 【分析】（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数 石子落在阴影内的次数即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭图形ABC面积的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积. 【详解】（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k==； （2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2， 所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的， 因为S圆=π， 所以封闭图形ABC的面积约为3π． 【点睛】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法． 7．2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 【答案】（1）50（2）15（3）144°（4） 【分析】（1）根据A是5人，占总体的10%，即可求得总人数； （2）根据总人数和B所占的百分比是30%求解，然后补充图形； （3）首先计算C所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数； （4）只需用D的人数除以总人数，求得所占的比例即可． 【详解】解：（1）5÷10％=50（人） （2） 50×30％=15（人） （3）360°×=144° （4）． 考点：数据分析（统计图，概率） 8．[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷. （1）你认为游戏公平吗?为什么? （2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式） 【答案】 （1）不公平.理由如下： （掷中阴影部分），即小红获胜的概率为，则小明获胜的概率为，， 游戏不公平 （2） 【分析】（1）首先分别计算小红和小明获胜的概率，相比较，获胜概率不同，所以可判定不公平； （2）首先设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），然后往图形中掷点，掷在正方形外或边界上不作记录，其次当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内，最后用频率估计概率，大概可得出结果. 【详解】（1）略 （2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），如图所示； ②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）； ③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内； ④设不规则图形的面积为，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率（掷入不规则图形内），而（掷入不规则图形内），故，即. 【点睛】此题主要考查概率的计算和用频率估计概率，熟练运用即可解题. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $