第1章 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形&专题小练习 (一) 特殊平行四边形间的关系的综合应用-【勤径千里马】2026-2027学年九年级上册数学随堂小练10分钟（北师大版·新教材）

8 随堂小练》0分钟 九年级数学·北师版·上册 .LABE=∠DCE=30°. ,∠AB0=∠ECO, 在△ABE和△DCE中， B0=C0, rAB=DC, L∠AOB=∠EOC, ∠ABE=∠DCE, .·.△AOB≌△EOC(ASA). BE CE, (2)解：四边形ABEC是正方形 ∴.△ABE≌△DCE(SAS), 5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AE DE. .AD∥BC (2)解：∠AED=150° ∠AD0=∠EC0,∠DAO=∠CEO. 6.解：(1)图中所有的全等三角形有△ADC≌△ABC, 0是CD的中点，.OD=0C, △ADE≌△ABE,△DCE≌△BCE. ·.△AOD≌△EOC. (2):四边形ABCD是正方形， (2)解：45° .AD∥BC,DC=CB,∠DCE=∠ECB=45°，且CE 6.C7.C8.D9.D =CE, ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的 ∴.△DCE≌△BCE,∴.∠DEC=∠BEC 正八边形 ,∠DEB=140°， 解：(1)由题意，得△AEL≌△BGF≌△CIH≌△DKJ, 六∠DBC=∠BC=3∠DB=70 且四个三角形均为等腰直角三角形. 设BG=x,则FG=GH=√2x ∠ACB=45°， BC=BG+GH+CH, .∠CBE=180°-∠BEC-∠ACB=65. 2x+2x=a, :AD∥BC,.∠AFE=∠CBE=65. 7.C8.22+2 9.解：在正方形ABCD中， ∠ABC=90°，AB=BC, 正八边形的边长为×1-号=(-1)a ∴.∠ABM+∠CBW=90. (2)如答图①，八边形EFGHIJKL即为所求 AM⊥直线I,CW⊥直线l, (3)如答图②，八边形EFGH皿JKL即为所求. .∠AMB=∠CNB=90°， ∴.∠MAB+∠ABM=90°， .∠MAB=∠CBN, .△AMB≌△BNC, .'.BM=CN=3. 在Rt△AMB中， ∠AMB=90°，AM=1,BM=3, H AB=√AM2+BMP=√2+32=√0. 答图① 答图② 专题小练习（一）特殊平行四边形间的 第2课时正方形的判定 关系的综合应用 [1分钟知识速记] 1.(1)证明：EF是AC的垂直平分线， (1)相等(2)垂直(3)直角(4)相等 ,∴.A0=OC,∠A0E=∠COF=90°. [9分钟目标检测] .四边形ABCD是矩形，.AD∥BC. 1.C ∴.∠EA0=∠FCO. 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 在△AE0和△CF0中， 3.①②（或①③） r∠EAO=∠FCO, 4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， A0=C0. ∴AB∥CD,.LAB0=∠EC0. L∠AOE=∠COF :O是BC的中点，.B0=C0 .△AEO≌△CFO(ASA),∴.OE=OF. 在△AOB和△EOC中， 又.OA=OC, )107g 见此图标「子微信扫码轻松做题，稳拿高分。 8 随堂小练♪0分钟 九年级数学·北师版·上册 .四边形AECF是平行四边形. =2(∠ACB+LACD)=90, 1 又：EF⊥AC,.四边形AECF是菱形. (2)解：设AF=x, 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在△EFC中， :EF是AC的垂直平分线，BC=8, 不可能过点F作两条线垂直于CE,,四边形BCFE .CF=AF=x,BF=8-x. 不会是菱形. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2+BF2=AF2, (3)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩 42+(8-x)2=x2, 形.理由如下： 解得x=5,.AF=5, :当点O运动到AC的中点时，A0=C0,且E0=F0, ∴.菱形AECF的周长为4AF=20. .四边形AECF是平行四边形. 2.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.OB=OD. 由(1)知F0=C0, ,E是AD的中点， .A0=C0=E0=F0, .OE是△ABD的中位线，OE∥FG ..A0 +CO=E0+F0,AC=EF, .:OG∥EF,..四边形OEFG是平行四边形. ∴.四边形AECF是矩形. .EF1AB,.∴.∠EFG=90°， (4)当点0运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB ·平行四边形OEFG是矩形. 为直角时，四边形AECF是正方形 (2)解：四边形ABCD是菱形， 由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF .BD⊥AC,AB=AD=12, 是矩形 .∴.∠AOD=90. 已知MN∥BC,当∠ACB=90°时，∠AOF=∠COE= :E是AD的中点， LC0F=LA0E=90°， 0E-AE-AD-6. ∴.AC⊥EF,.四边形AECF是正方形. 第一章易错小练习 由(1)知，四边形OEFG是矩形， 1.(2,0)或(4,0)2.3 .FG=0E=6. 3.解：.·在菱形ABCD中，AC:BD=3:4, EF⊥AB,.∠EFA=90°， .AF=√AE2-EF2=√62-(42)2=2， BD-号4C .BG=AB-AF-FG=12-2-6=4. 4 3.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， BD-AC=2 cm,3 AC-AC=2 cm, .AB=DC,∠A=∠D=90°. 解得AC=6cm,∴.BD=8cm, :M为AD的中点，∴AM=DM. .CDx24(cm ) 1 在△ABM和△DCM中， 即菱形ABCD的面积为24cm2. AM DM, ∠A=LD, 4.A5.B6.2或10 LAB=DC, 7.(1)证明：DE⊥AC,DF⊥AB, .∴.△ABM≌△DCM(SAS) ∴.∠BFD=∠CED=90°. (2)解：当AB:AD=1:2时，四边形MENF是正方形 在Rt△BDF和Rt△CDE中， 4.解：(1)0E=0F. [BD=CD, 证明：.·MN∥BC BF=CE, ·∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF. .Rt△BDF≌Rt△CDE(HL), 又：CE平分∠BC0,CF平分∠DC0, .∠B=∠C, .∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF, ,∴.△ABC是等腰三角形 .∠OCE=∠OEC,LOCF=∠OFC, (2)解：四边形AFDE是正方形 .E0=C0,F0=C0,∴.0E=0F. 8.解：不正确.若要使四边形ABCD是正方形，可先使 (2)四边形BCFE不会是菱形.理由如下：连接BF, 其成为菱形或者矩形 :CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, 当A0=C0,B0=D0,∠DAB=90°时， LBCF-LACB+∠ACD 四边形ABCD为矩形， 再添加条件AB=AD, )108C3 见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。8< 8 随堂小练10分钟 九年级数学·北师版·上册 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶 点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.你 能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗？甲同学给出了正八边形内嵌于 正方形的一种情形，如图①所示 (1)若正方形ABCD的边长为a,则正八边形的边长是多少？ (2)如图②，已知，正方形ABCD,你能用尺规作内嵌于正方形ABCD的正八 边形吗（要求：正八边形的八个顶点均在正方形四条边上）？ (3)如图③，已知，正方形ABCD,你能用尺规作内嵌于正方形ABCD的正八 边形吗（要求：正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上）？ B B 图① 图② 图③ )14g 、见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 8< 随堂小练♪0分钟 九年级数学·北师版·上册 专题小练习（一） 特殊平行四边形间的关系的综合应用 >类型一菱形与矩形的综合应用 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD,AC,BC 于点E,O,F,连接CE和AF. (1)求证：四边形AECF为菱形； (2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长， 1题图 2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G 在AB上，EF⊥AB,OG∥EF (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD=12,EF=4√2，求OE和BG的长 2题图 )15g 见此图标[宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 8< 随堂小练0分钟 九年级数学·北师版·上册 》>类型二矩形与正方形的综合应用 3.如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点，E,F分别是线段 BM,CM的中点. (1)求证：△ABM≌△DCM: (2)当AB:AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？ M 3题图 》类型三菱形、矩形、正方形的综合应用 4.如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC,设 MN交∠BCA的平分线于点E,交△BCA的外角∠ACD的平分线于点F, 连接BE,AE,AF (1)探究OE与OF之间的数量关系并加以证明； (2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以 证明；若不是，请说明理由； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明 理由； (4)在(3)的基础上，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ 为什么？ 4题图 )16g 、见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。