2.4 一元二次方程的应用 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 同步练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．每年的月日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（    ） A． B． C． D． 2．随着人形机器人成为科技圈热门话题，某数码专营店销售一款家用陪伴人形机器人，2月的销售额为48000元，4月的销售额为243000元，则2月到4月该款人形机器人销售额的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长、宽的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 6．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B． C．或 D． 8．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 9．某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为______． 10．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x，已知这种药品原来每盒的价格是60元，则第一次降价后每盒的价格是________元，第二次降价后每盒的价格是________元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元，则可列出方程：________． 11．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当时，则______．    12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 13．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．    三、解答题 14．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 15．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地的两侧分别搭建宽度为的临时舞台矩形和矩形（阴影部分）．若舞台中间矩形（空白部分）的面积为，求正方形绿地的边长． 16．阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． (1)若三角数是55，则______； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； (3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 18．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D B D C B 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人为等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：， 解得：（舍去），， 故选：． 2．【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，根据增长率问题的基本公式，设出月平均增长率，列方程求解即可得到结果． 【详解】解：设该款机器人销售额的月平均增长率为， 根据题意得， 解得（舍去）或， 即月平均增长率为． 3．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设小道的宽为，将小道平移后根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为，平移后的种植面积如图阴影所示， 则种植部分的长为，宽为， 由题意得：． 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意，每件衬衫降价x元后，每件盈利为元，每天销售量增加件，即件，每天盈利为每件盈利与销售量的乘积，且等于1200元． 【详解】解：设每件衬衫降价x元， ∵每件盈利，销售量，每天盈利，且每天盈利， ∴， 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】过E作于点M，当运动时间为秒时，，利用勾股定理解，可得关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过E作于点M， 由题意知，当运动时间为秒时，，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，， 的长为时点E的运动时间是或， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．本题作答方法不唯一，也可以通过分类讨论求解． 8．【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据在1个主干上的主干为1、枝干为和小分支的数量之和是个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程． 10．【答案】 ； ； ． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程． 【详解】解：第一次降价后每盒价格为元， 则第二次降价后每盒价格为元， 即． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后商品的售价方程，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于48.6即可． 11．【答案】10 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设第层小黑点数为，由题意得：，再用x减去1即可求得n． 【详解】解：设第层小黑点数为， 由题意得： 化简得： 解得：（舍）， ∴， 故答案为：10． 12．【答案】11 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 13．【答案】30 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 14．【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 15．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的面积，解一元二次方程，掌握正方形的四边相等是解题的关键，设正方形的边长为，根据正方形的性质可知，再求出矩形的边长，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， 舞台中间矩形（空白部分）的面积为， ， 解得：（舍）， 正方形绿地的边长． 16．【答案】(1)10 (2) (3) 不能，理由如下： 假设能为120，则，即 解得：， ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可； （2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案； （3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：10； （2）解：由题意得：前n行所有点数的和为 ； （3）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 17．【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 18．【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $