第三章 微专题4 相似三角形的基本模型-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学九年级上册(BS) 1k=1, 此AG所在直线的表达式为y=x-1,与EC的 b=-1, 交点坐标是(1,0)； (2)当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心 就是直线AE与直线CG的交点，设AE所在直线的表达式 为y=kx十b(k≠0)， 1 13k+b=2, (k二2' 将点A,E的坐标代入，得 解得 -k+b=0, 1 b=2 故AE所在直线的表达式为y=分z十是，①，同理，求得 1 CG所在直线的表达式为)y=5x-1,②， 1 1 y=2x+2 /x=-5, 联立①②，得 解得 1 (y=-2, y=5x-1, 故直线AE与直线CG的交点坐标是（一5，一2）。 综上所述：位似中心的坐标是(1,0)或（一5，一2）。 微专题4相似三角形的基本模型 1.A2号3124.压52：36.87.2 8.(1)证明：.AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠BAC=90°。 又∠B=∠B, .△ABC∽△DBA。 (2)解：BD=4,DC=5, ∴.BC=BD+DC=4+5=9。,△ABC∽△DBA, ÷%-部AB=BD.BC=4X9=36,∴AB=6. 9.710.2 3 11.(1)证明：：四边形ABCD为矩形，三角尺EFG为直角三角 形，∴∠A=∠D=∠CEB=90°。 ·∠AEB+∠ABE=∠AEB+∠CED=90°， ∴.∠ABE=∠CED. :∠A=∠D,∴.△ABEn△DEC。 (2)解：，四边形ABCD为矩形，.CD=AB=2, 由(1)得△ABE∽△DEC, 品能即号=AE解得AE=2. 微专题5巧作平行线构造相似三角形 1.解：如答图，连接DF,E,F是边BC上的两个三等分点， BE-EF-FC. D是AC的中点，.AD=CD。 .DF是△ACE的中位线。 ∴DF∥AE,且DF=号AE.∴DF/PE。 .∠BEP=∠BFD.又∠EBP为公共角， ∴△BEP△BFD:器-邵. .BF=2BE,.'BD=2BP..'BP=PD..DF=2PE 2 .DF∥AE ∴∠APQ=∠FDQ,∠PAQ=∠DFQ △AP0△DQ品品. 设PE=a,则DF=2a,AP=3a。 ∴.PQ:QD=AP:DF=3:2。 答图 .BP:PQ:QD=5:3:2。 2.解：如答图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G。 .CG∥AB, ∠DAF=∠G。 又D为CF的中点， ∴.CD=DF。 又∠ADF=∠CDG, ,.△ADF≌△GDC(AAS). ∴.AF=CG。 BF:AF=3:2, .AB:AF=5:2。 AB∥CG, ∴.∠CGE=∠BAE, ∠BCG=∠ABE。 答图 ∴.△ABE∽△GCE。 腮0得 3.证明：如答图，过点C作CF∥AB交DP于点F, ∴∠PFC=∠PDB,∠PCF=∠PBD。 ∴.△PCF∽△PBD。 8部梁。 AD∥CF, .∠ADE=∠EFC。 .AD=AE. ∠ADE=∠AED。 :∠AED=∠CEP, B .∠EFC=∠CEP。 答图 ∴.EC=CF。 器器。 4.证明：如答图，过点C作CF∥AB,交DE于点F, ∠FCD=∠B。 又∠D为公共角， ∴.△CDF∽△BDE。 器品 :点M为AC边的中点， ∴.AM=CM。 CF∥AB, 答图 ∴.∠A=∠MCF。 又.，∠AME=∠CMF, ∴.△AME≌△CMF。 .AE=CF。数学·九年级·上册（北师大版） 微专题4相似 模型一A字型（有公共角） (1)条件：DE∥BC(如图1)， 结论：①△ADEn△ABC; 品能器。 图1 (2)条件：∠1=∠2（如图2）， 结论：①△AED∽△ABC; ②AD-AEDE AC-ABBC· 图2 (3)条件：∠1=∠2（如图3）， 结论：①△ACD∽△ABC; D ②AD-AC=CD】 图3 ACAB BC ③AC2=AD·AB。 1.如图，若∠A=70°，∠APC=65°，AC= AP·AB,则∠B的度数为 A.45° B.50° C.55° D.60° (第1题图) (第2题图) 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,AE=2,EC=1, 则瓷 3.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上， 且∠B=∠AED,若DE=3,AE=4,BC=9, 则AB的长为 D B< (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且 ∠ACP=∠B,若AP=3,BP=2,则AC的长 为 三角形的基本模型 模型二8字形（有一组隐含的等角，即对顶角相等） (1)条件：∠A=∠C (或∠B=∠D)(如图)， 结论：①△ABOp△CDO: ②A0-B0AB CO DO CD (2)条件：∠A=∠D (或∠B=∠C)(如图)， 结论：①△ABOO△DCO; 品器品. 5.如图，在菱形ABCD中，点E在AD上，若 AE:AB=1:3,则EF:FC= (第5题图) (第6题图) 6.如图，AD与BE交于点C,∠A=∠E。若DE =2AB,AC=4,则CE= 7.如图，在□ABCD中，E是AD的中点，AC与 BE交于点F,过点F作FG∥BC交AB于点 G。若BC=6,则FG的长为 模型三母子型（双垂直） 条件：∠BAC=∠1=90°（如图）， 61 B D 结论：①△ABCp△DBA∽△DAC; ②AB2=BD·BC; ③AC=CD·BC; ④AD=BD·CD。 6 ● 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC。 (1)求证：△ABC∽△DBA; (2)若BD=4,DC=5,求AB的长。 模型四一线三等角 特征：如图，两个三角形的一条边在一条直线上， 并且有一个顶点重合，满足∠1=∠2=∠3。 3 结论： (1)一线三垂直型 已知：∠1=∠2=∠3=90° （如图)， 结论：①△ABCp△CDE; 1 ②AB·DE=BC·CD: ③当点C为BD边的中点时，△ABCp △CDE∽△ACE。 (2)一线三等角型 D 已知：∠B=∠ACE=∠D=a(如图)， 结论：①△ABCp△CDE; ②AB·DE=BC·CD; ③当点C为BD边的中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE。 ●>7 第三章图形的相似 9.如图，在边长为9的等边三角形ABC中，BD =3,∠ADE=60°，则AE= D D (第9题图) (第10题图) 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, 点D是BC边上的一个动点（不与B,C点重 合)，∠ADE=45°。若BC=4√2，BD=√2， 则EC= 11.【综合与实践】如图，在矩形ABCD中，AB= 2,AD=4,三角尺EFG的直角顶点E在矩 形ABCD的边AD上，∠EFG=30°，将 △EFG绕点E旋转，当直角边EF经过点 B,EG的延长线经过点C时。 (1)求证：△ABE∽△DEC; (2)求AE的长。 7 ●