第三章 微专题4 相似三角形的基本模型（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

微专题4　相似三角形的基本模型 模型一　A字型(有公共角) (1)条件：DE∥BC(如图1)， 结论：①△ADE∽△ABC； ②＝＝。 (2)条件：∠1＝∠2(如图2)， 结论：①△AED∽△ABC； ②＝＝。 (3)条件：∠1＝∠2(如图3)， 结论：①△ACD∽△ABC； ②＝＝； ③AC2＝AD·AB。 1．如图，若∠A＝ 70°，∠APC＝65°，AC2＝AP·AB，则∠B的度数为(A) A．45° B．50° C．55° D．60° 　　　　 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝2，EC＝1，则＝。 3．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠B＝∠AED，若DE＝3，AE＝4，BC＝9，则AB的长为12。 　　　　 4．如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝3，BP＝2，则AC的长为。 模型二　8字形(有一组隐含的等角，即对顶角相等) (1)条件：∠A＝∠C (或∠B＝∠D)(如图)， 结论：①△ABO∽△CDO； ②＝＝。 (2)条件：∠A＝∠D (或∠B＝∠C)(如图)， 结论：①△ABO∽△DCO； ②＝＝。 5．如图，在菱形ABCD中，点E在AD上，若AE∶AB＝1∶3，则EF∶FC＝2∶3。 　　　　 6．如图，AD与BE交于点C，∠A＝∠E。若DE＝2AB，AC＝4，则CE＝8。 7．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，AC与BE交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G。若BC＝6，则FG的长为2。 模型三　母子型(双垂直) 条件：∠BAC＝∠1＝90°(如图)， 结论：①△ABC∽△DBA∽△DAC； ②AB2＝BD·BC； ③AC2＝CD·BC； ④AD2＝BD·CD。 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC。 (1)求证：△ABC∽△DBA； (2)若BD＝4，DC＝5，求AB的长。 (1)证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠BAC＝90°。 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△DBA。 (2)解：∵BD＝4，DC＝5， ∴BC＝BD＋DC＝4＋5＝9。∵△ABC∽△DBA， ∴＝.∴AB2＝BD·BC＝4×9＝36，∴AB＝6。 模型四　一线三等角 特征：如图，两个三角形的一条边在一条直线上，并且有一个顶点重合，满足∠1＝∠2＝∠3。 结论： (1)一线三垂直型 已知：∠1＝∠2＝∠3＝90°(如图)， 结论：①△ABC∽△CDE； ②AB·DE＝BC·CD； ③当点C为BD边的中点时，△ABC∽△CDE∽△ACE。 (2)一线三等角型 已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α(如图)， 结论：①△ABC∽△CDE； ②AB·DE＝BC·CD； ③当点C为BD边的中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE。 9．如图，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE＝7。 　　　　 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°。若BC＝4，BD＝，则EC＝。 11．【综合与实践】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，三角尺EFG的直角顶点E在矩形ABCD的边AD上，∠EFG＝30°，将△EFG绕点E旋转，当直角边EF经过点B，EG的延长线经过点C时。 (1)求证：△ABE∽△DEC； (2)求AE的长。 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，三角尺EFG为直角三角形，∴∠A＝∠D＝∠CEB＝90°。 ∴∠AEB＋∠ABE＝∠AEB＋∠CED＝90°， ∴∠ABE＝∠CED。 ∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEC。 (2)解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝2， 由(1)得△ABE∽△DEC， ∴＝，即＝，解得AE＝2。 学科网（北京）股份有限公司 $