专题特训1 特殊平行四边形的折叠问题&专题特训2 与正方形有关的四个常考模型-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

过点E作EH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD于点G ,CE,CF分别为∠ACB,∠ACD的平分线，.∠ECH ∠ECO,∠FCO=∠FCG.∴.易得∠ECF=90°..MN∥ BC,.∠FEC=∠ECH..∠FEC=∠ECO.∴.OE= OC.同理，可得OC=OF.∴.OE=OF.·点O运动到AC 的中点处，∴.OA=OC..四边形AEC℉为矩形.若 ∠ACB=90°，则AC⊥BD.'MN∥BC,,∴.AC⊥MN,即 AC⊥EF..四边形AECF为正方形. 7.(1)作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.·'四边形 ABCD是正方形，∴.∠EAD=∠EAB.:EM⊥AD于点 M,EN⊥AB于点N,∴.EM=EN.:'∠EMA=∠ENA ∠DAB=90°，∴.四边形ANEM是矩形.，EF⊥DE .∠MEN=∠DEF=90°...∠DEM=∠FEN. :∠EMD=∠ENF=90°，.△EMD≌△ENF..ED= EF.,四边形DEFG是矩形，∴.四边形DEFG是正方 形.(2)，四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正 方形，∴.DG=DE,DC=DA=AB=32,∠GDE= ∠ADC=90°.∴.∠ADG=∠CDE..△ADG≌△CDE. .AG=CE.∴.AE+AG=AE+EC=AC=√2AD=6. (3)连接DF,,四边形ABCD是正方形，，.AB=AD= 32,AB,/CD.:F是AB的中点，AF=FB=3y2 2 Dr=D+F=32+(2T=3 2 :正方形DEG的面积=专DF=号×(3)°-望 8.(1),四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，BC CD.∴.∠BCE十∠DCE=90°.，点E绕点C逆时针旋转 90得到点E',∴.CE=CE',∠ECE'=90°..∠BCE十 ∠BCE'=90°..∠DCE=∠BCE'..△CBE'≌△CDE .∠CED=∠CEB=90°.∴.四边形EFEC的形状是矩形. 又，CE=CE,.四边形EFEC是正方形.(2)FO= 2E'G.理由：如图，连接BD,OG,四边形ABCD是正 方形，O是AC的中点，.O是BD的中点，AC=BD. OC=OB=?AC.:四边形EFE'C是正方形，.∠BFE 90.F0=OB=号BD=2AC=0C.:四边形ABCD 是正方形，O是AC的中点，∴.OC=OB,∠BOC=90°， ∠OBC=∠OCB=45°..G是BC的中点，..OG=BG= GC..OC=√OG+GC2=W2GC.,·四边形EFE'C是 正方形，.∠BE'C=90°.G是BC的中点，∴.EG= 号=6C.0C=EEGP0=EEG. E (第8题) 专题特训一特殊平行四边形的折叠问题 1.2或22由题意和折叠的性质得A'G=CG,A'H= CH,∠GA'H=∠BCD=45°，A'F=AF,A'E=AE, ∠EA'F=∠BAD=45°.如图①，当A'G=A'H时，连接 A'A,A'C,则A'G=CG=A'H=CH,∴.四边形A'GCH 是菱形.A'C是∠BCD的平分线..A'C经过点A. ·四边形AEAF也是菱形.·AF=AE=2AB=2如 图②，当A'G=GH时，此时△A'GH是等腰直角三角形， 则点A'与点B重合，.△A'FE和△AFB都是等腰直角 三角形.由勾股定理得AF=2√2.当A'H=GH,即 A'H=GH=CH时，△A'GH和△CGH都是等腰直角三 角形，且∠A'HG=∠CHG=90°，故点A'在直线CD上，此 情况不存在.综上，AF的长为2或22. B(A G ① ③ (第1题) 2.(I)连接CF交BE于点O.由折叠性质得BE是线段 CF的垂直平分线，∴.EF=EC,GF=GC,OF=OC, ∠FOG=∠COE=90°..'FG∥CD,∴.∠OFG=∠OCE. (∠FOG=∠COE, 在△OFG和△OCE中，OF=OC, .∴.△OFG≌ ∠OFG=∠OCE △OCE..GF=EC.∴.EF=EC=GF=GC.∴.四边形 CEFG是菱形.(2)：四边形ABCD是矩形，且AB= 5,AD=13,∴.CD=AB=5,BC=AD=13,∠A=∠D= 90°.∴.△ABF和△DEF都是直角三角形.设EC=a,则 DE=CD-EC=5-a.由(1)可知四边形CEFG是菱形， ∴.EF=EC=a,四边形CEFG的周长为4EC=4a.由折 叠性质得BF=BC=13,在Rt△ABF中，AB=5,BF= 13,由勾股定理得AF=√BF2一AB2=12,.DF= AD-AF=13-12=1.在Rt△DEF中，DE=5-a,EF a,DF=1,由勾股定理得EF2=DE2+DF2,.a2=(5- a)2+12,解得a=2.6..∴.4a=10.4,即四边形CEFG的周 长为10.4. 3.(1)45.如图①，过点B作BG⊥CE于点G.,四边 形ABCD是正方形，.∴.AB=BC,∠ABD=∠CBD=45° 由折叠的性质可知，AB=BE,乙ABF=∠EBF-弓∠ABE 22.5°，∴.BE=BC.又，BG=BG,.Rt△BGE≌ R△BGC.÷.∠EBG=∠CBG=合∠CBD=22. .∠FBG=∠EBF+∠EBG=45°.∴.∠M=180°- ∠BGM-∠MBG=45°.(2)∠M的度数不发生变化.理 由：如图②，过点B作BH⊥CE于点H.,四边形ABCD 是正方形，∴.AB=BC,∠ABC=90°.由折叠的性质可知， AB=BE,∠ABF=∠EBF=∠ABE,&BE=C :BH=BH,∴.R△BHE≌Rt△BHC..∠EBH= ∠CBH=号∠CBE.:∠FBH=∠EBF+∠EBH 2∠ABE+2∠CBE=7∠ABC=45.∠M=180- ∠BHM-∠MBH=45°.(3)，正方形ABCD的边长 为8，.AB=AD=BC=CD=8,∠BAD=∠BCD=90. 由折叠的性质可知，BE=AB=8,当△DEN是等腰三角 形时，由题意可知，∠DNE>90°，即只有当ND=NE时， 等腰三角形存在.分两种情况：①如图③，当点N在AD 边上时，设ND=NE=a,则AN=AD-ND=8-a, BN=BE+NE=8+a.在Rt△BAN中，AB+AN= BN2,∴.82+(8-a)2=(8+a)2,解得a=2,即ND=2. AN=8-2=6.②如图④，当点N在CD边上时，设 ND=NE=a,CN=CD-ND=8-a,..BN=BE+ NE=8+a.在Rt△BCN中，BC2+CN=BN2,∴.82+ (8-a)2=(8+a)2,解得a=2,即ND=2..AN= √AD2+ND=√82+2=2√17.综上可知，当△DEN 是等腰三角形时，AN的长为6或2√17. M ② 0 ③ (第3题) 专题特训二与正方形有关的四个常考模型 1.(1)AE=DF.(2)如图①，过点E作EM⊥BC于点 M,则易得四边形ABME为矩形.∴.AB=EM.,四边形 ABCD是正方形，∴.∠C=90°，AB=BC.∴.EM=BC. ,EM⊥BC,∴.∠EMF=90°.∴.∠EMF=∠C,∠MEF+ ∠EFM=90°.，BG⊥EF,∴.∠CBG+∠EFM=90. ∴.∠CBG=∠MEF.在△BCG和△EMF中， [∠CBG=∠MEF, BC=EM, ∴.△BCG≌△EMF..BG=EF ∠C=∠EMF, (3)如图②，连接MN.:点M,N关于EF对称，.MN⊥ EF.过点E作EH⊥BC于点H,过点M作MG⊥CD于点 G,则易得EH⊥MG.由(2)，同理可得△EHF≌△MGN. ∴.HF=GN.易知AE=BH=2,BF=5,∴.GN= HF=5-2=3.又，易知GC=MB=1,.CN=NG十 CG=3+1=4. AE B H G B M F B H F ① ② (第1题) 2.(1)EF=BE十DF.·四边形ABCD是正方形，∴.AB= DA,∠BAD=90°.∴.∠BAE+∠DAF=90°.BE⊥ MN,DF⊥MN,∴.∠BEA=∠AFD=90°，∠DAF+ ∠ADF=90°.∴.∠BAE=∠ADF.在△ABE和△DAF ∠BEA=∠AFD, 中，∠BAE=∠ADF,∴.△ABE≌△DAF.∴.BE=AF, AB=DA. AE=DF..EF=AF+AE=BE+DF.(2)EF=BE- DF.,四边形ABCD是正方形，∴.AB=DA,∠BAD= 90°.∴∠BAE+∠DAF=90°.：BE⊥MN,DF⊥MN, ∴.∠BEA=∠AFD=90°，∠DAF+∠ADF=90°. ∴.∠BAE=∠ADF.在△ABE和△DAF中， ∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF,∴.△ABE≌△DAF.∴.BE=AF,AE= AB-DA, DF..EF=AF-AE=BE-DF.(3)EF=DF-BE. :四边形ABCD是正方形，∴.AB=DA,∠BAD=90° ∴.∠BAE+∠DAF=90°.BE⊥MN,DF⊥MN, .∠BEA=∠AFD=90°，∠DAF+∠ADF=90. .∠BAE=∠ADF.在△ABE和△DAF中， |∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF,.∴.△ABE≌△DAF..∴.BE=AF,AE= AB=DA, DF.∴.EF=AE-AF=DF-BE 3.(1)在正方形ABCD中，BC=CD,∠B=∠ADC 90°，.∠B=∠CDF=90°.又，BE=DF,∴.△CBE≌ △CDF.∴.CE=CF.(2)成立.△CBE≌△CDF, ∴.∠BCE=∠DCF.∴.∠ECD+∠BCE=∠ECD+ ∠DCF,即∠BCD=∠ECF=90°.又：∠GCE=45°， .∠GCF=∠ECF-∠ECG=45..在△GEC和△GFC (CE=CF, 中，3∠GCE=∠GCF,∴.△GEC≌△GFC..EG=GF GC=GC. .GE=DF+GD=BE+GD.(3)如图，过点C作CG⊥ AD于点G,在直角梯形ABCD中，：AD∥BC,∠A= ∠B=90°，∠CGA=90°，AB=BC,∴.四边形ABCG为正 方形.∴.AG=BC=16.:∠DCE=45°，由(1)(2)可得 ED=BE+DG,设DE=x,则DG=x-4,∴.易得AD= 20-x.在Rt△AED中，：DE2=AD2+AE,∴.x2=(20- P+1.=9即DE=袋 D G B (第3题) 4.(1)四边形BEFE是正方形.理由：，△CBE是由 R1△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的， ∴.∠CE'B=∠AEB=90°，∠EBE=90°.又∠BEF+ ∠AEB=180°，∴.∠BEF=90°.∴.四边形BEFE是矩 形.由旋转可知，BE=BE,∴.四边形BE'FE是正方形. (2)CF=FE.如图，过点D作DH⊥AE于点H,则 ∠AHD=90°，∠DAH+∠ADH=90°.，DA=DE, 二AH=EH=专AE.:四边形AD是正方形，AB= DA,∠DAB=90°..∠DAH+∠EAB=90°. ∴.∠ADH=∠EAB.在△ADH和△BAE中， ∠AHD=∠BEA=90°， ∠ADH=∠BAE,.△ADH≌△BAE..AH= AD=BA, BE.由旋转可知，AE=CE.由(1)可知，四边形BE'FE是 正方形，BE=E'R.4EF=AH=号AE=CE .CF=FE'. D H B (第4题)》 专题特训三特殊平行四边形的最值问题 1.C如图，连接DE交AC于点P',连接BP',则此时 △BPE的周长就是△PBE周长的最小值，，·BE=2,BC= CD=8,.CE=6..由勾股定理易得DE=10..BP'十 P'E=DE=10.∴.△PBE周长的最小值是10+2=12. D B E (第1题) 2.√32十√7根据题意，画出如图所示的图形，连接 PA,DE.在菱形ABCD中，由E是边BC的中点及AE平 分∠BAC,易知△ABC是等边三角形，AE⊥BC. 日∠ABC=60,设AB=BC=工，则易知AE,.:菱 形ABCD的面积为23，BC·AE=23,即，③ 2 2,3,解得x=2(负值舍去)..AE=√3，AB=BC=2.由 点A和点C关于BD对称，知PE+PC的值即为PA+ PE的值.当A,P,E三点共线时，PA十PE的值最小，此 时PA+PE=AE=√3，即PE+PC的最小值为3.当点 P和点D重合时，PE十PC的值最大.易知AE⊥AD, AD=2.在Rt△ADE中，由勾股定理，易得DE= √22+（√3）=√7，此时PE+PC=2+7,即PE+PC的 最大值为2+√7.∴.线段PE+PC的最小值为3，最大值 为2+√7. B 第2题) 2拔尖特训·数学（北师版）九年级上 专题特训一特殊平行四边形的折叠问题 类型一菱形的折叠问题 1.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=45°，E为AB的中点，F为AD上一动 点，将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A'.再折叠菱形，使点C的对应点 与点A'重合，折痕分别交BC,CD于点G,H.当△A'GH是等腰三角形时， AF的长为 (第1题) 类型二矩形的折叠问题 2.[2025丹东东港期末]如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在 AD边上的点F处，过点F作FGCD交BE于点G,连接CG. (1)求证：四边形CEFG是菱形 (2)若AB=5,AD=13,求四边形CEFG的周长. (第2题) 类型三正方形的折叠问题 3.在正方形ABCD的边AD上选一点F,沿BF折叠，使点A落在正方形ABCD的内部任意一点 E处， (1)操作判断：如图①，当点E在正方形ABCD的对角线BD上时，连接CE并延长，交BF的延 长线于点M,则∠M= (2)迁移探究：如图②，改变点F的位置，∠M的度数是否发生变化？如果不变，试说明理由；如 果改变，请求出∠M的度数. (3)拓展应用：延长BE交正方形ABCD的一边于点N,已知正方形ABCD的边长为8，当 △DEN是等腰三角形时，请求出AN的长. ② 备用图 (第3题) 14 >“答案与解析”见PI0 第一章特殊平行四边形 专题特训二 与正方形有关的四个常考模型 类型一 正方形中的“十字架”模型 1.(1)如图①，在正方形ABCD中，AE,DF相交于点O且AE⊥DF,则线段AE和DF之间的数 量关系为 (2)如图②，在正方形ABCD中，E,F,G分别是边AD,BC,CD上的点，BG⊥EF,垂足为H. 求证：BG=EF (3)如图③，在正方形ABCD中，E,F,M分别是边AD,BC,AB上的点，AE=2,BF=5,BM= 1,将正方形沿EF折叠，A',B分别是点A,B的对应点，点M的对应点恰好与CD边上的点N 重合，求CN的长 (第1题) 类型二正方形中的三垂线全等模型 2.过正方形ABCD的顶点A作一条直线MN. (1)如图①，当MN不与正方形有其他交点时，过点B作BE⊥MN于点E,过点D作DF⊥ MN于点F.请写出EF,BE,DF之间的数量关系，并证明你的结论 (2)如图②，若改变直线MN的位置，使MN与边CD相交，其他条件不变.请写出EF,BE,DF 之间的数量关系，并证明你的结论 (3)如图③，若继续改变直线MN的位置，使MN与边BC相交，其他条件不变.请写出EF, BE,DF之间的数量关系，并证明你的结论. M ① ② ③ (第2题) 15 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 类型三正方形中的半角模型 3.如图①，在正方形ABCD中，E是AB上一动点，F是AD延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF. (2)在图①中，若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE十GD成立吗？为什么？ (3)如图②，在四边形ABCD中，ADBC(BC>AD),∠A=∠B=90°，AB=BC=16,E是AB 上一点，且∠DCE=45°，BE=4,求DE的长. ① (第3题) 类型四正方形中的“手拉手”模型 4.如图①，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， 得到△CBE'(点A的对应点为C).延长AE交CE于点F,连接DE. (1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由. (2)如图②，若AD=DE,请猜想线段CF与FE之间的数量关系，并加以证明. ① ② (第4题) 16 >“答案与解析”见PI1