专题特训3 特殊平行四边形的最值问题&问题解决活动 作内嵌于正方形的正八边形-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第一章特殊平行四边形 专题特训三 特殊平行四边形的最值问题 类型一利用轴对称求最值 模型示例：如图①，定点A,B分布在定直线1的同侧，在直线1 上找一点P,使得PA十PB的值最小 作法：如图②，作点B关于直线l的对称点B',连接AB',据“两 点之间，线段最短”知AB'与直线1的交，点即为所求，点P ① ② 1.[2025南宁青秀期中]如图，正方形ABCD的边长为8，E是边BC上的一点，且BE= 2,P是对角线AC上的一动点，连接PB,PE,当点P在AC上运动时，△PBE周长 的最小值是 ( A.8 B.10 C.12 D.14 B E (第1题) 2.已知菱形ABCD的面积为2√3，E是边BC的中点，P是对角线BD上的动点，连接AE,AC, PE,PC.若AE平分∠BAC,则PE+PC的最小值为 ,最大值为 类型二利用三角形的三边关系求最值 模型示例：如图①，定，点A,B分布在定直线1的同侧，在直线 上找一点P,使得|PA一PB的值最大， 作法：如图②，连接AB并延长，交直线1于点P,据“三角形两 边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知，点P即为所求， ② 3.如图，在矩形ABCD中，AB=15,BC=20,把边AB沿对角线BD平移，点A',B分别对应点A, B,连接AD,BC,A'C.给出下列结论：①四边形A'B'CD是平行四边形；②点C到它关于直 线AA'的对称点的距离为48；③AC一BC的最大值为15；④作点D关于AA'的对称点D',则 CB'+CA'的最小值为CD'的长.其中，正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 (第3题) (第4题) 4.如图，四边形ABCD为矩形，AB=2√3，AD=2√2，P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP 翻折，点A的对应点为A',连接AA',交PD于点M,Q为线段BC上一点，连接AQ,MQ,则 AQ+MQ的最小值为 “答案与解析”见P12 17 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 ☆问题解决活动 作内嵌于正方形的正 【综合与实践】如图①，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里面嵌套了 一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内 嵌于这个正方形.如图②是一个正方形. 【观察判断】(1)图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是 ·(填字母) 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图④， (2)请按照折纸的思路在图②中作内嵌正八边形并证明.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ① ② 正面 把十字线折成山谷 基础 立起三角形 4处均按同样 沿虚线处 完成 线，对角线折成山 正方形 后展开 方法折叠 剪开后展开 峰线，沿折痕重叠 ④ 18 >“答案与解析”见P13.∠BEA=∠AFD=90°，∠DAF+∠ADF=90. .∠BAE=∠ADF.在△ABE和△DAF中， |∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF,.∴.△ABE≌△DAF..∴.BE=AF,AE= AB=DA, DF.∴.EF=AE-AF=DF-BE 3.(1)在正方形ABCD中，BC=CD,∠B=∠ADC 90°，.∠B=∠CDF=90°.又，BE=DF,∴.△CBE≌ △CDF.∴.CE=CF.(2)成立.△CBE≌△CDF, ∴.∠BCE=∠DCF.∴.∠ECD+∠BCE=∠ECD+ ∠DCF,即∠BCD=∠ECF=90°.又：∠GCE=45°， .∠GCF=∠ECF-∠ECG=45..在△GEC和△GFC (CE=CF, 中，3∠GCE=∠GCF,∴.△GEC≌△GFC..EG=GF GC=GC. .GE=DF+GD=BE+GD.(3)如图，过点C作CG⊥ AD于点G,在直角梯形ABCD中，：AD∥BC,∠A= ∠B=90°，∠CGA=90°，AB=BC,∴.四边形ABCG为正 方形.∴.AG=BC=16.:∠DCE=45°，由(1)(2)可得 ED=BE+DG,设DE=x,则DG=x-4,∴.易得AD= 20-x.在Rt△AED中，：DE2=AD2+AE,∴.x2=(20- P+1.=9即DE=袋 D G B (第3题) 4.(1)四边形BEFE是正方形.理由：，△CBE是由 R1△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的， ∴.∠CE'B=∠AEB=90°，∠EBE=90°.又∠BEF+ ∠AEB=180°，∴.∠BEF=90°.∴.四边形BEFE是矩 形.由旋转可知，BE=BE,∴.四边形BE'FE是正方形. (2)CF=FE.如图，过点D作DH⊥AE于点H,则 ∠AHD=90°，∠DAH+∠ADH=90°.，DA=DE, 二AH=EH=专AE.:四边形AD是正方形，AB= DA,∠DAB=90°..∠DAH+∠EAB=90°. ∴.∠ADH=∠EAB.在△ADH和△BAE中， ∠AHD=∠BEA=90°， ∠ADH=∠BAE,.△ADH≌△BAE..AH= AD=BA, BE.由旋转可知，AE=CE.由(1)可知，四边形BE'FE是 正方形，BE=E'R.4EF=AH=号AE=CE .CF=FE'. D H B (第4题)》 专题特训三特殊平行四边形的最值问题 1.C如图，连接DE交AC于点P',连接BP',则此时 △BPE的周长就是△PBE周长的最小值，，·BE=2,BC= CD=8,.CE=6..由勾股定理易得DE=10..BP'十 P'E=DE=10.∴.△PBE周长的最小值是10+2=12. D B E (第1题) 2.√32十√7根据题意，画出如图所示的图形，连接 PA,DE.在菱形ABCD中，由E是边BC的中点及AE平 分∠BAC,易知△ABC是等边三角形，AE⊥BC. 日∠ABC=60,设AB=BC=工，则易知AE,.:菱 形ABCD的面积为23，BC·AE=23,即，③ 2 2,3,解得x=2(负值舍去)..AE=√3，AB=BC=2.由 点A和点C关于BD对称，知PE+PC的值即为PA+ PE的值.当A,P,E三点共线时，PA十PE的值最小，此 时PA+PE=AE=√3，即PE+PC的最小值为3.当点 P和点D重合时，PE十PC的值最大.易知AE⊥AD, AD=2.在Rt△ADE中，由勾股定理，易得DE= √22+（√3）=√7，此时PE+PC=2+7,即PE+PC的 最大值为2+√7.∴.线段PE+PC的最小值为3，最大值 为2+√7. B 第2题) 2 3.D由题意，得AB=A'B',AB∥A'B'.,四边形ABCD 是矩形，∴.AB=CD=15,AD=BC=20,AB∥CD. .AB'=CD,A'B'CD..四边形A'B'CD是平行四边 形.故①正确.利用平行线间的距离处处相等，得点C到它 关于直线AA'的对称点的距离是点C到BD的距离的 4倍.在Rt△BCD中，BD=√BC+CD=25,∴.利用 等面积法，易得点C到BD的距离=20X15=12.·点C 25 到它关于直线AA'的对称点的距离为48.故②正确.根据 A'C-B'C≤A'B',推出A'C-B'C≤15，∴.A'C-B'C的 最大值为15.故③正确.，点D关于AA'的对称点为D', .A'D=A'D.:四边形AB'CD是平行四边形， .CB'=A'D..CB'=A'D'..CA'+CB'=CA'+ A'D'.∴.当点D',A',C共线时，CB′+CA'有最小值，最小 值为CD的长.故④正确.综上所述，正确的个数是4. 4.4√2如图，作点A关于BC的对称点T,取AD的中点 R,连接QT,RT,MT,RM,则AR=DR=AD=号× 22=√2，AT=2AB=2×25=43.由对称，得AQ= QT.∴.AQ+MQ=QT+MQ≥MT.,四边形ABCD是 矩形，.∠RAT=90°.∴.RT=√AR2+AT=5√2. ·点A,A'关于DP对称，.AA'⊥DP..∠AMD= 90:R是AD的中点，RM=2AD=2.:MT≥ RT-RM,∴.MT≥4N2..AQ+MQ≥42.∴.AQ+MQ 的最小值为4√2. D R T B (第4题) ☆问题解决活动作内嵌于正方形的 正八边形 (1)A.(2)如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作.证 明：设AO=a,则AD=AB=BC=CD=√2a.,AE AF=BG=BH=CI=CJ=DK=DL=AO=a...AL= AG=BF=BI=CH=CK=DJ=DE=√2a-a.∴.∠ALG= ∠AGL=∠BFI=∠BIF=∠CHK=∠CKH=∠DJE ∠DEJ=45°.∴.易得GL=FI=HK=EJ=2a-√2a, ∠GLE=∠LGF=∠GFI=∠FIH=∠IHK=∠HKJ ∠KJE=∠JEL=135°..LE=AD-AL-DE=W2a- (W2a-a)-(W2a-a)=2a-√2a,同理可得，GF=IH= KJ=2a-2a,.GF=FI=IH=HK=KJ=JE= EL=LG.,.八边形LGFIHKJE是正八边形. 综合与实践1变化中的正方形的折叠问题 【操作二】等边三角形；6一33.由题意得，MN为正方 形ABCD的对称轴，AB=BC=CD=AD=6,.BD'= CD',BC=CD,BN =CN=2 BC=3,MN AB=6, MN⊥BC,由折叠的性质可得CD=CD'.∴.BD'=CD'= CD=BC..△D'BC为等边三角形..BD'=BC=6. ∴.D'N=√BD2-BN=33.∴.D'M=MN-D'N= 6-3V3.【操作三】AP=2BP.理由：如图①，连接CP, 由题意得，MN为正方形ABCD的对称轴，BC=CD, AM=DM=号AD=3,由折叠的性质可得CD=CD, ∠CD'M=∠D=∠B=90°，∴.BC=CD'..Rt△PBC≌ Rt△PD'C..PB=PD'.设PB=PD'=x,则AP=6- x,PM=3十x,由勾股定理得AP2+AM2=PM2,∴.(6- x)2+32=(x+3)2,解得x=2..BP=2,AP=6-2=4. ∴.AP=2BP.【操作四】如图②，当点Q在CE上时，在 正方形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB= BC=CD=AD=6,由折叠的性质可得∠DEC=∠D'EC= ∠AEP,:'∠DEC+∠D'EC+∠AEP=180°，∴.∠DEC= ∠D'EC=∠AEP=60°..∠DCE=30°.∴.CE=2DE.由 勾股定理得CE2=DE2+CD2,即(2DE)2=DE2+62,解 得DE=23(负值舍去).如图③，当点Q在PC上时，由折 叠的性质可得CD=CD,∠CD'E=∠D=90°，∴.∠PD'C= 180°-∠CD'E=90°=∠B.BC=CD,.BC=CD'. ∴.Rt△CD'P≌Rt△CBP..∠BPC=∠D'PC.由折叠的 性质可得∠APE=∠QPE,∴.∠BPC=∠D'PC= ∠APE.:∠BPC+∠D'PC+∠APE=180°，∴.∠BPC= ∠D'PC=∠APE=60°.∴.∠BCP=∠AEP=30°由勾股 定理得BP=2√3.∴.AP=AB-BP=6-23.∴.PE= 2×(6-23).由勾股定理得AE=6√3-6.∴.DE=AD-