期中真题重组卷（无锡专用，范围：新教材苏科版九上第1～3章）九年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册第1~3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程是指只含一个未知数、且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.方程中，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，本选项不符合题意； B.方程中，含分式，不是整式方程，本选项不符合题意； C.方程中，含有x、y两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D.方程，是一元二次方程，本选项符合题意． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 3．（26-27九年级上·广西·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先计算出，然后再判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解： ， ， 方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 6．（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期中）某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C，D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设当时，关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ∴，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 8．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，可推出，最后根据所画射线为的角平分线可求得答案． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 根据作图步骤可得：平分， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江金华·期中）对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【答案】D 【分析】A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根， 代入方程得，整理得， ∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得， 将代入方程得， ∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和， 则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，， ∴，可得， 又∵， ∴，方程判别式， ∴方程一定有实数根，故D正确． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据“对偶关系”的定义，若在，在，、关于轴对称，则横坐标为时，横坐标为，二者纵坐标相等，据此逐一验证每个结论即可，用到一次函数、反比例函数的点坐标特征和一元二次方程根的判别知识。 【详解】解：根据定义，设，则关于轴的对称点为，若两函数具有“对偶关系”，则在图象上，满足，纵坐标为“对偶值”， ①对于，，代入得，， 令，解得， 存在实数解，因此两函数具有“对偶关系”，故①错误； ②由①得，对偶值为，故②正确； ③对于，，代入得，， 令，整理得， ， 方程有实根，存在满足条件的点， 因此两函数具有“对偶关系”，故③正确； ④是“对偶值”， 纵坐标为， 在上，令，得，即， 与关于轴对称， ，将代入得，解得，故④正确； 综上，②③④正确. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（26-27九年级上·山东·期中）若是方程的一个根，则a的值等于______． 【答案】2 【分析】根据方程的根的定义，将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·新疆哈密·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得． 13．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）设是方程的两个实数根，则的值为_____ 【答案】 【分析】利用方程根的定义对所求式子变形降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 14．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 15．（25-26九年级下·四川内江·期中）如图，反比例函数与直线交于A、B两点，，，则_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象与正比例函数图象的对称性，可知交点与点关于原点对称，从而得出，，再结合反比例函数图象上点的坐标特征得到，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：反比例函数与直线的图象均关于原点对称 它们的交点与关于原点对称 ， 点在反比例函数的图象上 ． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是______cm． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是熟练掌握圆锥及其侧面展开图中相关量之间的关系．根据圆锥底面周长等于扇形弧长建立方程求解即可． 【详解】解：设扇形纸板的半径为 ， 扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是， 根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，， 解得，． 答：这个扇形纸板的半径是． 故答案为：． 17．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】/ 【分析】先求出反比例的解析式，联立方程，求出点的坐标，再求出一次函数与坐标轴的交点，判断出为等腰直角三角形，推出，然后根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】∵据题意可知，点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数为， ∵为一次函数的图象与反比例函数的交点， ∴， ∵，整理得：，解得：，， ∴点， ∵与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即，当时，，即， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 18．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】连接交于G，连接，根据正六边形的性质得出，，正六边形关于直线对称，根据轴对称的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，则当点M，A重合时，，结合，求出，即可判断结论①；连接交于H，同理可求，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为，结合，求出的最小值为，的最大值为，即可判断结论②；由②知点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动，故当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值，即可判断结论③． 【详解】解：连接交于G，连接， ∵正六边形的边长为1， ∴，，正六边形关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴当点M，A重合时，， 又， ∴，故结论①错误； 连接交于H， 同理可求，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M是正六边形边上的一个动点， ∴当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为， 又， ∴的最小值为，的最大值为， ∴，故结论②正确； ∴点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动， ∴当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值， ∴的最小值为，故结论③正确， 综上，正确结论的序号是②③． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（26-27九年级上·河北·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【详解】（1）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 所以方程的解为，； （2）解：， 或， ，． 20．（8分）（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 21．（8分）（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 22．（8分）（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求a的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵方程有一个根大于2， ∴， 解得：． 23．（10分）（25-26八年级下·江苏南京·期中）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【答案】(1)①③ (2)①不安全，见解析；②平方米 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可； ②把代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：①当为定值时，越大，越小，且p与S是反比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； ②当为定值时，越大，越大，且F与S是正比例函数关系， ∴函数图象不符合规律，是错误的； ③当为定值时，越大，越大，p与F是正比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； 综上，正确的有①③； （2）解：①不安全，理由如下： 因为， 故不安全； ②把代入， 得， 根据（1）中的图象可知：当时，， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少平方米． 24．（10分）（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)解：与相切，理由： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； (2) 【分析】（）连接，先证，再说明即可证明结论； （）先说明是等边三角形，进而得到，然后根据勾股定理求得，最后根据阴影面积等于计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 25．（10分）（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 【答案】(1)第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本 (2)科普类资料的采购单价为18元 【分析】（1 ）设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2 ）设科普类资料采购单价为a元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：， 解得，  所以 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本； （2）解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 采购单价不超过20元， ． 答：科普类资料的采购单价为18元． 26．（10分）（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点是正方形的边上一个动点，连接． (1)在线段上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) 如图，点即为所求， (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作于点即可； （2）以的中点为圆心，为直径画圆，则点始终在上，连接、，连接交于点，由正方形的性质可得，，从而可得，求出，可得，再由，得出当点、、在同一直线上时，最小，为． 【详解】（1）略 （2）解：如图，以的中点为圆心，为直径画圆， ∵， ∴点始终在上， 如图，连接、，连接交于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，最小，为， ∴的最小值为． 27．（12分）（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)是 (2)①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立，解得：，， 当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为，点B的坐标为； ，，， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， 四边形是勾股四边形； ②或或或 【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案； （2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到求出A、B两点的坐标；先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论； ②设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可即可求得点的坐标；④当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， 矩形是勾股四边形， 故答案为：是； （2）证明：① 略 ②解：由（2）可知，，，， 设点Q的坐标为， ①如图，当时，   ，， ，解得：， ； ②如图，当时，   ，， ，解得：， ； ③如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则，     ，， 直线， 令，则，解得：， ， ，轴， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，解得：， ， ④如图，当时，   ，， ，解：， ， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 28．（12分）（25-26九年级上·山东潍坊·期中） 【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） 【答案】（1）不同意小莹的观点，发现一：锐角三角形、直角三角形的外接圆是覆盖三角形的最小覆盖圆，钝角三角形的外接圆不是覆盖三角形的最小覆盖圆；发现二：钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆； （2）； （3）①的最小覆盖圆的半径为；②点C的坐标是； （4） 【分析】（1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点，由矩形的性质得到四边形是矩形，点、、、四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）①取外接圆的圆心，连接，，根据圆周角定理和勾股定理求解； ②过点作轴，轴，则四边形是矩形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，即可得到点C的坐标； （4）四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，最小的点需在连线上，过点作于点，由勾股定理求解作差即可． 【详解】解：（1）不同意小莹的观点，在图1中设锐角外接圆圆心为点， 连接，，， 锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 如图，设直角外接圆圆心为点，连接， 则，且为外接圆的直径， 直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆，若钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆，故小莹的说法不正确． （2）如图所示，连接，交于点， 四边形是矩形， ，， 点、、、四点共圆， ， 该矩形的最小覆盖圆的直径为； （3）①取外接圆的圆心，连接，， ，， ， ， ， ， 的最小覆盖圆的半径是； ②过点作轴，轴， 则四边形是矩形， 由①知是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， （4）由（1）知，钝角三角形的最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆， ， 故四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，如图所示，即， 此时，点在圆内，要使最小，点需在连线上，即延长线与圆周的交点， 由于，，， 根据勾股定理求得， 则， 过点作于点， ，， ， ， 则， 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册第1~3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 3．（26-27九年级上·广西·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 5．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 6．（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期中）某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 8．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·浙江金华·期中）对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（26-27九年级上·山东·期中）若是方程的一个根，则a的值等于______． 12．（26-27九年级上·新疆哈密·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 13．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）设是方程的两个实数根，则的值为_____ 14．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 15．（25-26九年级下·四川内江·期中）如图，反比例函数与直线交于A、B两点，，，则_________． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是______cm． 17．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 18．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（26-27九年级上·河北·期中）解方程： (1)； (2)． 20．（8分）（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 21．（8分）（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 22．（8分）（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 23．（10分）（25-26八年级下·江苏南京·期中）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 24．（10分）（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求图中阴影部分的面积． 25．（10分）（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 26．（10分）（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点是正方形的边上一个动点，连接． (1)在线段上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的最小值． 27．（12分）（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 28．（12分）（25-26九年级上·山东潍坊·期中） 【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 4 5 6 8 9 10 A B B ◇ A D D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11.2 12.k<1 13.2025 14.9/九 15.-9 16.12 17.4π-3/-3+4π 18.②③ 三、解答题（本大题共10小题，满分96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(8分) 【详解】(1)解：x2-2x-1=0, 整理得x2-2x=1, 配方得X-2x+1=1+1即x-1?=2 开方得x-1=±V2, 所以方程的解为x,=1+2:X,=1-V2:（4分) (2)解：3(x-2P=xx-2' 3(x-2}2-xx-2=0 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-23(x-2)-x=0 (x-2)川2x-6=0 .∴.X-2=0或2x-6=0, 1=2'为2=3(8分) 20.(8分) 【详解】(1)解：将Bm,-6代入y=x-4得，-6=m-4 m=-2 .B-2,-6(2分) 将B-2,-6代入y=k得，-6= -2 k=12 六反比例函数的解析式为y=12 (3分) X 12 y=x-4 联立y=x-4和y=兰得， 12 y=9 X 解得x=-2或6 12 ,将x=6代入y= 2得，y=61 2 .A6,2;(6分) (2)解：直线AB:y=X-4与反比例函数y=k的图象交于A6,2小、B-2,-6两点。 ∴.由图象得，当-2<x<0或X>6时，直线在反比例函数图象上方， :不等式X-4>上的解集为-2<X<0或x>6.(8分) X 21.(8分) 【详解】(1)证明：连接OC, 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B .CD是⊙O的切线， ∴.∠DCO=∠DCA+∠ACO=90, CE⊥AB .∠CAE+∠ACE=90°， 又.OC=OA, .∠CAE=∠ACO .∠DCA=∠ACE, ∴.CA平分∠DCE.(4分) (2).∠DCA=∠ACE,∠DCA=25°， ∠ACE=25° 又，∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE=∠ACO, ∴.∠CAE=∠ACO=65, ∴.∠AOC=180°-∠CAO-∠AC0=50°， “AC的长 50×6m=5 180*2π= π.(8分) 6 22.(8分) 【详解】1证明：“4=-a-3-4×3×-a=a+3≥0' ∴方程总有两个实数根：(4分) (2)解：“3X-a-3x-a=0 .3x-alx+1=0, 解得：X号X=-1,6分) 方程有一个根大于2， 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：a>6.(8分) 23.(10分) 【详解】(1)解：①当F为定值时，S越大，p越小，且p与S是反比例函数关系， 函数图象符合规律，是正确的： ②当P为定值时，S越大，F越大，且F与S是正比例函数关系， 函数图象不符合规律，是错误的： ③当S为定值时，F越大，p越大，p与F是正比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的： 综上，正确的有①③；(3分) (2)解：①不安全，理由如下： 因为600÷0.03=20000>10000， 故不安全；(6分) ②把p=10000,F=600代入p=5, 得S=0.06, 根据(1)中的图象可知：当S≥0.06时，p≤10000， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少0.06平方米.(10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：BC与⊙O相切，理由： 如图，连接OB B OA=OB. ∴.∠OAB=∠OBA, .CP=CB. .∠CPB=∠CBP, 4/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CPB=∠APO, ∴.∠CBP=∠APO,(3分) .OC⊥OA, .∠AOP=90°， ∴.∠A+∠APO=90°， ∴.∠OBA+∠CBP=90° .∠OBC=90°， :.OB⊥CB, 又，OB是⊙O的半径， ∴.BC与⊙O相切；(5分) (2)解：∠A=30°，∠AOP=90°， ∠AP0=60,OP=号AP=1, ∴.∠BPD=∠APO=60°， .CP=CB, ∴.△PBC是等边三角形，(7分) .∠PCB=∠CBP=60°， .∠OBP=∠POB=30°， ..OP=PB=PC=1, .BC=1, 0B=0A=VAP2-0P=2-12=3 :国动的所5m-5eom-1有3-要-子公剂 360 24 25.(10分) 【详解】(1)解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购3x+200本， 由题意得：123x+200+20x=13600, 解得x=200, 所以3x+200=800. 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本；(5分) 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设科普类资料采购单价为α元， 由题意得： a800-a-12×40+20×20011+50%=13600+4640 2 整理可得：a2-52a+612=0, 解得：a1=18,a2=34, .采购单价不超过20元， .a=18. 答：科普类资料的采购单价为18元.(10分) 26.（10分) 【详解】(1)如图，点G即为所求， D C(5分) (2)解：如图，以AB的中点为圆心O,AB为直径画圆， B ,∠AGB=90°， 点G始终在⊙O上，(7分) 如图，连接OG、CG,连接OC交⊙O于点G, 四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=4,∠ABC=90°， ∴.OB=OG=OG=2, 0C=0B+BC=2V51 6/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “.CG=0C-0G=2V5-2, CG≥OC-OG, ∴.当点O、G、C在同一直线上时，CG最小，为CG, ∴.CG的最小值为2V5-2.(10分) 27.（12分) 【详解】(1)解：四边形ABCD是矩形， D ∴.AD=BCAB=CD∠B=∠D=90 在Rt△ABC和Rt△ADC中， AB=CD ∠B=∠D BC=AD .Rt△ABC≌Rt△ADC SAS, 矩形是勾股四边形， 故答案为：是；(2分) (2)证明：2@：直线y=-X+1与双曲线y=二6相交于4，B两点， X y=-X+1 联立 6 解得：X1=3,X2=-2, 当x=3时，y=-3+1=-2；当X=-2时，y=--2+1=3, ,点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为-2,3，点B的坐标为3，-2： .A-2,3,B3,-2,P-3,0, .AB2=(-2-32+(3+2)2=50'AP2=-2+32+3-02=10'BP2=3+32+-2-02=40 ∴.AP2+BP=AB, ∴.∠APB=90°，(4分) 四边形APQB是平行四边形， 7/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AP=BQ,PQ=AB,AP‖BQ, ∴∠APB=∠QBP=90, 在Rt△APB和Rt△QBP中， AP=QB AB=PQ ∴.Rt△APB≌Rt△QBP HL, ∴四边形APQB是勾股四边形；(7分) B ②解：由(2)可知，A-2,3,B3,-2,P-3,0, 设点Q的坐标为x,y, ①如图，当Rt△ABP≌Rt△QBP时， AP=QB,AP QB ·3--2=x--3,解得 :x=2, 3--2=0-y y=-5 ∴.Q2,-5；(8分) ②如图，当Rt△ABP≌Rt△BAQ时， 8/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=QB,AP‖QB, .x--2=3--3到，解得： 3-y=0--2到 g .Q4,1:(9分) ③如图，当Rt△ABP≌Rt△ABQ时，设直线AB与X轴交于点C,过点A作AE⊥X轴于点E,作 AF‖x轴，过点Q作QF⊥AF于点F,则Fx,3, P .∠BAP=∠BAQ,AP=AQ, .直线AB:y=-X+1, 令y=0,则-x+1=0,解得：y=1, ∴.C1,0, ,A-2,3,AE⊥x轴， ∴.E-2,0； ∴.AE=3,CE=3,PE=1, ∴.△AEC是等腰直角三角形， ∴.∠EAC=∠ACE=45°， .AF‖x轴， 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAF=∠ACE=45°， ∴.∠EAC=∠BAF, ∴.∠BAP-∠EAC=∠BAQ-∠BAF, ∴.∠EAP=∠FAQ, 在△AEP和△AFQ中， ∠EAP=∠FAQ ∠AEP=∠AFQ=90° AP=AQ .△AEP≌△AFQ AAS, .∴.AF=AE=3,QF=PE=1, x--2上3，解得：x=1 y-3=1/ y=4 .Q1,4,(10分) ④如图，当Rt△ABP≌Rt△PQA时， ∴.AB‖PQ,AB=PQ, .-2-x=3--3,解：x=-8, y-0=3--2 y=5 ∴.Q-8,5,(12分) 综上所述，平面内还存在点Q,使得以A,B,P,Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为2，-5 或4,1或1,4或-8,5. 28.(12分) 【详解】解：(1)不同意小莹的观点，在图1中设锐角△ABC外接圆圆心为点O, 连接OA,OB,OC, 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 如图，设直角△ABC外接圆圆心为点O,连接OC, 则AB=2OC,且AB为外接圆的直径， 直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， A 在图3中设钝角△ABC中， 作以最长边AB为直径的圆，则由下图可知，点C在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆： B 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆，若钝角三角形，则其最小 覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆，故小莹的说法不正确.(2分) (2)如图所示，连接AC,BD交于点O, 四边形ABCD是矩形， .∠B=∠D=90°，OB=OC=OA=OD, .点A、B、C、D四点共圆， ∴.AC=AB2+BC2=3V5 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.该矩形的最小覆盖圆的直径为35：(4分) B (3)①取△ABC外接圆的圆心M,连接MA,MB, A2,0,B-4,0, .∴.AB=6, .·∠BCA=45°， ∴.∠AMB=90°， ·MA=MB=P2 B=32. ∴.△ABC的最小覆盖圆的半径是3V2:(7分) ②过点M作MD⊥x轴，ME⊥y轴， 则四边形MDOE是矩形， 由①知△ABM是等腰直角三角形， AD=BD=MD-ZAB-3. .OD=ME=1'MA=MC=32+32=32 .CE=MC2-ME2=V18-1=V17 :.0C=3+V17, ∴C0,3+V17(9分) B 图4 (4)由(1)知，钝角三角形的最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆， 12/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠D>90°， 故四边形ACBD的最小覆盖圆是以AB为直径的圆，如图所示，即⊙O, 此时，点D在圆内，要使DE最小，点E需在OD连线上，即OD延长线与圆周的交点， 由于AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°， 根据勾股定理求得AB=8+6=10cm 则OB=OE=5cm, 过点D作DH⊥OB于点H, .BD=22cm,∠ABD=45°， .'HB=HD=2 cm, ∴.OH=3cm, 则oD=32+2=V13cm ·DE=0E-OD=5-/13cm(12分) ○ D E 13/13