1.2 菱形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.2 菱形的性质与判定 同步练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8．则菱形ABCD的面积为（    ） A．24 B．48 C．20 D．25 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 7．阅读以下作图步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M； （2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P； （3）作射线，连接，，如图所示． 根据以上作图，不一定可以推得的结论是（    ） A．平分 B．四边形为菱形 C． D． 8．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点，过点作，垂足为，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这个四边形一定是__________(填形状)． 10．已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可） 11．如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节、之间的距离．已知调节完之后、间的距离为，、间的距离为，则与之间的距离为________． 12．如图，线段，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧交于点C，D，作直线，连接．若，则四边形的面积为_____________． 13．如图，在菱形中，，，、分别是、的中点，是上的动点，连接、，则的最小值是__________． 三、解答题 14．如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，中，，，，对角线、交于O点，将直线绕点O顺时针旋转，分别交、于点E、F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)猜想：当绕点O顺时针旋转多少度时，四边形是菱形． 16．综合与实践：折纸中的数学 [问题背景] 在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6． 老师提出问题：如图1，把Rt△ABC沿着直线DE折叠，D、E分别是AB和BC上的点，顶点B的对应点B'恰好落在线段AC的中点处，求CE的长． 接下来各学习小组先解决老师提出的问题，然后动手操作起来，发现很多有趣的数学问题，请你解决他们提出的问题． [解决问题] (1)“勤奋“小组解答老师提出的问题的过程如下：（填空） 解：由折叠可知，B'E＝　 　 设CE＝x，则B'E＝6﹣x； 在Rt△B'CE中，由勾股定理列方程得，　 　 解得x＝　 　；即CE的长为　 　 (2)[深入探究]“奋斗”小组将直角三角形纸片ABC按图2方式折叠，点B'落在线段AC上，发现当四边形B'EBD为菱形，求B'C的长有点困难； “夺冠“小组的思路是：连接B'B，过点B'作B'F⊥AB于点F，根据等积法，⋯. 请你参照“夺冠”小组的思路或其他方法求出B'C的长． (3)[拓展探究]“探究”小组发现，如图3，若E是BC的中点，点D在线段AB运动，将直角三角形纸片ABC按图3方式折叠，连接AB'，AB'是否存在最小值；若存在，请你直接写出AB'的最小值；若不存在，请简要说明理由． 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点P，Q分别是边，线段上的点，连接，，与相交于点E． (1)如图1，连接，当时，试判断点Q是否在线段的垂直平分线上，说明理由． (2)如图2，若，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A B D C C C 1．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 2．【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据菱形的四条边都相等，即可解答． 【详解】解：在菱形中，， ∴． 故选A． 3．【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为：×6×8=24． 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 4．【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念以及等边三角形、菱形、平行四边形和正多边形的性质求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 5．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查的是角平分线的作图，菱形的判定与性质，掌握作角平分线的方法是解本题的关键；由作图可得，，再逐一分析可得答案． 【详解】解：由作图可得：，， ∴平分，四边形为菱形， ∴， 而不一定成立， 故A，B，D不符合题意；C符合题意； 故选C 8．【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形，根据对称得到，进而得到四边形为菱形，根据菱形的性质结合三角函数，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，和关于直线对称， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 9．【答案】菱形 【知识点】证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题主要考查了剪纸问题以及菱形的判定，直接利用折叠方法结合菱形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形， 那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边，即四条边都相等， 故此四边形是菱形． 故答案：菱形 10．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【详解】解：∵邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形， ∴可添加的条件为（答案不唯一）. 11．【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出菱形的边长及面积，即可求出菱形的高，根据图形可知与之间的距离是菱形的高的3倍，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图, 有， ∴，，， ∴， 设菱形的高为h，则 ， 即， ∴与之间的距离为． 故答案为． 12．【答案】24 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】由作图可知，得到四边形是菱形，利用求解即可． 【详解】解：如图， 由作图可知， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、两点之间线段最短、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】因为菱形是轴对称图形，是它的一条对称轴，所以可以作点M关于的对称点，利用对称将转化为对称点到P的距离．根据两点之间线段最短，当对称点、P、E三点共线时，取得最小值，即为对称点到E的线段长度．先结合菱形对角线的长度，利用勾股定理求出菱形的边长，再结合中点的性质，通过相关几何关系计算该线段的长度． 【详解】解：设对角线交点为O， ∵，， ∴， ∴。 ∵菱形的对角线是对称轴，作关于的对称点， ∵、分别是、的中点， ∴根据对称性，是中点，且， ∴。 根据两点之间线段最短， 的最小值为线段的长度， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值为． 14．【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，即可解答． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求． 以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，此时垂直平分． 平分 在和中 与互相垂直平分 四边形为菱形． 15．【答案】(1)见解析 (2) (3)当旋转角时，四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定理得出，由此可得出结论； （2）在中由勾股定理求的长，再利用求出的长，即可得出结论； （2）连接，，与互相平分可知，当时四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：∵平行四边形中，， ， 在和中， ，； （2）解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）当旋转角时，四边形是菱形，理由如下： 连接，，   四边形平行四边形， ， 由（1）知，， ， 四边形是平行四边形， 由（2）知，， 又， ， ， 四边形是菱形， 即在旋转过程中，四边形能是菱形，此时绕点O顺时针旋转的度数是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 16．【答案】(1)BE，x2+42＝（6﹣x）2，，； (2)CB′＝3； (3)AB′的最小值为﹣3 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求线段长、三角形三边关系的应用、角平分线的性质定理 【分析】（1）设CE＝x，则BE＝6﹣x；在Rt△B'CE中，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题． （2）如图2中，作B′H⊥AB于H．连接BB′．首先证明B'C＝B'H，设B'C＝B'H＝x，构建方程即可解决问题． （3）如图3中，连接AE，E B'，A B'．在△A B'E中，利用三角形长三边关系即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点B'落在AC的中点， ∴CB'＝AC＝4， 设CE＝x，则BE＝6﹣x， 由折叠得：B'E＝BE＝8﹣x， 在Rt△B'CE中，由勾股定理得x2+42＝（6﹣x）2， 解得：x＝， 即CE的长为． 故答案为：BE，x2+42＝（6﹣x）2，，； （2）解：如图2中，作B'H⊥AB于H．连接B B'． ∵EB＝E B'，DB＝D B'，BE＝BD， ∴BE＝EB'＝B'D＝DB， ∴四边形BEB′D是菱形， ∴∠B'BD＝∠B'BE， ∵B'C⊥BC，B'H⊥AB， ∴B'C＝B'H，设B'C＝B'H＝x． 在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∵S△ABC＝S△BCB'+S△ABB'， ∴•AC•BC＝•BC•x+•AB•x，即×6×8=×6x+×10x， ∴x＝3， ∴CB'＝3． （3）解：如图3中，连接AE，E B'，A B'． 在Rt△ACE中，∵AC＝8，EC＝3， ∴AE＝＝＝， ∵EB＝EC＝EB'＝3， ∴点B'在以点E为圆心，3为半径的圆上， ∴AB'≥AE﹣B'E，（当A、B'、E三点共线时取等号）， ∴AB'≥﹣3， ∴AB'的最小值为﹣3． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质及其应用、角平分线的性质定理、菱形的性质、勾股定理、圆的定义、三角形的三边关系、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系，借助勾股定理列方程进行解答，属于中考压轴题． 17．【答案】(1)结论：点Q在线段的垂直平分线上， 理由：如图1，连接， ∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ，， ． ， ， ∴点Q在线段的垂直平分线上； (2)证明：∵四边形是菱形， ， ，． ， ， ． ， ， ，，即， ． ， ， 是等边三角形， ∴， ， ． 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接，根据菱形的性质可得，，进而利用线段垂直平分线的判定与性质可得结论； （2）根据菱形的性质和等腰三角形的性质可证明，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，则，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $