第一章 微专题1 中点模型-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 微专题1 A基础巩固 ●● 落实课标 1.已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次 连接这个四边形的四边中点所得的四边形是 ( A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的 中点。若∠B=36°，则∠BCD的度数为( A.72 B.60° C.44° D.36° 3.如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E, F,G,H。若对角线AC,BD的长分别是10cm, 20cm,则四边形EFGH的周长是( A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.50 cm 4.如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为 10cm,顺次连接各边中点E,F,G,H得四边形 EFGH,则四边形EFGH的周长为 cm。 B (第4题图) (第6题图) 5.在四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,E, F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则 四边形EFGH的形状是 6.如图，某小区要在一块形状为矩形ABCD的 空地上建造一个如图所示的四边形花园 EFGH,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD, DA的中点，若AB=6,AD=8,那么四边形 EFGH的面积为 2 中点模型 7.如图，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中 点，对角线AC⊥BD。求证：四边形EFGH为 矩形。 8.如图，将四边形ABCD的四边中点E,F,G,H 依次连接起来，得到的四边形EFGH是平行 四边形吗？请说明理由。 0● B能力提升 ●●d 灵活应用 9.综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的 各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中 点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个 正方形，我们就把这个原四边形叫作“中方四 边形”。 图 图2 图3 概念理解： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 性质探究： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观 察图形，写出关于四边形ABCD的结论： ① ② 问题解决： (3)如图2，以锐角三角形ABC的两边AB, AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG,连接BE,EG,GC,EC, BG,问EC,BG有什么位置关系和数量关 系？直接写出结果。 ●>2 第一章特殊平行四边形 拓展应用： (4)如图3，已知四边形ABCD是“中方四边 形”，M,N分别是AB,CD的中点。试探 索BD与MN的数量关系，并说明理由。 C拓展应用●。· 深度思考 10.如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD各边中 点.求证：四边形EFGH是菱形。 1数学九年级上册(BS) 分别截取等长线段；③顺次连接四条边上的八个截取点，得 到内嵌正八边形。 2.示例：①利用对称思想可以简化作图；②图形探究要遵循“理 解一计划一操作一反思”的流程；③实际问题可转化为方程 解决，体现数形结合思想。 微专题1中点模型 1.A2.D3.B4.205.正方形6.24 7.证明：，E,F分别为AB,BC的中点， .EF是△ABC的中位线， ∴EF=2AC,EF∥AC, 同理，GH=AC,GH/AC,FG/BD, .EF=GH,EF∥GH, ∴.四边形EFGH为平行四边形， ACLBD,∴.EF⊥FG,即∠EFG=9o°， .平行四边形EFGH为矩形。 8.解：四边形EFGH是平行四边形。 理由如下：如答图，连接BD, 点E,F,G,H是四边形ABCD的四边中点， ∴EH/BD,FG∥BD,EH=2BD,FG=BD, .EH=FG,EH∥FG, .四边形到EFGH是平行四边形。 答图 9.解：(1)D(2)①AC=BD②AC⊥BD (3)EC,BG的位置关系为EC⊥BG, 数量关系为EC=BG。 (4)MN=号BD,理由如下： 2 如答图，设AD,BC的中点分别为E,F, 并顺次连接EN,NF,FM,ME, 四边形ABCD是“中方四边形”， A .四边形ENFM是正方形， ∴.FM=FN,∠MFN=90°， ∴.MN=√FM+FN=√/2FN, F,N分别是BC,CD的中点， 答图 &FN=合BD, MN=EFN-=EX号BD=9BD. 10.证明：如答图，连接BD,AC。 E,H分别是AB,AD的中点， EH/BD,EH=合BD, 同理FG/BD,FG=BD:EF∥AC,EF=合AC, .EH∥FG,EH=FG 四边形EFGH是平行四边形。 又：四边形ABCD是矩形， AC=BD。 .EH=EF, .□EFGH是菱形。 答图 第一章《特殊平行四边形》易错疑难集训 1.D2.D3A435656号7.45 8.629.1210.22.5°11.1或412.(1)5(2)/39 13.(0,2) 14.(1)证明：四边形ABCD为菱形， ·ACLBD,OC=2AC, DE=AC,∴DE=OC, ,DE∥AC,四边形OCED是平行四边形。 .AC BD,∴.∠COD=90°， ∴.平行四边形OCED是矩形，∴OE=CD。 (2)解：在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，.AC=AB=2, 又：在菱形ABCD中，ACLBD,.AO=号AC, OD=OB=合BD, ∴.OD=OB=√AB-AO=√5， 由(1)知四边形OCED是矩形， ∴∠OCE=90°，CE=OD, ∴AE=√AC+CE=√7。 15.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴∠FAE=∠HAE=45°， :EF⊥AC, .∠AEF=∠AEH=90°， I∠FAE=∠HAE, 在△AEF和△AEH中， AE-AE, (∠AEF=∠AEH, .△AEF≌△AEH(ASA), ∴.AF=AH; (2)解：设AE=x,AF=AH=√+x=√2x, DF=1-√2x,FH=√AF+AH=2x, :△AFH与△CDF的面积相等， ∴72x…z=合×11-E), 整理得2x2+√2x-1=0, 解得=二，=二（舍去）， 4 4 ∴AE=Y0-2 4