第一章 第4课时 矩形的性质与判定(1)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第4课时 矩形 A基础巩固 ●● 落实课标 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A.两组对角分别相等 B.两组对边分别相等 C.两条对角线相等 D.两条对角线互相平分 2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,则AO 是△ABD的 A.角平分线 B.中线 C.高线 D.中位线 3.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC。若AC=4,则四边形 DOCE的周长为 A.4 B.8 C.12 D.16 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 70°，CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点，连 接ED,则∠CED的度数是 ( A.20° B.40° C.55° D.70° 5.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边 BC上，且BE=CF。求证：AF=DE。 ● 的性质与判定(1) B能力提升 灵活应用 6.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩 形A'B'CD'的位置，旋转角为a(0°<a<90)。 若∠1=122°，则a= (第6题图) (第7题图) 7.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,OE⊥CD于点E,AC=13,CD=5,则OE= 8.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中 点，EF=5,BC=8,则△EFM的周长是 (第8题图) (第9题图) 9.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于 点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F, AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为 10.如图，四边形ABCD为矩形，对角线交于点 O,DE∥AC交BC延长线于点E。 (1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)若∠E=35°，求∠BOC的度数。 ● 第一章特殊平行四边形 11.如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM C拓展应用。。 深度思考 =AB,且BN⊥AM,垂足为N。 12.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB, (1)求证：△ABN≌△MAD; CD上的点，且AE=CF,连接EF,BF,EF (2)若AD=2,AN=4,求AM的长。 与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF =2∠BAC。 (1)求证：OE=OF; (2)若BC=2√3，求AB的长。 ●>9●数学九年级上册(BS) ,EQ∥BC,.∠AQE=∠ABC=60°， 又：∠BAC=60°，.△AQE是等边三角形， .AQ=AE=QE,∴.BQ=EC。 .CF=AE,.QE=CF, 又.∠ECF=∠ACB=60°， .∠BQE=∠ECF, .△BQE≌△ECF,.∴.BE=EF。 第3课时菱形的性质与判定(2) 1.C 2.证明：(1)在□ABCD中，OA=OC,OB=OD AE=CF,..OE=OF, 又OB=OD,.四边形EBFD是平行四边形。 (2)·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA, ∠BAC=∠DAC, .∠DCA=∠DAC,.DA=DC。 OA=OC,∴.DB⊥EF, 又由(1)知四边形EBFD是平行四边形， .四边形EBFD是菱形。 3.证明：DM∥AB, ∴.∠BAM=∠AMD。 ·△ADC是由△ABC沿AC翻折得到的， .∠CAB=∠CAD,AB=AD,BM=DM, ∴.∠DAM=∠AMD,.AD=DM, ..AD=DM-AB-BM, .四边形ABMD是菱形。 4.AB=BC(答案不唯一) 5.解：添加的条件是“AC⊥EF”。证明如下： AB∥CF, .∠CFD=∠AED, ,D是AC的中点，.AD=CD, M∠AED=∠CFD, 在△AED和△CFD中，{∠ADE=∠CDF, LAD-CD, ∴.△AED≌△CFD(AAS), ∴.ED=FD, 又，DC=DA,.四边形AECF是平行四边形， 又，ACLEF,∴.四边形AECF是菱形 (答案不唯一，合理即可) 6.D7.② 8.(1)证明：AB∥CD, ∠BAC=∠DCA. .AE-CF, ..AE+EF=CF+EF, 即AF=CE。 I∠BAF=∠DCE, 在△ABF和△CDE中，〈∠ABF=∠CDE, AF=CE, ,.△ABF≌△CDE(AAS)。 (2)解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是 菱形。理由如下： 连接BD交AC于点O,如答图。 由(1)得△ABF≌△CDE ..AB-CD,BF-DE, ∠AFB=∠CED,.BF∥DE。 AB∥CD,AB=CD, ∴.四边形ABCD是平行四 答图 边形。 又，AB=AD,.平行四边形ABCD是菱形，.BD⊥AC。 :BF=DE,BF∥DE,∴四边形BEDF是平行四边形， ∴，四边形BEDF是菱形。 9.解：(1)2a (2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形。理 由如下： 如答图1，连接AP。 .PD∥AC,PE∥AB,.四边形ADPE为平行四边形。 :AB=AC,P为BC的中点，∴∠PAD=∠PAE。 PE∥AB,∠PAD=∠APE, .∠PAE=∠APE,.EA=EP, .四边形ADPE是菱形」 D 13 答图1 答图2 (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱 形。如答图2，连接AP。 PD∥AC,PE∥AB,.四边形ADPE是平行四边形 ,AP平分∠BAC,∴.∠1=∠2， AB∥EP,∠1=∠3，∴∠2=∠3， AE=EP,.四边形ADPE是菱形 第4课时矩形的性质与判定(1) 1.C2.B3.B4.B 5.证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC,∠B=∠C=90°， BE=CF .BE十EF=CF十EF,即BF=CE, ∴.△ABF≌△DCE(SAS),.AF=DE。 6.327.68.139.6 10.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC, .DE∥AC, .四边形ACED是平行四边形； (2)解：：DE∥AC,∠E=35°，∴.∠OCB=∠E=35°， 在矩形ABCD中，OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=35°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°。 11.(1)证明：，在矩形ABCD中， .CD∥AB,∠ADM=90°， .∠AMD=∠BAN, 2 ,BN⊥AM, .∠ANB=90°， .∠ADM=∠ANB=90°， AM-AB, .△ABN≌△MAD(AAS). (2)解：.△ABN≌△MAD, ..AN=MD, :AN=4, ∴.MD=AN=4, .在Rt△AMD中 AM=/AD+MD=V/22+42=2√5。 12.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB∥CD, ∠EAO=∠FCO。 又.∠AOE=∠COF,AE=CF, .△AOE≌△COF(AAS),∴.OE=OF。 (2)解：如答图，连接OB, D E 答图 .BE=BF,OE=OF,..OB EF, .∠BEF+∠OBA=90°。 由(1)知△AOE≌△COF,∴.OA=OC。 又，四边形ABCD是矩形，，∠ABC=90°， ∴OB=AC=OA,∠OBA=∠0AB. 又.∠BEF=2∠BAC,∴.2∠BAC+∠BAC=90°， ∴.∠BAC=30°，..AC=2BC=4√3， .AB=√AC-BC=√(4√3)2-(23)2=6。 第5课时矩形的性质与判定(2) 1.C2.C3.D4.BF=DE(答案不唯一) 5.丁6.D7.②③④ 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD,AD∥BC,.∠D=∠BCE, AD=BC, 在△ADC和△BCE中，〈∠D=∠BCE: DC=EC, .△ADC≌△BCE(SAS)。 (2)解：添加条件∠CAB=90°（答案不唯一）。 理由：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CE,AB=CD,又CE=CD, ∴.AB=CE, .四边形ABEC是平行四边形。 .∠CAB=90°， .四边形ABEC是矩形。 参考苔宋 9.(1)证明：AF∥BC, .∠AFE=∠DCE, 点E为AD的中点， ..AE=DE, 在△AEF和△EDC中， I∠AFE=∠DCE, ∠AEF=∠DEC, LAE-DE, ∴.△EAF≌△EDC(AAS), ..AF-CD, D是BC的中点，CD=BD, .'AF=BD (2)证明：，AF∥BD,AF=BD, .四边形AFBD是平行四边形， .AB=AC,BD=CD, ∠ADB=90°， .平行四边形ADBF是矩形。 10.(1)证明：BE∥FC, ∴∠BEH=∠CFH, :点H是BC的中点， ∴.BH=CH, ,∠BHE=∠CHF, .△BEH≌△CFH(AAS). (2)解：当BH=EH时，四边形BFCE是矩形。 .△BEH≌△CFH, ∴.BE=CF,EH=FH, 又BE∥CF, .四边形BFCE是平行四边形。 .当BH=EH时，BC=EF, 四边形BFCE是矩形。 第6课时菱形与矩形的性质与判定专项训练 1.B2.A3.D4.132+23 5.1256.907.13√28.4 9.(1)证明：，AF∥CD,∴.∠EAF=∠ECD, E是AC中点，∴AE=EC, 易证△AEF≌△CED(ASA), .AF=CD,.四边形AFCD是平行四边形， .∠ACB=90°，AD=DB, .CD=AD=BD,∴.四边形AFCD是菱形。 (2)△DFB是等腰三角形。理由： 在Rt△ABC中，AC=5W3,BC=5, .AB=√AC+BC=√(53)2+52=10。 点D是AB的中点， 六BD=ZAB=5。 由(1)知，DF=CD=2AB=5. .DF=BD=5。 △DFB是等腰三角形。