第一章 第9课时 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第9课时 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 一、阅读：顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形。八(1)班的宣传小组A,B,C三名同学在布置 班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形。 A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形。 B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形。 C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个 四边形也是菱形（两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交）。 (一)操作与画图 1.在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是 2.在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）。 3.在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置。 图1 图2 图3 (二)证明与计算 1.标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形。 2.已知矩形ABCD中，AB=6,BC=8,结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱形的面积最大值是 (三)拓展与应用 若矩形ABCD的最大内接菱形的面积是矩形面积的？，则AB:AD- ●>18● 第一章 特殊平行四边形 二、阅读： 传统建筑中的数学一正方形内嵌正八边形探究 中国古建筑的藻井、窗棂中常出现正方形内嵌套正八边形的精美图案。数学上定义：若 【素材一】 一个正八边形至少有四个顶点分别落在正方形的四条边上，则称这个正八边形为该正方 形的内嵌正八边形。正八边形的每个内角都相等，且为135°。 在正方形中作内嵌正八边形，通常会在正方形的四个角各截去一个全等的等腰直角三角 【素材二】 形。若正方形的边长为a,截去的等腰直角三角形的直角边长为x,则剩下的线段长度恰 好等于正八边形的边长，满足等量关系：√2x=a一2x。 阅读理解与计算 1.直接写出正八边形的一个内角的度数： 8 2.若正方形边长a=2十√2，请利用素材二中的等量关系√2x=a一2x,求截去的等腰直角 【任务一】 三角形的直角边长x的值。 实践探究与反思 1.请写出用尺规在正方形内作内嵌正八边形的主要步骤。 2.结合本次项目学习，从作图方法、数学思想、活动经验中任选一个角度，写出你的回顾 【任务二】 反思。 ●>19●,BD⊥EF,∴.□BEDF为菱形 ,DE=√OD+OE=√4+2=2√5， .四边形BEDF的周长为4DE=8√5。 第8课时正方形的性质与判定(2) 1.D2.D3.C4.B 5.证明：：四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形， ∴.∠A=∠D=90°，EF=FG。 ∴.∠AEF+∠AFE=90°。 又.AE=DF,.Rt△AEF≌Rt△DFG(HL)。 ∴∠AEF=∠DFG。 ∴∠DFG+∠AFE=90°。 ∴∠EFG=90°。 .四边形EFGH是正方形。 6.⑥ 7.①②或①③（填写一组即可） 8.AB=AC(答案不唯一) 9.证明：由题意，∠AFG=∠FGH=∠AHG=90°， ∴.四边形AFGH是矩形。 ∴.∠HAF=90°. 四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°。 :∠DAF+∠FAE=90°，∠HAB+∠FAE=90, ∠DAF=∠BAH. ∠DAF=∠BAH, 在△AFD和△AHB中，∠AFD=∠AHB, AB=AD, .△AFD≌△AHB(AAS),.AF=AH。 ∴四边形AFGH是正方形。 10.(1)证明：.CF∥BD,DF∥AC, .四边形CFDO是平行四边形， ∠OBE=∠CFE,∠BOE=∠FCE, ..CF=OD, ,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ..OB=OD,..OB=CF, .△FCE≌△BOE(ASA)。 (2)①菱形②矩形③正方形 11.(1)证明：如答图，延长AE,BC交于点N, 四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC,∴.∠DAE=∠ENC 又.AE平分∠DAM,'.∠DAE=∠MAE ∴.∠ENC=∠MAE。 在△AMN中，'∠ENC=∠MAE,.AM=MN E是CD边的中点，∴.DE=CE。 ∠DAE=∠CNE, 在△ADE和△NCE中， ∠AED=∠NEC, DE=CE, ∴.△ADE≌△NCE(AAS),∴.AD=NC .AM=MN,且MN=NC+MC, 参考咨索 ∴.AM=NC+MC=AD+MC M C .N 答图 (2)解：(1)中AM=AD+MC仍然成立。 第9课时☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 一、阅读 (一)操作与画图 1.如答图1，故答案为：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直 且互相平分的四边形为菱形。 答图1 答图2 答图3H 2.连接AC,再作AC的垂直平分线分别与AD,BC交于E,F, 连接AF,CE,则四边形AFCE是所求作的菱形。作图如答 图2。 3.如答图3所示，让矩形的两条对角线互相重合，重叠部分（四 边形AECF)是所求作的菱形。 (二)证明与计算 1.证明：如答图2，对角线AC,EF相交于点O。 :ABCD是矩形，AD∥BC∴∠OAE=∠OCF, EF是AC的垂直平分线， ∴.OA=OC,∠AOE=∠COF=90°， ∴.△AOE≌△COF,.∴.OE=OF, .四边形AFCE为平行四边形。 又，ACLEF,∴.平行四边形AFCE为菱形。 22 (三)拓展与应用 1：3或3：1 二、阅读 解：任务一： 1.135 2.把a=2十√2代人√2x=a-2x, 得V2x=2十√2-2x,√2x十2x=2十√2， x(2+√2)=2+√2，.x=1。 任务二： 1.①作正方形及对角线，确定对称中心：②在正方形四条边上 数学九年级上册(BS) 分别截取等长线段；③顺次连接四条边上的八个截取点，得 到内嵌正八边形。 2.示例：①利用对称思想可以简化作图；②图形探究要遵循“理 解一计划一操作一反思”的流程；③实际问题可转化为方程 解决，体现数形结合思想。 微专题1中点模型 1.A2.D3.B4.205.正方形6.24 7.证明：，E,F分别为AB,BC的中点， .EF是△ABC的中位线， ∴EF=2AC,EF∥AC, 同理，GH=AC,GH/AC,FG/BD, .EF=GH,EF∥GH, ∴.四边形EFGH为平行四边形， ACLBD,∴.EF⊥FG,即∠EFG=9o°， .平行四边形EFGH为矩形。 8.解：四边形EFGH是平行四边形。 理由如下：如答图，连接BD, 点E,F,G,H是四边形ABCD的四边中点， ∴EH/BD,FG∥BD,EH=2BD,FG=BD, .EH=FG,EH∥FG, .四边形到EFGH是平行四边形。 答图 9.解：(1)D(2)①AC=BD②AC⊥BD (3)EC,BG的位置关系为EC⊥BG, 数量关系为EC=BG。 (4)MN=号BD,理由如下： 2 如答图，设AD,BC的中点分别为E,F, 并顺次连接EN,NF,FM,ME, 四边形ABCD是“中方四边形”， A .四边形ENFM是正方形， ∴.FM=FN,∠MFN=90°， ∴.MN=√FM+FN=√/2FN, F,N分别是BC,CD的中点， 答图 &FN=合BD, MN=EFN-=EX号BD=9BD. 10.证明：如答图，连接BD,AC。 E,H分别是AB,AD的中点， EH/BD,EH=合BD, 同理FG/BD,FG=BD:EF∥AC,EF=合AC, .EH∥FG,EH=FG 四边形EFGH是平行四边形。 又：四边形ABCD是矩形， AC=BD。 .EH=EF, .□EFGH是菱形。 答图 第一章《特殊平行四边形》易错疑难集训 1.D2.D3A435656号7.45 8.629.1210.22.5°11.1或412.(1)5(2)/39 13.(0,2) 14.(1)证明：四边形ABCD为菱形， ·ACLBD,OC=2AC, DE=AC,∴DE=OC, ,DE∥AC,四边形OCED是平行四边形。 .AC BD,∴.∠COD=90°， ∴.平行四边形OCED是矩形，∴OE=CD。 (2)解：在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，.AC=AB=2, 又：在菱形ABCD中，ACLBD,.AO=号AC, OD=OB=合BD, ∴.OD=OB=√AB-AO=√5， 由(1)知四边形OCED是矩形， ∴∠OCE=90°，CE=OD, ∴AE=√AC+CE=√7。 15.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴∠FAE=∠HAE=45°， :EF⊥AC, .∠AEF=∠AEH=90°， I∠FAE=∠HAE, 在△AEF和△AEH中， AE-AE, (∠AEF=∠AEH, .△AEF≌△AEH(ASA), ∴.AF=AH; (2)解：设AE=x,AF=AH=√+x=√2x, DF=1-√2x,FH=√AF+AH=2x, :△AFH与△CDF的面积相等， ∴72x…z=合×11-E), 整理得2x2+√2x-1=0, 解得=二，=二（舍去）， 4 4 ∴AE=Y0-2 4