第一章 第3课时 菱形的性质与判定(2)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学九年级上册(BS) ,EQ∥BC,.∠AQE=∠ABC=60°， 又：∠BAC=60°，.△AQE是等边三角形， .AQ=AE=QE,∴.BQ=EC。 .CF=AE,.QE=CF, 又.∠ECF=∠ACB=60°， .∠BQE=∠ECF, .△BQE≌△ECF,.∴.BE=EF。 第3课时菱形的性质与判定(2) 1.C 2.证明：(1)在□ABCD中，OA=OC,OB=OD AE=CF,..OE=OF, 又OB=OD,.四边形EBFD是平行四边形。 (2)·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA, ∠BAC=∠DAC, .∠DCA=∠DAC,.DA=DC。 OA=OC,∴.DB⊥EF, 又由(1)知四边形EBFD是平行四边形， .四边形EBFD是菱形。 3.证明：DM∥AB, ∴.∠BAM=∠AMD。 ·△ADC是由△ABC沿AC翻折得到的， .∠CAB=∠CAD,AB=AD,BM=DM, ∴.∠DAM=∠AMD,.AD=DM, ..AD=DM-AB-BM, .四边形ABMD是菱形。 4.AB=BC(答案不唯一) 5.解：添加的条件是“AC⊥EF”。证明如下： AB∥CF, .∠CFD=∠AED, ,D是AC的中点，.AD=CD, M∠AED=∠CFD, 在△AED和△CFD中，{∠ADE=∠CDF, LAD-CD, ∴.△AED≌△CFD(AAS), ∴.ED=FD, 又，DC=DA,.四边形AECF是平行四边形， 又，ACLEF,∴.四边形AECF是菱形 (答案不唯一，合理即可) 6.D7.② 8.(1)证明：AB∥CD, ∠BAC=∠DCA. .AE-CF, ..AE+EF=CF+EF, 即AF=CE。 I∠BAF=∠DCE, 在△ABF和△CDE中，〈∠ABF=∠CDE, AF=CE, ,.△ABF≌△CDE(AAS)。 (2)解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是 菱形。理由如下： 连接BD交AC于点O,如答图。 由(1)得△ABF≌△CDE ..AB-CD,BF-DE, ∠AFB=∠CED,.BF∥DE。 AB∥CD,AB=CD, ∴.四边形ABCD是平行四 答图 边形。 又，AB=AD,.平行四边形ABCD是菱形，.BD⊥AC。 :BF=DE,BF∥DE,∴四边形BEDF是平行四边形， ∴，四边形BEDF是菱形。 9.解：(1)2a (2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形。理 由如下： 如答图1，连接AP。 .PD∥AC,PE∥AB,.四边形ADPE为平行四边形。 :AB=AC,P为BC的中点，∴∠PAD=∠PAE。 PE∥AB,∠PAD=∠APE, .∠PAE=∠APE,.EA=EP, .四边形ADPE是菱形」 D 13 答图1 答图2 (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱 形。如答图2，连接AP。 PD∥AC,PE∥AB,.四边形ADPE是平行四边形 ,AP平分∠BAC,∴.∠1=∠2， AB∥EP,∠1=∠3，∴∠2=∠3， AE=EP,.四边形ADPE是菱形 第4课时矩形的性质与判定(1) 1.C2.B3.B4.B 5.证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC,∠B=∠C=90°， BE=CF .BE十EF=CF十EF,即BF=CE, ∴.△ABF≌△DCE(SAS),.AF=DE。 6.327.68.139.6 10.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC, .DE∥AC, .四边形ACED是平行四边形； (2)解：：DE∥AC,∠E=35°，∴.∠OCB=∠E=35°， 在矩形ABCD中，OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=35°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°。 11.(1)证明：，在矩形ABCD中， .CD∥AB,∠ADM=90°， .∠AMD=∠BAN, 2数学·九年级·上册（北师大版） 第3课时菱形 A基础巩固 落实课标 1.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱 形的是 3 B. 659 D 70°55% 65°2 2.如图，在□ABCD中，AC,BD交于点O,点E, F在AC上，AE=CF。 (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD 是菱形。 3.如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连 接BM。将△ABC沿AC翻折，使点B落在点 D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是 菱形。 ●> 的性质与判定(2) 4.【新趋势·条件开放】如图，在四边形ABCD 中，AD=BC,AB=CD,AC与BD相交于点O, 请添加一个条件 使四边形ABCD是菱形。 5.【新趋势·条件开放】如图，在△ABC中，D是 AC的中点，E是AB上一点，连接ED并延长 ED到点F,使AB∥CF。连接CE,AF,请添 加一个条件使四边形AECF为菱形，并加以 证明。 B能力提升●。 灵活应用 6.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, 以下条件不能证明口ABCD是菱形的是 A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD2=AD2 D.AD2+0A2=OD2 6 ● 第一章 特殊平行四边形 7.如图，在△ABC中，AD,CD分别平分∠BAC C拓展应用●· 深度思考 和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD。若从三个条 9.【教材P27T8变式】如图1，△ABC为等腰三 件①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC中，选 角形，AB=AC=a,点P是底边BC上的一个 择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 动点，PD∥AC交AB于点D,PE∥AB交 为菱形的是 (填序号)。 AC于点E。 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E,F 图1 图2 是对角线AC上两点，且∠ABF=∠CDE,AE (1)用a表示四边形ADPE的周长： =CF。 (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是 (1)求证：△ABF≌△CDE; 菱形？请说明理由； (2)当四边形ABCD的边AB,AD满足什么 (3)如果△ABC不是等腰三角形，如图2，其他 条件时，四边形BEDF是菱形？说明理由。 条件不变，点P运动到什么位置时，四边 0 形ADPE是菱形（不必说明理由）？ ●>7●