第三章 第13课时 问题解决活动：利用相似三角形测高-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第13课时 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1,【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意。某校数学实践小组利 用所学数学知识测量龙象塔的高度。 【实践探究】下面是方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 晴天，借助太阳光线构成相似三角形。测量：标杆长CD,影长ED,塔影长DB。 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 CD 1.61m 1.59m 1.6m 测量数据 ED 1.18m 1.22m 1.2m DB 38.9m 39.1m 39m 计算过程 活动感受 培养了学生的动手动脑能力 【问题解决】 (1)本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的 目的是 (2)根据“方案”的数据，求出龙象塔AB的高度。 ●>80● 第三章图形的相似 2.【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似 的知识得海关大楼的高度，如图1所示.小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射 特点来构造相似，如图2所示。 图1 图2 【问题提出】 问题一：现测量得到BC=a,CE=b,DE=c.问：海关大楼高AB高为多少？（用a,b,c表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所 以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己 的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来 表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示。 楼 D 地 平面镜 面BC 无法进入内部 图3 图4 问题二：小星测量得到EG=16.8m,DF=1.6m,GN=1.8m,DE=1.45m,请你求出海关大楼 AB的高度。 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81，请你尝试着分析出现 这样误差的原因是什么？ ●>81●:AE=子AB,BE=AB-AE, ∴.BE=3AE。 船 ..CF_CD ·BEBD 六能-器=号，即BD=3CD. 又.BD=BC+CD, ∴.BC=2CD。 第13课时☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.解：(1)减少误差 (2)由题意，得△EDCp△DBA, 鼎浴 ED=1.2m,CD=1.6m,DB=39m, .AB=52m。 答：龙象塔AB的高度为52m。 2.解：问题一：由反射特点可知∠ACB=∠DCE, 又：∠ABC=∠DBC=90,△ABCn△DBC,∴B2- .BC=a,CE=6,DE=,即45-号，∴AB=g. BC 问题二：由反射特点可知∠AEB=∠FED,∠AGB =∠MGN. .'∠ABC=∠FDE=∠MNG=90°，∴.△AEB∽△FED, △AGv△MGN0-器0-器。 FD=MN=1.6m,器织.EG-16,8m,DF=1. 6m,GN=1.8m,DE=1.45m, ÷器-EB168.解得EB-696得-2解得 AB=76.8; 问题三：(1)理论上人射角等于反射角，即本题中直角诚去人 射角和反射角得到∠AEB=∠FED和∠AGB=∠MGN,实 际操作中由于测量工具的精度，测量人员的操作等因素，入 射角和反射角的测量可能存在误差，从而导致上述角度不完 全相等。 (2)实际中测量两点之间的距离时，由于测量工具本身的精 准限制、测量环境（如地面不平等等）的影响，测量的距离可 能存在一定的偏差。 第三章《图形的相似》易错疑难集训 1.A2.A3.C4.1:25.26.B 7.(4,0)或(，0)8.11 9.解：(1)设经过ts,S△om=2cm2, 由题意，得AP=2tcm,CQ=tcm 则PC=(8-2t)cm, 由题意得，×(8-20×4=2， 参考咨案 整理，得t一4t十2=0，解得t=2士√2， 则P,Q同时出发，经过(2士√2)s,S△aa=2cm; (2)设再经过n秒△PCQ与△ACB相似，由题意，得 AP=2n,CQ=2+n,PC=8-2n, 当△P0Q△ACB时8需-器即8a-告产 8 6, 解得n=1.6; 当△P00ABCA时，器-g器即80-2待， 6 8 解得a=。 综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过 1.6s或△PCQ与△ACB相似。 10.B11.C12.A13.C14.D15.(2,2) 第14课时《图形的相似》单元复习 1.D2.B3.C4.2+15.(3+√5) 6.解：(1)如答图所示，△A1B1C即为所求。 Q Ad -}-- ---4 1CC2:. 答图 (2)如答图所示，△A2B2C2即为所求，A2(一2，一2)。 7.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC,即AD ∥BE, ∴.∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF, .△ADFO△ECF。 (2)解：，四边形ABCD为平行四边形， AD=BCAB=CD=8,CE=号AD,即80=3. △ADFU△ECF,是-，脚2F=3, CD-DF+CF,:.DF=CD=6, 8.A 10.解：如答图所示，过点E作EH⊥AB于点H,设EH,CD交 于点G,则四边形EFBH、四边形EFDG都是矩形， A 答图