第一章 第8课时 正方形的性质与判定(2)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第8课时 正方形 A基础巩固●● 落实课标 1,下列命题中，错误的是 ( A.一条对角线平分一个内角的平行四边形是 菱形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.有一个角是直角的菱形是正方形 D.对角线相等的四边形是矩形 2.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°， 若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件 可以是 ( A.∠D=90° B.AB-CD C.AD=BC D.BC-CD 3.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪 下一个角。要得到一个正方形，剪口与折痕所 成锐角的大小为 ( A.22.5 B.30° C.45° D.90° 4.一个四边形既是矩形又是菱形，边长为5，则 它的对角线长为 ( A.5 B.5√2 C.10 D.25 5.如图，菱形EFGH的三个顶点E,F,G分别在 矩形ABCD的边AB,AD,CD上，且AE= DF,求证：四边形EFGH是正方形。 ●>16 的性质与判定(2) B能力提升 ●● 灵活应用 6.以下说法中正确的是 (填序号) ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平 行四边形； ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平 行四边形； ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是 矩形； ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线 互相垂直的四边形是菱形； ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个 角为直角的四边形是矩形。 7.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O。小乐同学欲添加两个条件使得四边 形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择： ①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°。则 正确的组合是 (只需填一种组合)。 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D,E,F 分别是边BC,CA,AB的中点，要使四边形 AFDE为正方形，不添加辅助线，可以添加的 条件是 (添加一个 条件即可)。 ● 9.如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中 点，过点A作DE的垂线，垂足为F,过点B作 DE的垂线，垂足为G,过点A作BG的垂线， 垂足为H。求证：四边形AFGH是正方形。 10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD 交于点O,分别过点C,D作CF∥BD,DF∥ AC,连接BF交AC于点E。 (1)求证：△FCE≌△BOE; (2)用“矩形、菱形、正方形”填空： ①当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形 OCFD为 ②当△ADC满足AD=CD时，四边形 OCFD为 ； ③当△ADC满足AD=CD,∠ADC=90° 时，四边形OCFD为 第一章特殊平行四边形 C拓展应用●。 深度思考 11.问题情境：如图1，四边形ABCD是正方形， M是BC边上的一点，E是CD边的中点， AE平分∠DAM。 图1 图2 探究展示： (1)证明：AM=AD+MC; 拓展延伸： (2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩 形，其他条件不变，如图2，探究展示(1) 中的结论是否成立？请作出判断，不需要 证明。 7,BD⊥EF,∴.□BEDF为菱形 ,DE=√OD+OE=√4+2=2√5， .四边形BEDF的周长为4DE=8√5。 第8课时正方形的性质与判定(2) 1.D2.D3.C4.B 5.证明：：四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形， ∴.∠A=∠D=90°，EF=FG。 ∴.∠AEF+∠AFE=90°。 又.AE=DF,.Rt△AEF≌Rt△DFG(HL)。 ∴∠AEF=∠DFG。 ∴∠DFG+∠AFE=90°。 ∴∠EFG=90°。 .四边形EFGH是正方形。 6.⑥ 7.①②或①③（填写一组即可） 8.AB=AC(答案不唯一) 9.证明：由题意，∠AFG=∠FGH=∠AHG=90°， ∴.四边形AFGH是矩形。 ∴.∠HAF=90°. 四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°。 :∠DAF+∠FAE=90°，∠HAB+∠FAE=90, ∠DAF=∠BAH. ∠DAF=∠BAH, 在△AFD和△AHB中，∠AFD=∠AHB, AB=AD, .△AFD≌△AHB(AAS),.AF=AH。 ∴四边形AFGH是正方形。 10.(1)证明：.CF∥BD,DF∥AC, .四边形CFDO是平行四边形， ∠OBE=∠CFE,∠BOE=∠FCE, ..CF=OD, ,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ..OB=OD,..OB=CF, .△FCE≌△BOE(ASA)。 (2)①菱形②矩形③正方形 11.(1)证明：如答图，延长AE,BC交于点N, 四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC,∴.∠DAE=∠ENC 又.AE平分∠DAM,'.∠DAE=∠MAE ∴.∠ENC=∠MAE。 在△AMN中，'∠ENC=∠MAE,.AM=MN E是CD边的中点，∴.DE=CE。 ∠DAE=∠CNE, 在△ADE和△NCE中， ∠AED=∠NEC, DE=CE, ∴.△ADE≌△NCE(AAS),∴.AD=NC .AM=MN,且MN=NC+MC, 参考咨索 ∴.AM=NC+MC=AD+MC M C .N 答图 (2)解：(1)中AM=AD+MC仍然成立。 第9课时☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 一、阅读 (一)操作与画图 1.如答图1，故答案为：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直 且互相平分的四边形为菱形。 答图1 答图2 答图3H 2.连接AC,再作AC的垂直平分线分别与AD,BC交于E,F, 连接AF,CE,则四边形AFCE是所求作的菱形。作图如答 图2。 3.如答图3所示，让矩形的两条对角线互相重合，重叠部分（四 边形AECF)是所求作的菱形。 (二)证明与计算 1.证明：如答图2，对角线AC,EF相交于点O。 :ABCD是矩形，AD∥BC∴∠OAE=∠OCF, EF是AC的垂直平分线， ∴.OA=OC,∠AOE=∠COF=90°， ∴.△AOE≌△COF,.∴.OE=OF, .四边形AFCE为平行四边形。 又，ACLEF,∴.平行四边形AFCE为菱形。 22 (三)拓展与应用 1：3或3：1 二、阅读 解：任务一： 1.135 2.把a=2十√2代人√2x=a-2x, 得V2x=2十√2-2x,√2x十2x=2十√2， x(2+√2)=2+√2，.x=1。 任务二： 1.①作正方形及对角线，确定对称中心：②在正方形四条边上