1.3 矩形的性质与判定同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.3 矩形的性质与判定 同步练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别平行 C．对角线相等 D．两组对角分别相等 2．如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在矩形中，对角线、相交于点O，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，矩形中，点在上，且平分，，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 7．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 8．如图，中，D为边上一点，作，，若四边形为矩形，则应添加条件（     ） A． B． C． D． 9．某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．10个 C．9个 D．8个 10．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 12．课外活动课上，小明用矩形玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形沿对折，折出折痕，并展开；第二步，将纸片折叠，使点落在上点，若，则折痕的长等于______． 13．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则____；当时，对应的的值是____ 14．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 15．如图，直线与坐标轴分别交于点，，点是线段上一动点，过点作轴于点，作轴于点，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题 16．如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． (1)试探索与之间的数量关系； (2)点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 17．如图，某课外小组为一幅面积为的画作（图中阴影部分）装裱了衬纸，装裱后整幅图画为矩形，其中，，求边衬（图中空白部分）的面积． 18．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 19．如图，四边形是校园小湖步道．某班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正东方向、点在东北方向，在点处测得点在正西方，点在南偏东方向；第二小组测得米．（参考数据：，，，） (1)计算的长度（计算结果保留到根号形式）； (2)学校购置了两台机器人清扫小湖步道，甲机器人清扫路线是方向，乙机器人清扫路线是方向，已知甲机器人清扫的速度是每分3米，乙的清扫速度是每分2米．两台机器人同时开始工作，多少时间能够相遇？（计算结果保留整数）． 20．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C A C D D B A 1．【答案】C 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】对比两种图形的性质，找出矩形具有而菱形不一定具有的选项即可． 【详解】∵矩形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相平分且相等；菱形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴逐个对比选项：A 对角线互相平分，矩形和菱形都具有，不符合要求； B 两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，不符合要求； C 对角线相等，矩形一定具有，菱形不一定具有，符合要求； D 两组对角分别相等，矩形和菱形都具有，不符合要求； 故选C． 2．【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长与直线b交于点M， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， 又 ， 为等边三角形， ， ． 4．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】由矩形的性质得出，得出，由角平分线和等腰三角形的性质得出求出，由直角三角形的性质得出，得出，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， 矩形面积：； 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明是解题的关键． 5．【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、求角的余弦值 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，计算中线的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 是斜边上的中线， ． 7．【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 8．【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 若添加，，，均无法证明四边形为矩形； 若添加，可证四边形为矩形． 9．【答案】B 【知识点】平行四边形性质的其他应用、利用矩形的性质证明、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意．过点作，交的延长线于点，求出，，进一步求出，从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果． 【详解】解，如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意得m，m，m， 由勾股定理得，m， 在直角中，， ， ， ， ， ， 在直角中，， ， ， 故取整数5， 另一侧与其对称， ， 故选：B． 10．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 11．【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形的判定，根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：,, 则四边形是平行四边形， 又, 则平行四边形是矩形， 则甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 12．【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形与折叠问题以及含有角的直角三角形的性质，根据折叠的性质，得到，，，即可作答． 【详解】四边形为矩形， 由折叠的性质可得：，，， 在中， 故答案为：． 13．【答案】 4 12 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】首先根据图象判断出当时，，此时点P和点B重合，求出，然后根据三角形面积求出，然后求出当时，，然后将代入求解即可． 【详解】解：由图象可得，当时，，此时点P和点B重合， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， 根据题意得，当点P在上时，即时，； 当点P在上时，即时，； ∴当时，， 解得． 14．【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图，连接，首先求出，，利用勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，当时，最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， 直线与坐标轴分别交于点A，B， 当时，， ∴， ， 当时，， 解得， ∴， ∴， ， 轴，轴，， 四边形是矩形， ， 当时，最小，即最小， ∵， ∴， ， ， ∴线段的最小值为． 16．【答案】(1) 解：，理由： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； (2) 解：当O为中点时，四边形是矩形． 证明：∵O为中点， ∴． 又由（1）知，， ∴四边形是平行四边形. ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、证明四边形是矩形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义和平行线的性质得，进而得出，同理得，则答案可得； 对于（2），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、二次根式的乘法 【分析】先求解矩形的面积，进一步可得边衬的面积． 【详解】解：在矩形中，，， 矩形的面积， 边衬的面积． 答：边衬的面积为． 18．【答案】(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 19．【答案】(1)米 (2)两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇 【知识点】含30度角的直角三角形、几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点C作于点E，过点D作于点F，结合题意得到四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到米，米，则米，再根据等腰直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）根据题意得到米，两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F，则， ∴四边形是矩形，则， 根据题意，， ∵在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米； （2）解：由（1）可得米， ∴（米）， ∴（米）， 设两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇， ∴， 解得，， ∴两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇． 20．【答案】(1) (2)； (3)或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $