第二章 第8课时 一元二次方程的应用(1)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第8课时 一元 A基础巩固 ●● 落实课标 1.某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实 践能力，计划在如图所示的长18m、宽12m 的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完 全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周 空白部分为等宽的人行通道。已知学生摊位 区域的总面积为54m2,求人行通道的宽度。 若设人行通道的宽度为xm,则根据题意可列 方程为 A.(18-x)(12-x)=54 18m B.(18-x)(12-2x)=54 C.(18-3x)(12-2x)=54 D.(18-3x)(12-2x)=108 2.如图，某学校计划用26m的围栏靠墙围成一 个面积为80m的矩形小花园（墙长为15m), 则与墙垂直的边x为 A.10m或5m auluuluailu B.8m C.10m D.5 m 3.从正方形铁片中截去2cm宽的一个长方形， 余下的面积是48cm,则原来的正方形铁片的 面积是 ) A.8 cm B.64 cm C.8 cm2 D.64 cm2 4.张大伯家有一块长8m,宽6m 的矩形菜地，现在将这块菜地 6m 长和宽都拓宽xm(如图所示)，xm 如果要使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的 昌那么x的值为 5.《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之 一，奠定了我国传统数学的基本框架.《九章算 术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅 相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形 状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的 ●>4 次方程的应用(1) 对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用 方程思想，设矩形门宽为x尺(1丈=10尺，1 尺=10寸)，则依题意所列方程为 6.如图，矩形ABCD是一块长16m、宽12m的 荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园 EFGH,在花园的外围是宽度相等的小路。要 使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的 宽为多少米？ G B能力提升●● 灵活应用 7.如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充 分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙 的长度为10m),另外三面用栅栏围成，已知 栅栏总长度为18m,设矩形垂直于墙的一边， 即AB的长为xm。若矩形养殖场的面积为 36m,求此时的x的值。 10m x m 0● 8.如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的2倍， 四角各截去一个正方形，制成高是5cm,容积 是500cm3的无盖长方体容器.求这块铁皮的 长和宽。 9.如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块 空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原 空地一边减少了4m,另一边减少了2m,剩余 空地面积为63m,求原正方形空地的边长。 2m 63m2 州4m ●>4 第二章 一元二次方程 C拓展应用●●。 深度思考 10.如图，在矩形ABCD中，AB =10cm,AD=8cm,点P 从点A出发沿AB以2cm/s A>刀 B 的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿 BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达 终点后，P,Q两点同时停止运动，则运动 时，△BPQ的面积是6cm。 11.如图1，要设计一幅宽20cm,长30cm的矩 形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条 的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面 积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设 计每个彩条的宽度？ 30 cm 30 cm 20 cm 20 cm 图1 图2 分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每 个横彩条的宽为2xcm,则每个竖彩条的宽 为3xcm.为更好地寻找题目中的等量关系， 将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2 的情况，得到矩形ABCD。 结合以上分析完成填空.如图2，用含x的代 数式表示： AB= cm, AD- cm, 矩形ABCD的面积为 cm2。 列出方程，并完成本题解答。(5)(2x+3)2-3(2x+3)=0, (2x+3)·2x=0, 五=-号函=0 (6)(x+5-4)(x+5+2)=0, x十1=0，或x+7=0, x1=-1,x2=-7。 8.解：x2-14x+48=0, (x-6)(x-8)=0, x=6,x2=8, 不妨令a=6,b=8, 菱形对角线互相垂直平分， 菱形ABCD的边长=√32+4=5。 1 9.解：(1)-=3x=1 (3)3x(x+2)=2x+4变形得 3x(x+2)-2(x+2)=0。 (x+2)3x-2)=0,解得=-2=号. 10.解：(1)10 (2)由题意，得前n行所有点数的和为2+4十6+…+2(n 2)+2(n-1)+2n=2[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+ =2xnn+1D=n(n+1). 2 (3)不能，理由：假设能为120，则n(n+1)=120, 即元+-120=0，解得=-1±√48L」 2 :n为正整数，∴.前n行的点数和不能为120。 第7课时一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.D3.号-号4.x=0 5.解：x2-3x-1=0, 1十2=3，x1·x2=-1, -子=-3 x1x2 6.解：2x2-5x+1=0, 西十=号函·%=克， (x1-3)(x2-3)=xx2-3x1-3x2十9 =2-3(x1十x2)+9 =29+9=2。 7.B8.25 9.解：设方程x2一(k-1)x-6=0的另一个根是a, k的值为0，方程的另一个根为2。 10.解：由题意，得4十-2，函=-号。 (1)x十x2=(十x2)2-2x1x2 =(分)”-2x(-)=9 参考苔宋 13 (2)+4=西十西)2-2红五= =13 x1 x2 3 6 2 (3+后-3五=-3x(-)=头 11.(1)证明：，△=(m-2)2-4(2m-8)=m2-12m+36=(m -6)2≥0， .无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)解：①平行四边形AB,CD是菱形，AB=AD, .△=0，即(m-6)2=0,解得m=6, 方程化为x2一4x十4=0，解得x=x2=2, 菱形的边长为2。 ②设AD=a, AB=3,且AB,AD的长是方程x2-(m-2)x十2m-8= 0的两个实数根。 .3+a=m-2,3a=2m-8, ∴.消去m,得a=2,即AD=2, ∴.平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2×(2十3) =10。 12.解：(1)方程有实数根，.△≥0， .(2m-1)2-4X1×(m2-1)≥0， 解得m≤号 (2)方程的两实数根分别为，2， .1+x2=-2m十1,2=m2-1, x十x=9, .(c1十x2)2-2x1x2=9, (-2m+1)2-2(m2-1)=9, 解得m=3或m=一1， :m≤号m=-1. 第8课时一元二次方程的应用(1) 1.C2.B3.D4.25.x2+(x十6.8)2=102 6.解：设小路的宽为xm,则矩形花园的长为(16一2x)m,宽为 (12-2x)m,根据题意， 得(16-2(12-20)=合×16×12， 整理，得x2-14x十24=0， 解得x=2,x2=12(不符合题意，舍去)。 答：小路的宽为2m。 7.解：栅栏总长度为18m, AB的长为xm, .BC的长为(18-2x)m, 根据题意，得x(18一2x)=36, 整理，得x2-9x十18=0， 解得G=3,x2=6。 当x=3时，18-2x=18-2×3=12>10, 不符合题意，舍去； 当x=6时，18-2x=18-2×6=6<10,符合题意。 答：此时的x的值为6。 11 数学九年级上册(BS) 8.解：设这块铁皮的宽是xcm, 则长是2xcm, 根据题意， 得5(x-10)(2x-10)=500, 解得x1=15,x2=0(舍去)， .2x=30, 答：这块铁皮的长是30cm,宽是15cm。 9.解：设原正方形空地的边长为xm, 根据题意得(x-4)(x一2)=63， 整理，得x2一6x十8=63， 配方，得(x-3)2=64,x一3=土8， 解得=一5（不合题意，舍去）， x2=11。 答：原正方形空地的边长为11m。 10.2s或3s 11.(20-6x)(30-4x)(24x2-260x+600) 解：根据题意，得24x-260x+600=(1-号)×20×30， 整理，得6x2-65x十50=0， 解方程，得西=号=10（不合题意，舍去）。 则2x=3z=号 答：每个横、竖彩条的宽度分别为号m,号cm。 第9课时一元二次方程的应用(2) 1.10255x 2.(100+20x)3.(3+x)(4-0.5x)=15 4.解：设每千克水果应涨价x元， 根据题意，得(500一20x)(10+x)=6000, 整理，得x2一15x十50=0， 解得x1=5,x2=10。 要使顾客得到实惠，应取x=5。 答：每千克水果应涨价5元。 5.解：(1)根据题意，得20十6×2=32（件）。 答：平均每天销售数量为32件。 (2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40一x)元，平均每天 可售出(20+2x)件， 根据题意，得(40一x)(20+2x)=1200, 整理，得x2一30x十200=0， 解得x1=10,x2=20, 又要让顾客得到更大实惠： .x=20。 答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润 为1200元。 6.B 7.解：设每吨水泥降低x元，根据题意，得 (号x+16(290-250-x）=720, 解得x=x2=10, 则售价为290一10=280（元）。 答：每吨水泥的实际售价定为280元时，每天的销售利润平 均可达720元。 8.解：(1)0.2或0.5 (2)该奶茶饮料店铺每天卖出该种奶茶的利润不能达到600 元。理由如下：当该种奶茶的售价降低x元时，每杯奶茶的 销售利润为(1一x)元，每天可售出(300十0×100)杯，根据 题意，得(1-x)(300+0号×10)=600， 整理，得10x2一7x十3=0， .△=(-7)2-4×10×3=-71<0， .该方程没有实数根， .该奶茶饮料店铺每天卖出该种奶茶的利润不能达 到600元。 9.解：(1)设每件售价降低x元，根据题意，得 (60-40-x)(20+号×10)=(60-40)×20， x1=0,x2=10, 60-10=50(元)。 答：售价应定为50元。 (2)设该商品打x折销售，根据题意，得 62.5×0≤50， x≤8。 答：该商品至少需打八折销售。 微专题2一元二次方程的综合应用 1.(1)600(1-x)2=384(2)(1+x)2=49 2.解：设绿化面积年平均增长率为x 依题意，得300(1十x)2=363, 解得x1=0.1,x2=-2.1(舍去)， 所以绿化面积年平均增长率为10%。 3.64.x(x-1)=905.(30-x)(20-x)=551 6.(10-2x)(6-2x)=327.270或280 8.20或109.79或9710.26 11.解：，点P在一次函数y=一2x十3的图象上， .可设P(a,-2a+3)(a>0), 由题意得a·(-2a十3)=1， 整理得2a2-3a+1=0, 解得a=1a=分 .-2a+3=1或-2a+3=2。 综上所述，当P1,1)或（分2）时， 矩形OCPD的面积为1。 12.解：设运动时间为ts,根据题意，知BP=AB一AP=6一t, BQ=2t。根据三角形的面积公式， 得7PB·BQ=8, 2×2(6-)=8,即2-61+8=0，