第二章 第6课时 一元二次方程的解法—因式分解法-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第6课时 一元二次方程的解法一因式分解法 A基础巩固 ●● 落实课标 (4)3y(y-1)=2y-2。 1.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 ( A.(2x-2)(3x-4)=0, .2x-2=0或3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1, .x+3=0或x-1=1 B能力提升。。。 灵活应用 C.（x-2)(x-3)=2×3, 5.若方程x2一7x十10=0的两根是等腰三角形 ∴.x一2=2或x一3=3 的底边长和腰长，则这个三角形的周长是 D.x(x+2)=0,.x十2=0 2.用因式分解法解一元二次方程x(x一3)= A.9 B.12 x一3时，原方程可化为 C.9或12 D.不能确定 A.(x-1)(x-3)=0B.(x十1)(x-3)=0 6.若x=1是关于x的一元二次方程x2十x十m2 C.x(x-3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 十m一2=0的解，则m的值为 3.方程5x(x+3)=3(x+3)解为 7.用因式分解法解下列方程： (1)x2-4x+3=0; 4.用因式分解法解方程： (1)5x2=7x; (2)x2+4x-32=0; (2)(x+1)2=3x+3; (3)(3-y)2+y2=9; (3)4x(2x+1)=3(2x+1); ●>36● 第二章一元二次方程 (4)x2-4x-21=0; (3)用因式分解法解方程：3x(x十2)=2x+4。 (5)(2x+3)2=3(2x十3)； C拓展应用●。。 深度思考 10.阅读材料，解决问题。 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经 常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画 (6)(x+5)2-2(x+5)-8=0. 点或用小石子来表示数，比如，他们研究过 1,3,6,10,…,由于这些数可以用图中所示的 三角，点阵表示，他们就将每个三角点阵中所 有的，点数和称为三角数。 8.若a,b是菱形ABCD的两条对角线的长，且 a,b是一元二次方程x2-14x十48=0的两个 ●●●●●● 根，求菱形ABCD的边长。 第1个第2个第3个 第n个 则第n个三角数可以用1十2+3+…+(n一 2)十(n-1)十n=nn十1D(n≥1且为整教) 2 来表示。 (1)若三角数是55，则n= (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换 为2,4,6，…，2m,请用含n的式子表示前 n行所有点数的和； (3)在(2)中的三角点阵中前n行的点数的和 9.下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔 能为120吗？如果能，求出n,如果不能， 细阅读，并完成相应的任务. 请说明理由。 解方程：(3x-1)2=2(3x-1). 解：方程两边除以(3x-1),得3x一1=2，第一步 移项，合并同类项，得3x=3,第二步 系数化为1，得x=1.第三步 任务： (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)此题的正确结果是 ●>37数学九年级上册(BS) 6>26+1>2+10>号 4 12.(1)2√5 .(b+1)2+1>3.25, 即a2+6+3>3.25。 (2)证明：mx+2x+2n=0, 第5课时一元二次方程的解法一公式法 这里a=m,b=2t,c=2, 1.C2.D3.C4.有两个不相等的实数根5.1926.2 7.解：(1)x2-3x-5=0,a=1,b=-3,c=-5, 六A=(2)2-4m·2n=4-2mn, .△=9一4×1×(-5)=29>0， x=3±/2四，=3+y2四 2 9,=329 .△=m2+n2-2mn=(m-n)2≥0， (2)2x2-10x-3=0,∴.a=2,b=-10,c=-3, “关于x的“菱系一元二次方程”m2十2x十号n=0必有 ∴.△=(-10)2-4×2×(-3)=124>0， =10±124_5±3I 实数根。 2×2 2 第6课时 一元二次方程的解法一因式分解法 x=5+31 3 1.A2.A3.4=号，西=-3 2 2=5-3红 2。 (3)-2x2+3x-6=0, 4.解：(1)5x2-7x=0, .a=-2,b=3,c=-6, x(5x-7)=0, ∴.△=32-4×(-2)×(-6)=-39<0， a=0五=号。 .原方程无解。 (2)(x十1)2=3(x+1), (4).x2-2x十3-2=0， (x+1)2-3(x+1)=0, 即x2-2x+1=0, (x+1)(x-2)=0, ∴.a=1,b=-2,c=1, .x1=-1,x2=2。 .△=(-2)2-4×1X1=0。 (3)(4x-3)(2x+1)=0, .x1=x2=1。 ∴.4x-3=0或2x+1=0。 8.B9.k≠-1 10.(1)证明：，△=b-4ac=(3k+1)2-4(2k+2k)=9k+6k ==- +1-82-8=k2-2k+1=(k-1)2≥0， (4)3y(y-1)=2y-2, .无论k取何值，方程总有实数根。 3y(y-1)-2(y-1)=0, (2)解：①若a=6为底边长，则b,c为腰长， (y-1)(3y-2)=0, 则6=c,则△=0，.(k-1)2=0,解得=1。 此时原方程化为x2-4x十4=0， 别-1%-号. ∴x1=x2=2,即b=c=2。此时△ABC三边长为6,2,2，不 5.B6.0或-1 能构成三角形，故舍去； 7.解：(1)x2-x-3x+3=0, ②若a=6为腰长，则b,c中有一个为腰长，设b=a=6, x(x-1)-3(x-1)=0, 代入方程，得62-6(3k+1)+2+2k=0,解得=3或5， (x-1)(x-3)=0, 则原方程化为x2-10x+24=0或x2-16x+60=0,解得 x-1=0,或x-3=0, x1=4,x2=6或x1=6,x2=10, .x1=1,x2=3。 即b=6,c=4,或b=6,c=10, (2)x2+8x-4x-32=0, 此时△ABC三边长为6,6,4或6,6,10，能构成三角形。 x(x+8)-4(x+8)=0, =3或5。 (x+8)(x-4)=0, 11.解：(1)换元 x十8=0，或x一4=0， (2)设x2+x=y,则原方程可化为y2+y-6=0, .x1=一8，x2=4。 解得yM1=-3,y2=2。 (3)(y-3)2+y2-9=0, 当y=一3时，x2十x=-3,即x2+x+3=0. (y-3)2+(y-3)(y十3)=0， :4=6-4ac=1-4×1×3=-11<0, 2y(y-3)=0, x2十x十3=0无实数根。 .y1=0,y2=3。 当y=2时，x2+x=2, (4)(x-7)(x+3)=0, 即x2十x-2=0。解得x1=一2，x2=1。 x-7=0,或x十3=0， .原方程的解为x=一2，x2=1。 .x1=7,x2=-3。 10 参考咨案 (5)(2x+3)2-3(2x+3)=0, 13 (2x+3)·2x=0, (2)+4=✉十-2红西= 13 x xC2 3 Γ6 ∴=-号=0。 2 (6)(x+5-4)(x+5+2)=0, (3)x+x号-3x=4 =-3×(-)- x十1=0，或x十7=0， 11.(1)证明：.△=(m-2)2-4(2m-8)=m2-12m+36=(m x1=-1,x2=-7。 -6)2≥0， 8.解：x2-14x+48=0, .无论m取何值，方程总有两个实数根； (x-6)(x-8)=0, (2)解：①平行四边形AB,CD是菱形，AB=AD, 工=6，x2=8, .△=0，即(m-6)2=0,解得m=6, 不妨令a=6,b=8, 方程化为x2一4x+4=0,解得x1=x2=2, 菱形对角线互相垂直平分， 菱形的边长为2。 菱形ABCD的边长=√32+4=5。 ②设AD=a, :AB=3,且AB,AD的长是方程x2-(m-2)x十2m-8= 9.解：(1)一 西=号4=1 0的两个实数根。 (3)3x(x+2)=2x+4变形得 ∴.3+a=m-2,3a=2m-8, 3x(x+2)-2(x十2)=0。 .消去m,得a=2,即AD=2, (+2)(3x-2)=0,解得=-26=号 .平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2X(2+3) =10。 10.解：(1)10 12.解：（1)方程有实数根，.△≥0， (2)由题意，得前n行所有点数的和为2+4+6+…+2(n ∴.(2m-1)2-4×1×(m2-1)≥0， 2)+2(n-1)+2n=2[1+2+3+…十(n-2)+(n-1)+n] =2x(,t1D=n(m+1). 解得m≤子 2 (2)方程的两实数根分别为，x2, (3)不能，理由：假设能为120，则n(n十1)=120， x1十x2=-2m十1，x1x2=m2-1, 即+m-120=0,解得n=一1±48」 2 x十x=9, n为正整数，∴.前n行的点数和不能为120。 .(x1+x2)2-2xx2=9, 第7课时一元二次方程的根与系数的关系 (-2m+1)2-2(m2-1)=9, 解得m=3或m=-1, 1.A2.D3告-日4x=0 :m≤号m=-1. 5.解：x2-3x-1=0, 1十x2=3,x1·x2=-1, 第8课时一元二次方程的应用(1) 十题-月3， 1.C2.B3.D4.25.x2+(x+6.8)2=102 xx2 6.解：设小路的宽为xm,则矩形花园的长为(16一2x)m,宽为 6.解：2x2-5x十1=0， (12-2x)m,根据题意， 得(16-2x)(12-2)=号×16×12， (x1-3)(x2-3)=x1x2-3x1-3x2+9 整理，得x2-14x十24=0， =x1x2-3(x十x2)+9 解得=2，x2=12(不符合题意，舍去)。 =含-9+9=2. 答：小路的宽为2m。 7.解：栅栏总长度为18m, 7.B8.25 AB的长为xm, 9.解：设方程x2一(k-1)x一6=0的另一个根是a, .BC的长为(18-2x)m, 六03=-1”解得a-2, 根据题意，得x(18一2x)=36, 1-3a=-6, k=0. 整理，得x2一9x十18=0， ∴k的值为0，方程的另一个根为2。 解得x1=3,x2=6。 10,解：由题意，得十=函=-是。 7 当x=3时，18一2x=18-2×3=12>10, (1)x+x2=(x1十x)2-2xx 不符合题意，舍去； =(合)-2x(-)=9 当x=6时，18-2x=18-2×6=6<10,符合题意。 答：此时的x的值为6。 11