1.4 第2课时正方形的判定-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 第2课时 正方形的判定 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.考探究题如图，有Rt△ABD,∠A=90°，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为 半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C,连接BC,DC.再 添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的为 () A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABD=∠CBDD.∠ABC=90° (第1题》 (第2题) 2.[2025乐山中考]如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件 使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC= 90°.正确的组合是 (填一种即可). 3.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边上的中线，以AD,CD为边作□ADCF,连接 BF,分别与AD,AC相交于点E,G. (1)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请说明理由. (2)在(1)的条件下，若AB=62,求EF的长 (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.[2025济南莱芜期中]如图，正方形ABCD的边长为4，G是BD上一动点，GE⊥CD于点E,GF⊥ BC于点F,连接EF,给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G 为BD上任意一点，则AG=EF;③点G在运动过程中，GE十GF的值为定值4；④点G在运动 过程中，线段EF的最小值为3√2.其中正确的有 () A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 0 B C (第4题) (第5题) 5.如图，在矩形ABCD中，AD>AB,点E,F分别在边AD,BC上，EF∥AB,AE=AB,AF与BE 12 第一章特殊平行四边形 相交于点O,连接OC.若BF=2CF,则OC与EF之间的数量关系为 () A.2OC=√5EF B.5OC-2EF C.20C=J3EF D.OC=EF 6.如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MNBC,设MN交 ∠BCA的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F,连接 M E 0 AE,AF.如果点O运动到AC的中点处，那么当∠ACB的度数为 D 时，四边形AECF是正方形 (第6题) 7.如图，在正方形ABCD中，AB=3√2，E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED, 交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG (1)求证：矩形DEFG是正方形 (2)求AG+AE的值， (3)若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积. (第7题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维。 8.【问题情境】数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图②，在正方形ABCD内取一 点E,使∠CED=90°，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E',射线DE,E'B交于点F,O是 AC的中点， 【特例研究】启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图①，发现当点E在对角 线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE'C的形状为正方形 【探究发现】(1)博学小组发现，如图②，只要∠CED=90°，四边形EFEC的形状都是正方形，请 证明. (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图③，取BC中点G,连接EG,FO,AF,又发 现：在点E运动过程中，FO与EG始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. (E B(F) ① ③ (第8题) “答案与解析”见P9 13角三角形 ① ② 0 D N ③ (第8题) 第2课时正方形的判定 1.D由作图知AD=BC,CD=AB,∴.四边形ABCD是 平行四边形.：∠A=90°，∴.四边形ABCD是矩形.添加 ∠ABC=90°，不能判定四边形ABCD是正方形. 2.答案不唯一，如①②：四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.，AC=BD,∴.四边 形ABCD是正方形.·四边形ABCD是平行四边形 AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.：'∠ADC=90°， ∴.四边形ABCD是正方形.正确的组合是①②或①③. 3.(1)当△ABC满足AC=AB时，四边形ADCF为正方 形.理由：：∠CAB=90°，AC=AB,AD是BC边上的中 线，.AD=CD=BD,AD⊥BC.:四边形ADCF是平行 四边形，且AD=CD,∴.四边形ADCF是菱形.：AD⊥ BC,∴.四边形ADCF为正方形.(2)由(1)，得∠ADB= 90°.：AD=BD,AB=6√2，∴易得AD=BD=AF=6. :四边形ADCF为正方形，∴.∠FAD=90°，AF∥CD.在 「∠AEF=∠DEB, △FAE和△BDE中，∠FAE=∠BDE=90°，.△FAE≌ AF=DB. △BDE.AE=DE=号AD=号×6=3，EF=BE. ∴.EF=BE=√AF2+AE=35. 4.A四边形ABCD是正方形，∴.∠C=90°，AD= DC,∠CBG=∠CDG=∠ADG=45°.，GE⊥CD于点 E,GF⊥BC于点F,∴.∠GEC=∠GED=∠GFC= ∠GFB=90°.∴.四边形GFCE是矩形，∠EGD=∠EDG= 45°，∠FGB=∠CBG=45°.∴.DG=√2GE,BG=2GF. :G为BD的中点，.DG=BG..GE=GF..四边形 GFCE是正方形，故①正确.连接GC,:'四边形GFCE是 矩形，∴.EF=GC.在△ADG与△CDG中， (AD=CD. ∠ADG=∠CDG,∴.△ADG≌△CDG.∴.AG=GC. DG=DG, .AG=EF,故②正确.，∠EGD=∠EDG=45°， .GE=ED.四边形GFCE是矩形，.GF=CE. ∴.GE+GF=ED+CE=CD=4,即GE+GF的值为定值 4,故③正确.：EF=GC,.当CG最小时，EF最小 ∴.当CG⊥BD时，CG最小.在Rt△BCD中，BD= VCD+BC=42,:Sam=2BD·0G=BC· CD,∴.42CG=4×4..CG=22.∴.线段EF的最小 值为2√2，故④错误.∴.正确的有①②③. 5.A过点O作OH⊥BC于点H.:四边形ABCD是矩 形，.AD∥BC,∠ABC=90°.EF∥AB,∴.四边形 ABFE是矩形.又，'AE=AB,∴.四边形ABFE是正方 形.∴EF=BF,∠BOF=90°，OB=OF.∴.BH=HF= OH=号BF=号ER.:BF=2CF,易得CH=20H. .OC=OH2+CH2=/50H,20C=/5EF. 6.90 思路导引 CE,CF为∠ACB,∠ACD的平分线 MNI∥BC ∠ACE=∠BCE ∠FEC=∠BCE ∠ACF=∠DCF ∠EFC=∠DCF OE=OC,OC=OF OA=OC OE=OF ∠ECF=909 四边形AECF为平行四边形 若∠ACB=90°，则易知CE=CF四边形AECF为矩形 四边形AECF为正方形 过点E作EH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD于点G ,CE,CF分别为∠ACB,∠ACD的平分线，.∠ECH ∠ECO,∠FCO=∠FCG.∴.易得∠ECF=90°..MN∥ BC,.∠FEC=∠ECH..∠FEC=∠ECO.∴.OE= OC.同理，可得OC=OF.∴.OE=OF.·点O运动到AC 的中点处，∴.OA=OC..四边形AEC℉为矩形.若 ∠ACB=90°，则AC⊥BD.'MN∥BC,,∴.AC⊥MN,即 AC⊥EF..四边形AECF为正方形. 7.(1)作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.·'四边形 ABCD是正方形，∴.∠EAD=∠EAB.:EM⊥AD于点 M,EN⊥AB于点N,∴.EM=EN.:'∠EMA=∠ENA ∠DAB=90°，∴.四边形ANEM是矩形.，EF⊥DE .∠MEN=∠DEF=90°...∠DEM=∠FEN. :∠EMD=∠ENF=90°，.△EMD≌△ENF..ED= EF.,四边形DEFG是矩形，∴.四边形DEFG是正方 形.(2)，四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正 方形，∴.DG=DE,DC=DA=AB=32,∠GDE= ∠ADC=90°.∴.∠ADG=∠CDE..△ADG≌△CDE. .AG=CE.∴.AE+AG=AE+EC=AC=√2AD=6. (3)连接DF,,四边形ABCD是正方形，，.AB=AD= 32,AB,/CD.:F是AB的中点，AF=FB=3y2 2 Dr=D+F=32+(2T=3 2 :正方形DEG的面积=专DF=号×(3)°-望 8.(1),四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，BC CD.∴.∠BCE十∠DCE=90°.，点E绕点C逆时针旋转 90得到点E',∴.CE=CE',∠ECE'=90°..∠BCE十 ∠BCE'=90°..∠DCE=∠BCE'..△CBE'≌△CDE .∠CED=∠CEB=90°.∴.四边形EFEC的形状是矩形. 又，CE=CE,.四边形EFEC是正方形.(2)FO= 2E'G.理由：如图，连接BD,OG,四边形ABCD是正 方形，O是AC的中点，.O是BD的中点，AC=BD. OC=OB=?AC.:四边形EFE'C是正方形，.∠BFE 90.F0=OB=号BD=2AC=0C.:四边形ABCD 是正方形，O是AC的中点，∴.OC=OB,∠BOC=90°， ∠OBC=∠OCB=45°..G是BC的中点，..OG=BG= GC..OC=√OG+GC2=W2GC.,·四边形EFE'C是 正方形，.∠BE'C=90°.G是BC的中点，∴.EG= 号=6C.0C=EEGP0=EEG. E (第8题) 专题特训一特殊平行四边形的折叠问题 1.2或22由题意和折叠的性质得A'G=CG,A'H= CH,∠GA'H=∠BCD=45°，A'F=AF,A'E=AE, ∠EA'F=∠BAD=45°.如图①，当A'G=A'H时，连接 A'A,A'C,则A'G=CG=A'H=CH,∴.四边形A'GCH 是菱形.A'C是∠BCD的平分线..A'C经过点A. ·四边形AEAF也是菱形.·AF=AE=2AB=2如 图②，当A'G=GH时，此时△A'GH是等腰直角三角形， 则点A'与点B重合，.△A'FE和△AFB都是等腰直角 三角形.由勾股定理得AF=2√2.当A'H=GH,即 A'H=GH=CH时，△A'GH和△CGH都是等腰直角三 角形，且∠A'HG=∠CHG=90°，故点A'在直线CD上，此 情况不存在.综上，AF的长为2或22. B(A G ① ③ (第1题) 2.(I)连接CF交BE于点O.由折叠性质得BE是线段 CF的垂直平分线，∴.EF=EC,GF=GC,OF=OC, ∠FOG=∠COE=90°..'FG∥CD,∴.∠OFG=∠OCE. (∠FOG=∠COE, 在△OFG和△OCE中，OF=OC, .∴.△OFG≌ ∠OFG=∠OCE △OCE..GF=EC.∴.EF=EC=GF=GC.∴.四边形 CEFG是菱形.(2)：四边形ABCD是矩形，且AB= 5,AD=13,∴.CD=AB=5,BC=AD=13,∠A=∠D= 90°.∴.△ABF和△DEF都是直角三角形.设EC=a,则 DE=CD-EC=5-a.由(1)可知四边形CEFG是菱形， ∴.EF=EC=a,四边形CEFG的周长为4EC=4a.由折 叠性质得BF=BC=13,在Rt△ABF中，AB=5,BF= 13,由勾股定理得AF=√BF2一AB2=12,.DF= AD-AF=13-12=1.在Rt△DEF中，DE=5-a,EF a,DF=1,由勾股定理得EF2=DE2+DF2,.a2=(5-