第一章 第7课时 正方形的性质与判定(1)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版）】 第7课时 正方形 A基础巩固●。 落实课标 1,正方形、菱形、矩形都具有的特征是( ) A.一个角是直角 B.对角线互相垂直 C.一组邻边相等 D.对角线互相平分 2.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角 线BD上，EF⊥AB,垂足为F,∠BAE= 22.5°，则EF的长为 A.4-2√2 B.3√2-4 C.1 D.√2 3.如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A 的坐标为(1，w5),则点C的坐标为 ( A.(-√5,1) B.(-1,√5) C.(5,1) D.(-√5，-1) 4.如图，已知正方形ABCD、正方形AB'C'D'和 等边三角形AB'D,则图中度数为30°的角有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,则图中的等腰直角三角形有个。 ●>14 的性质与判定(1) B能力提升。。 灵活应用 6.如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形 DCE,则∠AEB的度数是 7.如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线 上，AC=CE,则下列结论：(1)∠ACE=135°； (2)∠E=22.5°；(3)∠DFE=112.5°；(4)AF 平分∠DAC;(5)DF=FC。其中正确的有 (填序号)。 8.如图，四边形ABCD是正方形，延长AD到点 F,使AF=AC,连接CF,求∠DCF的度数。 9.如图，在正方形ABCD中，延长BC到点F,过 点B作BG⊥DF交DF于点G,交CD于点 E。求证：CE=CF。 第一章特殊平行四边形 10.如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点 12.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E,F分 O是其中一个正方形的中心，求图中阴影部 别是CD,AD边上的点，AE与BF相交于点 分的面积。 H。若AF=DE=1,点G是BE的中点，则 GH的长为 13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,E,F是对角线AC上的两点，且 AE=CF,连接DE,DF,BE,BF。 (1)求证：△ADE≌△CBF。 (2)若AB=4√2，AE=2,求四边形BEDF的 周长。 C拓展应用●。· 深度思考 11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是 BC上一点，F是CD延长线上一点，连接 AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若 BE=DF=1,则DM的长度为 A.2 B.√5 C.6 n号 (第11题图) (第12题图) ●>15 ●数学九年级上册(BS) 10.证明：，AB∥DC,AB=FC, .四边形ABCF是平行四边形， 又∠B=90°， ∴平行四边形ABCF是矩形， ∴.AF⊥CD,BC⊥CD,AF∥BC, ∴.∠AGE=∠BCE, .EA=EG, ∴.∠AGE=∠EAG, .∠BCE=∠EAG, 又AF⊥CD,BC⊥CD, ∴∠AFD=90°，∠BCD=90°， ∴.∠EAG+∠CDE=90°，∠BCE+∠DCE=90°， ∴.∠DCE=∠CDE, ∴.ED=EC。 11.(1)证明：BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC, ,AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DBC, ∴.∠ABD=∠ADB,.AB=AD,又AB=BC, ..AD-BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC, .四边形ABCD是菱形， (2)解：，DE⊥BC,CE=3,DE=4, ∴.CD=5,∴.BC=CD=5, .BE=8,.BD=4√5， 在菱形ABCD中，BO=DO,∴.OE=2√5。 12.(1)证明：如答图1，连接AC, :四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ·△ABC是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°， .AB=AC,∠BAC=60°， ,△APE是等边三角形， .AP=AE,∠PAE=60°， :∠BAC=∠PAE,∠BAP=∠CAE, .△BAP≌△CAE(SAS),∴.BP=CE, .BD=BP+PD,.'BD=CE+PD: 答图1 (2)解：如答图2，BD=CE十PD。 答图2 第7课时正方形的性质与判定(1) 1.D2.A3.A4.D5.86.30°7.(1)(2)(3)(4) 8.解：，四边形ABCD是正方形， .∠DAC=∠ACD=45°， .AF-AC, ∴∠ACF=∠AFC= 合180°-∠CA)=67.5, ∠DCF=∠ACF-∠ACD=22.5°。 9.证明：在正方形ABCD中，BC=CD,∠BCD=∠DCF=90°， BG⊥DF, ∠EBC+∠F =∠FDC+∠F=90°， ∴∠EBC=∠FDC,∴△BCE≌△DCF(ASA), ∴.CE=CF。 10.解：连接OA,OD,如答图所示， ,四边形ABCD,四边形OGFE都是正方形， O为正方形ABCD的中心， ∴.OA=OD,∠OAM=∠ODN=45°， ∠AOD=∠GOE=90°， .∠AOM=∠DON, '∠OAM=∠ODN, 在△OAM和△ODN中，OA=OD, ∠AOM=∠DON, .△OAM≌△ODN(ASA), SAOM=SAODN ∴.SI影=SAODM+SACON=S△DM十S△OM=S△oD 1 S正方形ABCD= 1×42=4。 答图 11.D12.2.5 13.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠DAE=∠BCF=45°，AD=CB。 在△ADE和△CBF中， (AD=CB, ∠DAE=∠BCF, AE-CF, .△ADE≌△CBF(SAS) (2)解：，AB=AD=4√2， BD=√AB+AD=√(4V2+(42)=8。 .四边形ABCD是正方形 .AC=BD=8,BD⊥EF, ∴.OD=OB=OA=OC=4。 又.AE=CF=2, ∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-2=2, .四边形BEDF为平行四边形， ,BD⊥EF,∴.□BEDF为菱形 ,DE=√OD+OE=√4+2=2√5， .四边形BEDF的周长为4DE=8√5。 第8课时正方形的性质与判定(2) 1.D2.D3.C4.B 5.证明：：四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形， ∴.∠A=∠D=90°，EF=FG。 ∴.∠AEF+∠AFE=90°。 又.AE=DF,.Rt△AEF≌Rt△DFG(HL)。 ∴∠AEF=∠DFG。 ∴∠DFG+∠AFE=90°。 ∴∠EFG=90°。 .四边形EFGH是正方形。 6.⑥ 7.①②或①③（填写一组即可） 8.AB=AC(答案不唯一) 9.证明：由题意，∠AFG=∠FGH=∠AHG=90°， ∴.四边形AFGH是矩形。 ∴.∠HAF=90°. 四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°。 :∠DAF+∠FAE=90°，∠HAB+∠FAE=90, ∠DAF=∠BAH. ∠DAF=∠BAH, 在△AFD和△AHB中，∠AFD=∠AHB, AB=AD, .△AFD≌△AHB(AAS),.AF=AH。 ∴四边形AFGH是正方形。 10.(1)证明：.CF∥BD,DF∥AC, .四边形CFDO是平行四边形， ∠OBE=∠CFE,∠BOE=∠FCE, ..CF=OD, ,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ..OB=OD,..OB=CF, .△FCE≌△BOE(ASA)。 (2)①菱形②矩形③正方形 11.(1)证明：如答图，延长AE,BC交于点N, 四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC,∴.∠DAE=∠ENC 又.AE平分∠DAM,'.∠DAE=∠MAE ∴.∠ENC=∠MAE。 在△AMN中，'∠ENC=∠MAE,.AM=MN E是CD边的中点，∴.DE=CE。 ∠DAE=∠CNE, 在△ADE和△NCE中， ∠AED=∠NEC, DE=CE, ∴.△ADE≌△NCE(AAS),∴.AD=NC .AM=MN,且MN=NC+MC, 参考咨索 ∴.AM=NC+MC=AD+MC M C .N 答图 (2)解：(1)中AM=AD+MC仍然成立。 第9课时☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 一、阅读 (一)操作与画图 1.如答图1，故答案为：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直 且互相平分的四边形为菱形。 答图1 答图2 答图3H 2.连接AC,再作AC的垂直平分线分别与AD,BC交于E,F, 连接AF,CE,则四边形AFCE是所求作的菱形。作图如答 图2。 3.如答图3所示，让矩形的两条对角线互相重合，重叠部分（四 边形AECF)是所求作的菱形。 (二)证明与计算 1.证明：如答图2，对角线AC,EF相交于点O。 :ABCD是矩形，AD∥BC∴∠OAE=∠OCF, EF是AC的垂直平分线， ∴.OA=OC,∠AOE=∠COF=90°， ∴.△AOE≌△COF,.∴.OE=OF, .四边形AFCE为平行四边形。 又，ACLEF,∴.平行四边形AFCE为菱形。 22 (三)拓展与应用 1：3或3：1 二、阅读 解：任务一： 1.135 2.把a=2十√2代人√2x=a-2x, 得V2x=2十√2-2x,√2x十2x=2十√2， x(2+√2)=2+√2，.x=1。 任务二： 1.①作正方形及对角线，确定对称中心：②在正方形四条边上