第一章 第8课时 正方形的性质与判定(2)（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第8课时　正方形的性质与判定(2) 1．下列命题中，错误的是(D) A．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是(D) A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 3．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角。要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为(C) A．22.5° B．30° C．45° D．90° 4．一个四边形既是矩形又是菱形，边长为5，则它的对角线长为(B) A．5 B．5 C．10 D．25 5．如图，菱形EFGH的三个顶点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，AD，CD上，且AE＝DF，求证：四边形EFGH是正方形。 证明：∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形， ∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG。 ∴∠AEF＋∠AFE＝90°。 又∵AE＝DF，∴Rt△AEF≌Rt△DFG(HL)。 ∴∠AEF＝∠DFG。 ∴∠DFG＋∠AFE＝90°。 ∴∠EFG＝90°。 ∴四边形EFGH是正方形。 6．以下说法中正确的是⑥(填序号) ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形； ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形； ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形； ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形。 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°。则正确的组合是①②或①③(填写一组即可)(只需填一种组合)。 8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，要使四边形AFDE为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是AB＝AC(答案不唯一)(添加一个条件即可)。 9．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H。求证：四边形AFGH是正方形。 证明：由题意，∠AFG＝∠FGH＝∠AHG＝90°， ∴四边形AFGH是矩形。 ∴∠HAF＝90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°。 ∵∠DAF＋∠FAE＝90°，∠HAB＋∠FAE＝90°， ∴∠DAF＝∠BAH。 在△AFD和△AHB中， ∴△AFD≌△AHB(AAS)，∴AF＝AH。 ∴四边形AFGH是正方形。 10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E。 (1)求证：△FCE≌△BOE； (2)用“矩形、菱形、正方形”填空： ①当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形； ②当△ADC满足AD＝CD时，四边形OCFD为矩形； ③当△ADC满足AD＝CD，∠ADC＝90°时，四边形OCFD为正方形。 (1)证明：∵CF∥BD，DF∥AC， ∴四边形CFDO是平行四边形， ∠OBE＝∠CFE，∠BOE＝∠FCE， ∴CF＝OD， ∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OB＝OD， ∴OB＝CF， ∴△FCE≌△BOE(ASA)。 11．问题情境：如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM。 探究展示： (1)证明：AM＝AD＋MC； 拓展延伸： (2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)中的结论是否成立？请作出判断，不需要证明。 (1)证明：如答图，延长AE，BC交于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠ENC。 又∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE， ∴∠ENC＝∠MAE。 在△AMN中，∵∠ENC＝∠MAE，∴AM＝MN。 ∵E是CD边的中点，∴DE＝CE。 在△ADE和△NCE中， ∴△ADE≌△NCE(AAS)，∴AD＝NC。 ∵AM＝MN，且MN＝NC＋MC， ∴AM＝NC＋MC＝AD＋MC。 (2)解：(1)中AM＝AD＋MC仍然成立。 学科网（北京）股份有限公司 $