第三章 第5课时 探索三角形相似的条件(3)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第5课时 探索 A基础巩固 ●● 落实课标 1.△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使 △ABC∽△DEF的是 ( A.AB=1,BC=1.5,AC=2,DE=8,EF= 12,DF=16 B.AB=√2，BC=√3，AC=√5，DE=√6，EF =3,DF=3 C.AB=3,BC=4,AC=6,DE=6,EF=8, DF=16 D.AB=3,BC=4,AC=5,DE=√3，EF= 2,DF=√5 2.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图 形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C相似的 是 A. B.▣ c.s 3.已知△ABC的三边长分别为12cm,15cm, 18cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的 另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 ( ) A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 4.在△ABC中，AB=3,AC=4,在△A'B'C'中， A'B'=8,A'C'=6,则当BC:B'C'= 时，△A'BC' 5.在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=6。 (1)如果DE=10,那么当EF= ,FD 时，△ABC△DEF; (2)如果DE=10,那么当EF= ,FD= 时，△ABC∽△FDE。 ●● 角形相似的条件(3)》 6.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否 相似。 (1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm;A'B'= 12cm,B'C'=18cm,A'C'=21cm; (2)AB=10 cm,BC=8 cm,AC=16 cm;A'B' =16cm,B'C'=12.8cm,A'C'=25.6cm。 7.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AC,AB, BC的中点。求证：△ABCp△FDE。 58● 第三章图形的相似 B能力提升 ●● 灵活应用 10知图，已知8-E-S求证，△ABD BC_AC 8.如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格 △ACE。 上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使 △ABC∽△PBD,则点P应落在 A.P1上 B.P2上 C.P3上 D.P4上 9.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的正方形的顶点上。 (1)填空：∠ABC= BC= (2)求证：∠C=∠E。 C拓展应用 深度思考 11.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格 上有6个三角形：①△ABC;②△BCD; ③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK. ②~⑥中，与①相似的是 C D ② :③ A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥ 12.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一 个三角形框架的一边长为2，它的另外两边 长分别为 ●>59 ●解得x=9。 经检验，x= 是方程的根， 5AD的长为5cm, @品是暖=是8+料器 =5·AB+AC+BC= 59 ∴AD+AE+DE=号(AB+AC+BG=号×30=l8(cm. .△ADE的周长为18cm。 第3课时探索三角形相似的条件(1) 1.A2.C3.C4.C 5.∠B=∠ADE(答案不唯-)6.5 7.解：∠1=∠2，∠APC=∠BPD, ∴.△BPD∽△APC, ÷肥-器 即0-子BD=3. 8.89.2√13 10.证明：：∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°， ∴∠C=∠E,又：∠A=∠D,∴△ABC∽△DFE。 11.解：：∠ACD=∠B,∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ABC, 福把 .AC=AD·AB, ∴.AC=12, ∴.AC=2√3（负值舍去）。 12.解：△ABE△ECF, 证明如下： ,在矩形ABCD中， ∠B=∠C=90°， ∴.∠BAE+∠AEB=90°， 又：∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC, ∴.△ABE△ECF, 13.解：，∠ACB=90°，∠ABC=60°， .∠A=30°，.AB=2BC=4cm, :D为BC的中点， ∴BD=CD=2BC=1cm, 分两种情况： ①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC, 又.∠B=∠B,△EBDC∽△ABC, D为BC的中点，E为AB的中点， AE=BE=AB=2cm,∴t=2; ②当∠DEB=∠ACB=90时， ∠B=∠B,.△DBE∽△ABC, 参考咨索 六∠BDE=∠A=30,.BE-zBD=0.5cm, .AE=3.5cm,.t=3.5。 综上所述，当以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，t 的值为2或3.5。 第4课时探索三角形相似的条件(2) 1.B2.A3.B4.D5.3 6.证明：在△ABC和△AED中， 2-特2S号-2， AE3.71 體品 又.∠A=∠A,·△ABC∽△AED。 7.证明：，OA=4,OD=3, OC=8,OB=6, 8%音品-8-音 4 8%-8器 :∠AOC=∠BOD, .△AOC∽△DOB。 8.6 9.解：相似。理由如下： Ac=AD·AB铝-是， 又.'∠A=∠A,.△ACD∽△ABC. 10.解：，BC=√3AB=3BD, 战方9器 勰器， 又'∠B=∠B,∴.△ABD△CBA 11.(1)解：AE=2,AC=8, .CE=AC-AE=8-2=6。 ,AB∥CD .∠A=∠DCE,∠ABE=∠D, ∴.△ABE∽△CDE, 铝能即铝名 ∴.AB=4。 (2)证明：，AB=4,AE=2,AC=8, 脂是日般意日 器能 ∠A=∠A, .△ABEC∽△ACB: 12.(1,0)或(-1,0) 第5课时探索三角形相似的条件(3) 1.A2.B3.C4.1:2△ACB 5.(1)12.515(2)128 6.解：(1)不相似。理由如下： 15 数学九年级上册(BS) “指=日瓷-8=日-员 铝-君瓷≠侣，△ABC与AABC不相假： (2)相似。理由如下： “指-骨器号品品。言 ÷号器-瓷.AABCABC. 7.证明：D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， ∴.DE,EF,DF是△ABC的中位线， ∴DE=BC,EF=2AC, DF=合AB, DE BC-EF AC-DF:AB- ∴.△ABCc∽△FDE。 8.B 9.证明：(1)135°2√2 (2)由图可知AB=2,BC=2√2，AC=2√5， DF=√2，EF=2,DE=√I0, g-2,票-2=厄，D0恒 AB2'BC222'AC252’ ÷RS-既-0△DEFn△ACB∠C=∠E 10证明：部-器能 ∴.△ABCC∽△ADE, ∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 又铝-福 ∴.△ABD△ACE。 11.B 12.号3或号，号或号，号 第6课时探索三角形相似的条件(4) 1.C2.D3.A4.D5.(30W5-30)6.8 7.解：设AB=2x,四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=CD=2x,∠BCD=90°， :点E为BC中点，CE=BE=合BC=x, 又，CF=8,∴.DE=FE=EC+CF=x十8， ,.在Rt△CDE中，由勾股定理，可得CE+CD=DE, 即x2十(2x)2=(x十8)2，整理可得x2-4x一16=0， 解得x=2(W5+1),x2=2(1-√5)（舍去）， .AB=2x=4√5+4。 8.B 9.解：如答图，作BE⊥AH于点E,当伞完全打开时， ∠BAC=120°，AH平分∠BAC, ∠BAE=60°，∴∠ABE=30°， AE=2AB=10 cm,BE=10/3 cm, ,BD=CD,∠BDC=90°，∴∠BDE=45°， .'DE=BE=103 cm, ..AD=AE+DE=(10+103)cm, .DH=0.6AH,即AH-(10+103)=0.6AH, .AH=(25+25√3)cm, .最少需要准备(25+25√3)cm长的伞柄。 D 答图 10.(1)证明：∠A=36°，AB=AC,∠ABC=∠C=72°。 又.BD平分∠ABC,.∠DBC=∠ABD=36°， ∴∠A=∠ABD,.AD=BD。 在△ABC与△BDC中，∠A=∠DBC,∠C=∠C, ∴.△ABCo△BDC, 瓷-瓷即Bc=DCAC 又∠A=∠ABD=36°，AD=BD。 △ABC△BDC,AB=AC,0-C-1, ..AD=BD=BC,.'.AD=DC.AC, ·点D是线段AC的黄金分割点。 (2)解：设AD=x,由(1)中的结论，得x2=2(2-x), 即x2+2x-4=0, 解得x1=√5-1，x2=-√5-1（舍去）。 .AD=√5-1。 第7课时相似三角形判定定理的证明(1)】 1.B2.A3A4D5.号6.12 7.解：DE∥BC, 品能 EF∥AB, 贤-器-号 CFBF的值为号. 8解：1：6/6/6小能。 AB=4,BC=8,EF=12, .DE-AB.EF-4X12-6, BC 8 即DE的长为6。 (2)L∥L2∥， 提器=台 16