第二章 第1课时 认识一元二次方程(1)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第二章一元二次方程 第1课时认识一元二次方程(1) A基础巩固●· 落实课标 8.下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是 一元二次方程。 1.下列是一元二次方程的是 A.x2-2x-3=0 B.2x+y=5 (1)2x+3y2=9; C多+= (2)(x-3)(x-3)=x2-x; D.x+1=0 x (3)3(x-2)(x-1)=0; 2.关于x的方程3x2一2=4x中，二次项系数和 -2=0; 一次项系数分别是 ( ) ④ A.3,-2 B.3,4 (5)3x2+2y+2=2y. C.3,-4 D.-4,-2 3.已知方程(a-2)x2+ax=0是关于x的一元 二次方程，则a的取值范围是 A.a≠0 B.a≠2 9.已知关于x的方程(m一1)xm+1-2x十3=0 C.a=2 D.a=0 是一元二次方程，求m的值。 4.我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》 中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长 一十二步。问阔及长各几步。”翻译成数学问 题是一块矩形田地的面积为864平方步，它的 宽比长少12步。问它的宽与长各几步。若设 10.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并 宽为步，则可列出方程 ( ) 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： A.x(x-6)=864 B.x(x-12)=864 (1)2x2+5=4x; C.x(x+6)=864 D.x(x+12)=864 5.如图，在宽为20m、长 为32m的矩形地面上 修筑同样宽的道路（图 (2)x(x+3)=3x-8; 中阴影部分)，余下部分种植草坪。要使草坪 的面积为540m,设道路的宽为xm,则可列 方程为 6.当m 时，关于x的方程(m-1)x2十 (3)(3x+1)(x-1)=-1。 (m+1)x十3m-1=0是一元二次方程。 7.若方程2xm-2十x=3是关于x的一元二次方 程，则m的值为一。 ●>26● 第二章一元二次方程 B能力提升 ●● 灵活应用 18.若x2a+6-2xa-b十3=0是关于x的一元二次 方程，求a,b的值。张敏是这样考虑的：满足 11.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x十 2a+b= m2一1=0的常数项为0，则m的值是 条件的a,b必须满足 ,你说张敏的 a-b=2 12.已知两个连续正整数的积为182，设较小的 这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余 正整数为x,则可列方程为 满足的条件。 将其化成一般形式为 13.若关于x的一元二次方程(m-2)x2-x十 m2一4=0的常数项为0，则m的值为 14.下列方程：①2x2一mx一1=0(m为常数)； ②421，@x+y=0:0x+3- (x-3)2;⑤mx2-3x十2=0(m为常数)； ⑥(m2+1)x2+(2m-1)x+2-m=0(m为 常数)。其中一定是一元二次方程的有 (填序号)。 15.关于x的一元二次方程(m一4)x2+m2x= 16x+5化为一般形式后不含一次项，则m的 19.已知关于x的方程(-5)x2+(2-6k+ 值为 5)x-2=0。 A.0 B.±4 C.4 D.-4 (1)当k= 时，此方程为一元一次方 16.若关于x的方程(m十3)xm-1+2(m+3)x 程，此方程的根为 5=0是一元二次方程，求m的值。 (2)当k为何值时，此方程为一元二次方程？ 请写出这个一元二次方程的二次项系数、 一次项系数和常数项。 C拓展应用··· 深度思考 17.【数学文化】我国古代数学著作《九章算术》中 有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅 相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是：“有 一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长 为1丈(1丈=10尺)，那么门的高和宽各是 多少？”设门的宽为x尺，根据题意可列方程 为 ●>27●第10课时《特殊平行四边形》单元复习 1.C2.D3.A4.AC⊥BD(答案不唯一) 5.证明：·四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D,AB=AD, ,AE⊥BC,AF⊥CD, ∴.∠AEB=∠AFD=90° ∠AEB=∠AFD 在△ABE与△ADF中， ∠B=∠D LAB-AD ∴.△ABE≌△ADF(AAS)。 6.87.(3√5,6)》 8.解：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90°， .∠BAE=∠CDF, ∴.△ABE≌△DCF(ASA), .AE=DF=2√5， BE=2,∠B=90°， ∴.AB=√AE-BE=√(25⑤)-22=4。 9.解：四边形ACEF是矩形，理由如下： .DE=AD,DF-=CD, .四边形ACEF是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， ..AD-CD, ..AD+DE=CD+DF, 即AE=CF, .四边形ACEF是矩形。 1o.告 11.(1)证明：如答图1， ,在正方形ABCD中， ∠BCD=90°， ∴.∠FBC=90°-∠2， BF⊥DE, .∠DFB=90°， ∴∠CDF=90°-∠1 答图1 ∠1=∠2，.∠FBC=∠CDF。 (2)解：CG+DF=BF。理由如下： 如答图2，过C作CN⊥CF交BF于点N, .'CN⊥CF, .∠FCN=90°， 即∠FCD+∠DCN=90°。 ,在正方形ABCD中， N ∠BCD=90°， C 即∠BCN+∠NCD=90°， 答图2 BC=CD, ∴∠BCN=∠DCF, 又(1)中已证∠FDC=∠CBF, .△BNC≌△DFC(ASA), 参考咨案 ∴.CN=CF :∠FCN=90°， ∴△FCN是等腰直角三角形， ∴.∠FNC=45°，即∠FNC=∠NBC+∠BCN=45°， :∠BCN=∠DCF,∠NBC=∠FDC, ∴.∠FDC+∠DCF=45, .∠CFE=45°， :点C关于直线DE的对称点是点G, .CG⊥DE,FC=FG, ∴∠FCG=90°-∠CFE=45°， ∴∠FGC=45°，.∠CFG=90, ·△FCG是等腰直角三角形， ∴.CG=√FC+FG=√EFC。 ,△FCN是等腰直角三角形， ∴.FN=√2FC, .CG=FN。 :△BNC≌△DFC, ∴.BN=DF, ∴.BF=BN+NF=DF+CG 第二章 一元二次方程 第1课时认识一元二次方程(1) 1.A2.C3.B4.D5.(32-x)(20-x)=540 6.≠17.4 8.解：(1)不是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)是。 9.解：：关于x的方程(m-1)x+1-2x十3=0是一元二次方 程， ∫m-1≠0，./m≠1， (m2+1=2,m=±1， 解得m=一1。 10.解：①移项，得一元二次方程的一般形式2x2一4x十5=0， 其中二次项系数为2，一次项系数为一4，常数项为5。 (2)去括号、移项、合并同类项，得x2十8=0， 其中二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为8。 (3)去括号、移项、合并同类项，得3x2一2x=0, 其中二次项系数为3，一次项系数为一2，常数项为0。 11.-112.x(x+1)=182x2+x-182=0 13.-214.①⑥15.D 11m-1=2,① 16.解：由一元二次方程的定义可知 m+3≠0，② 由①得m=士3，由②得m≠-3， 所以m=3。 17.x2+(x+6)2=102 18.解：张敏的这种想法不全面。 由x2+b-2x-b十3=0是关于x的一元二次方程，得 12a+b=2'或 a+b-2,或2a+b=2或 a-b=0, (a-b=1, ,或{a-b=2, 12a+b=1或 2a+b=0, a-b=2, (a-b=2。 数学九年级上册(BS) 19.解：(1)，(|k一5)x2十(k2-6k+5)x-2=0是一元一次 方程， ,11k|-5=0, 解得=-5， k2-6k十5≠0， [(-5)2-6X(-5)+5]x-2=0,解得x=30, 故答案为：-5，x=30。 (2),(k一5)x2十(k一6k十5)x一2=0是一元二次方程， .k一5≠0，解得k≠士5， 故答案为：当≠士5时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是|k|-5,一次项系数是k-6k十5，常数 项是一2。 第2课时认识一元二次方程(2) 1.B2.A3.C4.35.66.20257.-18.20269.2 10.解：，a是方程2x2一3x一1=0的一个根， ∴.2a2-3a-1=0, .2a2-3a=1, .a(2a-3)=1, ,∴.2a(2a-3)十1=2×1十1=3。 11.C12.C13.3 14.解：，一个实数根的倒数恰好是它本身， .这个实数根是1或一1， 把x=1代入原方程，得1十m十1十号=0， 解得m=一多； 把x=-1代入原方程，得1一(m十1)+号-0， 1 5 解得m=2,故m的值为2或-？ 15.x2+(x+1)2=72x2+x-24=0 (1)解：不能。因为三角形的边长不可能小于或等于0。 (2) 工 1 2 x2+x-24 -22 -18 -12 一4 6 4<x<5, (3)44 16.解：将x=1,x=-3代入ax2+bx-3=0,得 1a+b-3=0, （a=1, 解得 9a-3b-3=0, b=2, .x2+2x-3=0, .a,b的值分别为1,2；这个一元二次方程的一般形式为x 十2x-3=0。 17.解：(1)，实数a是方程x2十4x十1=0的根， ∴.a2+4a+1=0,.2a2+8a+2=0, ∴.2a2+8a=-2, .2a2+8a+2025=-2+2025=2023。 21-a-合=1-， a, 8 .a2+4a+1=0,.a2+1=-4a, 1-a-日=1-2e=1+4=5. a 18.解：.a是方程x2+2025x-1=0的一个根， .∴.a2+2025a=1, .原式=a(a2-1)+2025a2+1 =a3+2025a2-a+1 =a(a2+2025a)-a+1 =a-a十1 =1。 第3课时一元二次方程的解法一配方法(1) 1.C2.A3.A4.(1)36(2)9(3)164(4)42 5.解：(1)x2-4x十4=4， (x-2)2=4, x-2=士2， .x1=4,x2=0。 (2)(x-5)2=7, x-5=±√/7， .x1=5十√7，x2=5-√7。 (3)(x+3)2=8, x+3=士2√2， .x1=-3+2√2，x2=-3-2√2。 (4)x2-8x=9, (x-4)2=25, x-4=士5， ∴x1=9,x2=一1。 5x-- 4, 3 2, “G=3+5,=3-5 2,x2= 2 (6)x2-8x=1, x2-8x+16=17, x-4=士√/17， .石=4+√17，x2=4-√17。 6.m≥1 7.解：.x2-6x十5=0，.(x-3)2=4, .x一3=士2，解得x1=5,x2=1, 根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第 三边可知，需舍去x2=1,即第三边长为5， .三角形的周长为5十5+6=16。 8.解：a2++c2+50=6b+8c+10a, ∴.a2+b2+c2-10a-6b-8c+50=0, .a2-10a+25+2-6b+9+c2-8c+16=0, .(a-5)2+(b-3)2+(c-4)2=0, .(a-5)2=0,(b-3)2=0,(c-4)2=0, 解得a=5,b=3,c=4, .三角形的三边长分别为3,4,5。