2.1认识一元二次方程 课后练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 · 2.1 认识一元二次方程 课后练习题 （北师大版2024审定新版 · 九年级数学上册 · 2025—2026学年） （建议时间：90分钟 满分：100分） 姓名：______________ 班级：______________ 学号：______________ 得分：______________ 温馨提示：本卷全部题目均由教师依据2024审定新版北师大版教材自研改编，共三道大题、20小题。请写出必要的演算步骤。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．x²＋2y＝1 B．x³－2x＝3 C．x²＋1/x＝2 D．x²－2x＝3 2．把一元二次方程3x²－5＝2x化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．3，－5，2 B．3，－2，－5 C．3，2，－5 D．3，－2，5 3．若关于x的方程(m－1)x²＋2x－3＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ） A．m≠1 B．m＝1 C．m≠0 D．m＞1 4．下列各数中，是一元二次方程x²－3x＋2＝0的根的是（ ） A．0 B．1 C．3 D．4 5．某文创店一月份营业额为50万元，第一季度总营业额为182万元。设二、三月份营业额的月平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（ ） A．50(1＋x)²＝182 B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)²＝182 C．50(1＋2x)＝182 D．50＋50(1＋x)²＝182 6．根据下表中所列的数值，判断方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ） x 3.24 3.25 3.26 ax²＋bx＋c －0.02 0.01 0.03 A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26 7．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式后，二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别是（ ） A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－3，－10 D．1，3，－10 8．班级毕业季，每位同学都要给本班其他同学写一份毕业留言。若全班有x名同学，共写了2550份留言，则下列所列方程正确的是（ ） A．x(x－1)＝2550 B．x(x＋1)＝2550 C．x(x－1)/2＝2550 D．x²＝2550 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．方程2x²－1＝ x化为一元二次方程的一般形式是________________。 10．已知x＝2是方程x²＋kx－2＝0的一个根，则k＝________。 11．若关于x的方程(m－2) ＋3x－1＝0是一元二次方程，则m＝________。 12．一个矩形花圃的长比宽多3 m，面积为28 m²。设宽为x m，则根据题意可列方程为________________（化为一般形式）。 13．已知x＝1是一元二次方程x²＋mx＋n＝0的一个根，则代数式m²＋2mn＋n²的值为________。 14．请写出一个二次项系数为2，且有一个根为x＝1的一元二次方程：________________（写出一个即可）。 三、解答题（本大题共6小题，共58分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15．（本题满分8分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）3x(x－2)＝2(x＋1)；（4分） （2）(2x－1)(x＋3)＝x²＋5。（4分） 16．（本题满分8分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式。 （1）一个直角三角形的斜边长为13 cm，两条直角边的差为7 cm。设较短直角边长为x cm，求这个直角三角形较短直角边的长；（4分） （2）某印刷厂1月份印刷教辅书籍50万册，第一季度共印刷182万册。求2、3月份印刷量的月平均增长率x。（4分） 17．（本题满分10分）已知关于x的方程(m²－1)x²＋(m－1)x＋3＝0。 （1）当m为何值时，原方程是一元一次方程？（5分） （2）当m为何值时，原方程是一元二次方程？（5分） 18．（本题满分10分）已知x＝3是一元二次方程x²－2ax＋3＝0的一个根。 （1）求a的值；（5分） （2）求代数式a²－2a＋1的值。（5分） 19．（本题满分10分）如图，在一块长为20 m、宽为15 m的矩形绿地内，修建一条宽度相同的十字形道路（道路互相垂直），剩余部分的绿地面积为252 m²。设道路宽为x m。 图19 矩形绿地与十字形道路示意图 （1）用含x的代数式表示剩余绿地的总面积；（4分） （2）根据题意列出关于x的方程，并化为一般形式。（6分） 20．（本题满分12分）完成下列探索过程。 （1）填写下表：（4分） x 2.0 2.1 2.2 2.3 x²＋2x－9 （2）根据表格，说出方程x²＋2x－9＝0的一个正数解x的取值范围；（4分） （3）进一步探索：把这个正数解精确到0.1，估计它约为多少？并说明理由。（4分） 参考答案与详细解析 （教师用 · 北师大版2024审定新版 · 九年级上册 · 2.1 认识一元二次方程） 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B B B A A 考点 一元二次方程识别 一般形式 二次项系数条件 方程的根 增长率列方程 解的估算 化一般形式 留言问题列方程 选择题逐题解析 1．【答案】D 【解析】一元二次方程须同时满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程。选项A含两个未知数x、y；选项B最高次数为3；选项C是分式方程；只有D符合。 2．【答案】B 【解析】移项得3x²－2x－5＝0，二次项系数为3，一次项系数为－2，常数项为－5。注意项的符号要连同前面的符号一起带走。 3．【答案】A 【解析】一元二次方程必须保证二次项系数不为0，即m－1≠0，故m≠1。 4．【答案】B 【解析】把各选项依次代入检验：当x＝1时，左边＝1－3＋2＝0＝右边，故x＝1是方程的根。 5．【答案】B 【解析】一月份营业额为50万元，二月份为50(1＋x)万元，三月份为50(1＋x)²万元。第一季度总营业额是三个月之和，故列方程50＋50(1＋x)＋50(1＋x)²＝182。 6．【答案】B 【解析】当x＝3.24时，ax²＋bx＋c＝－0.02＜0；当x＝3.25时，ax²＋bx＋c＝0.01＞0。函数值由负变正，说明在3.24与3.25之间必有一个x使函数值为0，即方程的解在3.24＜x＜3.25范围内。 7．【答案】A 【解析】去括号得x²＋2x＝5x－10，移项合并同类项得x²－3x＋10＝0，故a＝1，b＝－3，c＝10。 8．【答案】A 【解析】全班x名同学，每位同学要给其他(x－1)人各写一份留言，故共写x(x－1)份，列方程x(x－1)＝2550。注意留言是相互赠送，不是两人之间只写一份，因此不要除以2。 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．【答案】2x²－ x－1＝0 【解析】移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，按x的降幂排列即可。 10．【答案】－1 【解析】把x＝2代入方程，得4＋2k－2＝0，即2＋2k＝0，解得k＝－1。 11．【答案】－2 【解析】由一元二次方程的定义，须满足|m|＝2且二次项系数m－2≠0。由|m|＝2得m＝±2；由m－2≠0得m≠2，故m＝－2。 12．【答案】x²＋3x－28＝0 【解析】宽为x m，则长为(x＋3)m，由矩形面积公式得x(x＋3)＝28，整理为一般形式x²＋3x－28＝0。 13．【答案】1 【解析】把x＝1代入方程，得1＋m＋n＝0，即m＋n＝－1。而m²＋2mn＋n²＝(m＋n)²＝(－1)²＝1。本题利用整体代入，无需分别求出m、n。 14．【答案】答案不唯一，如2x²－2x＝0 【解析】设方程为2x²＋bx＋c＝0，因为x＝1是它的根，所以2＋b＋c＝0，只需任取一组满足该条件的b、c即可。例如取b＝－2，c＝0，得2x²－2x＝0。 三、解答题（共58分） 15．（本题满分8分） 解：（1）去括号，得3x²－6x＝2x＋2。……1分 移项、合并同类项，得3x²－8x－2＝0。……2分 二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－2。……4分 （2）去括号，得2x²＋6x－x－3＝x²＋5。……5分 移项、合并同类项，得x²＋5x－8＝0。……6分 二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为－8。……8分 16．（本题满分8分） 解：（1）设较短直角边长为x cm，则较长直角边为(x＋7)cm。……1分 根据勾股定理，得x²＋(x＋7)²＝13²。……2分 整理：x²＋x²＋14x＋49＝169， 一般形式为2x²＋14x－120＝0，即x²＋7x－60＝0。……4分 （2）一月份印刷50万册，二月份印刷50(1＋x)万册，三月份印刷50(1＋x)²万册。……5分 根据题意，得50＋50(1＋x)＋50(1＋x)²＝182。……6分 两边同除以50并整理：1＋(1＋x)＋(1＋x)²＝3.64， 展开：3＋3x＋x²＝3.64， 一般形式为x²＋3x－0.64＝0（或写成25x²＋75x－16＝0）。……8分 17．（本题满分10分） 解：（1）若原方程是一元一次方程，须满足： 二次项系数为0，且一次项系数不为0。……1分 由m²－1＝0，得m＝±1。……2分 又m－1≠0，即m≠1。……3分 故当m＝－1时，原方程是一元一次方程。……5分 （2）若原方程是一元二次方程，须满足二次项系数不为0。……6分 即m²－1≠0，……8分 解得m≠±1。……10分 18．（本题满分10分） 解：（1）∵ x＝3是方程x²－2ax＋3＝0的根，……1分 ∴ 把x＝3代入方程，得9－6a＋3＝0。……3分 即12－6a＝0，解得a＝2。……5分 （2）由（1）知a＝2，……6分 ∴ a²－2a＋1＝2²－2×2＋1＝4－4＋1＝1。……10分 19．（本题满分10分） 解：（1）将两条道路分别向矩形边缘平移，剩余绿地恰好拼成一个新的矩形，……1分 其长为(20－x)m，宽为(15－x)m，……2分 ∴ 剩余绿地的总面积为(20－x)(15－x) m²。……4分 （2）根据题意，得(20－x)(15－x)＝252。……6分 去括号：300－20x－15x＋x²＝252，……7分 整理：x²－35x＋300－252＝0，……8分 一般形式为x²－35x＋48＝0。……10分 20．（本题满分12分） 解：（1）依次计算：……2分 当x＝2.0时，x²＋2x－9＝4＋4－9＝－1； 当x＝2.1时，x²＋2x－9＝4.41＋4.2－9＝－0.39； 当x＝2.2时，x²＋2x－9＝4.84＋4.4－9＝0.24； 当x＝2.3时，x²＋2x－9＝5.29＋4.6－9＝0.89。 表格第二行依次填入：－1，－0.39，0.24，0.89。……4分 （2）由表格可知：当x＝2.1时，x²＋2x－9＝－0.39＜0；……5分 当x＝2.2时，x²＋2x－9＝0.24＞0。……6分 ∴ 方程x²＋2x－9＝0的一个正数解满足2.1＜x＜2.2。……8分 （3）进一步在2.1与2.2之间取值估计：……9分 当x＝2.16时，x²＋2x－9≈4.6656＋4.32－9＝－0.0144＜0； 当x＝2.17时，x²＋2x－9≈4.7089＋4.34－9＝0.0489＞0。 可见方程的解在2.16与2.17之间，更靠近2.2一端，……11分 故把这个正数解精确到0.1时，约为2.2。……12分 —— 试卷及参考答案结束 —— 学科网（北京）股份有限公司 $