第三章 微专题5 巧作平行线构造相似三角形-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 微专题5巧作平行线构造相似三角形 技巧1：巧连线段的中点构造相似三角形 技巧2：过顶点作平行线构造相似三角形 1.如图，在△ABC中，E,F是边BC上的两个三 2.如图，在△ABC中，AC=BC,F为底边AB上 等分点，D是AC的中点，BD分别交AE,AF 点，BF:AF=3:2,取CF的中点D,连接 于点P,Q,求BP:PQ:QD。 AD并延长交BC于点E,求8的值 ●>78● 第三章图形的相似 技巧3：过一边上的点作平行线构造相似三角形 4.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点 3.如图，在△ABC中，AB>AC,在边AB上取一点 E为AB上一点，且AE=号AB,连接EM并 D,在AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和 BP BD 延长交BC的延长线于点D.求证：BC=2CD BC的延长线交于点P.求证：C=C。 ●>79●数学九年级上册(BS) 1k=1, 此AG所在直线的表达式为y=x-1,与EC的 b=-1, 交点坐标是(1,0)； (2)当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心 就是直线AE与直线CG的交点，设AE所在直线的表达式 为y=kx十b(k≠0)， 1 13k+b=2, (k二2' 将点A,E的坐标代入，得 解得 -k+b=0, 1 b=2 故AE所在直线的表达式为y=分z十是，①，同理，求得 1 CG所在直线的表达式为)y=5x-1,②， 1 1 y=2x+2 /x=-5, 联立①②，得 解得 1 (y=-2, y=5x-1, 故直线AE与直线CG的交点坐标是（一5，一2）。 综上所述：位似中心的坐标是(1,0)或（一5，一2）。 微专题4相似三角形的基本模型 1.A2号3124.压52：36.87.2 8.(1)证明：.AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠BAC=90°。 又∠B=∠B, .△ABC∽△DBA。 (2)解：BD=4,DC=5, ∴.BC=BD+DC=4+5=9。,△ABC∽△DBA, ÷%-部AB=BD.BC=4X9=36,∴AB=6. 9.710.2 3 11.(1)证明：：四边形ABCD为矩形，三角尺EFG为直角三角 形，∴∠A=∠D=∠CEB=90°。 ·∠AEB+∠ABE=∠AEB+∠CED=90°， ∴.∠ABE=∠CED. :∠A=∠D,∴.△ABEn△DEC。 (2)解：，四边形ABCD为矩形，.CD=AB=2, 由(1)得△ABE∽△DEC, 品能即号=AE解得AE=2. 微专题5巧作平行线构造相似三角形 1.解：如答图，连接DF,E,F是边BC上的两个三等分点， BE-EF-FC. D是AC的中点，.AD=CD。 .DF是△ACE的中位线。 ∴DF∥AE,且DF=号AE.∴DF/PE。 .∠BEP=∠BFD.又∠EBP为公共角， ∴△BEP△BFD:器-邵. .BF=2BE,.'BD=2BP..'BP=PD..DF=2PE 2 .DF∥AE ∴∠APQ=∠FDQ,∠PAQ=∠DFQ △AP0△DQ品品. 设PE=a,则DF=2a,AP=3a。 ∴.PQ:QD=AP:DF=3:2。 答图 .BP:PQ:QD=5:3:2。 2.解：如答图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G。 .CG∥AB, ∠DAF=∠G。 又D为CF的中点， ∴.CD=DF。 又∠ADF=∠CDG, ,.△ADF≌△GDC(AAS). ∴.AF=CG。 BF:AF=3:2, .AB:AF=5:2。 AB∥CG, ∴.∠CGE=∠BAE, ∠BCG=∠ABE。 答图 ∴.△ABE∽△GCE。 腮0得 3.证明：如答图，过点C作CF∥AB交DP于点F, ∴∠PFC=∠PDB,∠PCF=∠PBD。 ∴.△PCF∽△PBD。 8部梁。 AD∥CF, .∠ADE=∠EFC。 .AD=AE. ∠ADE=∠AED。 :∠AED=∠CEP, B .∠EFC=∠CEP。 答图 ∴.EC=CF。 器器。 4.证明：如答图，过点C作CF∥AB,交DE于点F, ∠FCD=∠B。 又∠D为公共角， ∴.△CDF∽△BDE。 器品 :点M为AC边的中点， ∴.AM=CM。 CF∥AB, 答图 ∴.∠A=∠MCF。 又.，∠AME=∠CMF, ∴.△AME≌△CMF。 .AE=CF。 :AE=子AB,BE=AB-AE, ∴.BE=3AE。 船 ..CF_CD ·BEBD 六能-器=号，即BD=3CD. 又.BD=BC+CD, ∴.BC=2CD。 第13课时☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.解：(1)减少误差 (2)由题意，得△EDCp△DBA, 鼎浴 ED=1.2m,CD=1.6m,DB=39m, .AB=52m。 答：龙象塔AB的高度为52m。 2.解：问题一：由反射特点可知∠ACB=∠DCE, 又：∠ABC=∠DBC=90,△ABCn△DBC,∴B2- .BC=a,CE=6,DE=,即45-号，∴AB=g. BC 问题二：由反射特点可知∠AEB=∠FED,∠AGB =∠MGN. .'∠ABC=∠FDE=∠MNG=90°，∴.△AEB∽△FED, △AGv△MGN0-器0-器。 FD=MN=1.6m,器织.EG-16,8m,DF=1. 6m,GN=1.8m,DE=1.45m, ÷器-EB168.解得EB-696得-2解得 AB=76.8; 问题三：(1)理论上人射角等于反射角，即本题中直角诚去人 射角和反射角得到∠AEB=∠FED和∠AGB=∠MGN,实 际操作中由于测量工具的精度，测量人员的操作等因素，入 射角和反射角的测量可能存在误差，从而导致上述角度不完 全相等。 (2)实际中测量两点之间的距离时，由于测量工具本身的精 准限制、测量环境（如地面不平等等）的影响，测量的距离可 能存在一定的偏差。 第三章《图形的相似》易错疑难集训 1.A2.A3.C4.1:25.26.B 7.(4,0)或(，0)8.11 9.解：(1)设经过ts,S△om=2cm2, 由题意，得AP=2tcm,CQ=tcm 则PC=(8-2t)cm, 由题意得，×(8-20×4=2， 参考咨案 整理，得t一4t十2=0，解得t=2士√2， 则P,Q同时出发，经过(2士√2)s,S△aa=2cm; (2)设再经过n秒△PCQ与△ACB相似，由题意，得 AP=2n,CQ=2+n,PC=8-2n, 当△P0Q△ACB时8需-器即8a-告产 8 6, 解得n=1.6; 当△P00ABCA时，器-g器即80-2待， 6 8 解得a=。 综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过 1.6s或△PCQ与△ACB相似。 10.B11.C12.A13.C14.D15.(2,2) 第14课时《图形的相似》单元复习 1.D2.B3.C4.2+15.(3+√5) 6.解：(1)如答图所示，△A1B1C即为所求。 Q Ad -}-- ---4 1CC2:. 答图 (2)如答图所示，△A2B2C2即为所求，A2(一2，一2)。 7.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC,即AD ∥BE, ∴.∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF, .△ADFO△ECF。 (2)解：，四边形ABCD为平行四边形， AD=BCAB=CD=8,CE=号AD,即80=3. △ADFU△ECF,是-，脚2F=3, CD-DF+CF,:.DF=CD=6, 8.A 10.解：如答图所示，过点E作EH⊥AB于点H,设EH,CD交 于点G,则四边形EFBH、四边形EFDG都是矩形， A 答图