九年级数学上学期期中真题重组卷（江苏南京专用，范围：新教材苏科版九年级上册第1～3章）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册第1~3章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（2025秋•南京联合体期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+x＝0 B． C．x+2y﹣3＝0 D．2x+1＝0 【答案】A 【详解】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下： A．x2+x＝0中，只含未知数x，最高次项为x2，次数为2，且为整式方程，符合定义； B．中含有分式，不是整式方程，不符合定义； C．x+2y﹣3＝0中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合定义； D．2x+1＝0中未知数次数为1，不是二次方程，不符合定义． 故选：A． 2．（2025秋•建邺区期中）已知⊙O的直径为10cm，点P在⊙O外，则OP长可能是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】A 【详解】解：∵O的直径为10cm， ∴半径为5cm， ∵点P在⊙O外， ∴OP＞5cm， 故选：A． 3．（2025秋•秦淮区期中）某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价的百分率是x，下列方程：①10（1﹣x）2＝8；②10（1﹣2x）＝8；③8（1+x）2＝10，其中，符合题意的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【详解】解：根据题意得：10（1﹣x）2＝8， ∴符合题意的是①． 故选：A． 4．（2025秋•玄武区期中）已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵数据6，8，10，x的平均数与众数相等， ∴， 解得x＝8． 故选：B． 5．（2025秋•鼓楼区期中）若二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象与x轴有两个公共点，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象的开口向上，顶点坐标为（1，﹣m）， ∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象与x轴有两个公共点， ∴二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象的顶点在x轴的下方， ∴﹣m＜0， 即m＞0， ∴m的值可以是2． 故选：D． 6．（2025秋•秦淮区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】D 【详解】解：如图： 根据图形我们可以发现，当△ABC的内切圆的半径确定时，∠A在增大的过程中，△ABC的外接圆的半径先减小，后增大； 故选：D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（2025秋•鼓楼区期中）二次函数y＝x2+1的图象的顶点坐标是　 　 ． 【答案】（0，1） 【详解】解：二次函数y＝x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 8．（2025秋•建邺区期中）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ 　　 ． 【答案】2． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 9．（2025秋•秦淮区期中）某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况： 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 如果某顾客将以上四项得分按2：3：4：1计算，那么他会选择商家 ．（填“A”或“B”） 【答案】B． 【详解】解：根据加权平均数的计算方法可得： A商家：4.47， B商家：4.57， 4.47＜4.57， ∴他会选择商家B， 故答案为：B． 10．（2025秋•鼓楼区期中）点A，B，C在⊙O上的位置如图，已知∠AOB＝68°，则∠B﹣∠A＝　 　 °． 【答案】34． 【详解】解：连接OC， ∵∠AOB＝68°， ∴∠ACB∠AOB＝34°， ∵OC＝OA＝OB， ∴∠OCA＝∠A，∠OCB＝∠B， ∴∠B﹣∠A＝∠OCB﹣∠OCA＝∠ACB＝34°． 故答案为：34． 11．（2025秋•建邺区期中）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A：∠B：∠C＝3：5：6，则∠D＝ 　 　 °． 【答案】80． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°， ∵∠A：∠B：∠C＝3：5：6， 设∠A＝3x，则∠B＝5x，∠C＝6x， ∴3x+6x＝180°， 解得x＝20°， ∴∠B＝5x＝100°， ∴∠D＝80°， 故答案为：80． 12．（2025秋•南京联合体期中）某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为 　 　 ． 【答案】100（1﹣x）2＝36． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药价为100（1﹣x）元，第二次降价后药价为100（1﹣x）2元， 根据题意得， 100（1﹣x）2＝36， 故答案为：100（1﹣x）2＝36． 13．（2025秋•秦淮区期中）圆锥的侧面展开图是一个圆心角为150°的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 　 　 ． 【答案】12． 【详解】解：设母线长为l， 圆锥的底面周长＝2π×5＝10π， 则10π， 解得l＝12． 故答案为：12． 14．（2025秋•玄武区期中）将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C．测得AB＝2cm，则圆形玉佩的半径为 　 　 cm． 【答案】2． 【详解】解：连接OA，OB， 由题意得，∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∵圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C． ∴∠BAO∠BAC＝60°，OB⊥AB， ∵则OB＝AB•tan∠BAO＝22（cm），即圆形玉佩的半径为2cm， 故答案为：2． 15．（2025秋•秦淮区期中）如图，AB与⊙O相切，C为切点，AO的延长线交⊙O于点D，连接CD．若∠BCD＝α（45°＜α＜90°），则∠A＝ 　 　 （用含α的代数式表示）． 【答案】2α﹣90°． 【详解】解：如图，连接OC， ∵AB与⊙O相切， ∴OC⊥AB， ∴∠OCD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣α， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD＝90°﹣α， ∴∠AOC＝∠ODC+∠OCD＝180°﹣2α， ∴∠A＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°， 故答案为：2α﹣90°． 16．（2025秋•鼓楼区期中）已知a，k为常数（a≠0），若关于x的不等式a（x﹣5）（x+1）＜k的解集是﹣2＜x＜6，则不等式a（x﹣2）（x+4）＜k的解集为　 　 ． 【答案】﹣5＜x＜3． 【详解】解：∵关于x的不等式a（x﹣5）（x+1）＜k的解集是﹣2＜x＜6， ∴关于x的方程a（x﹣5）（x+1）＝k的解为x＝﹣2或x＝6， 把x＝﹣2代入方程a（x﹣5）（x+1）＝k得7a＝k， ∵关于x的不等式a（x﹣5）（x+1）＜k的解集是﹣2＜x＜6， ∴a＞0， 把k＝7a代入不等式a（x﹣2）（x+4）＜k得：a（x﹣2）（x+4）＜7a， ∴（x﹣2）（x+4）＜7， 整理得：x2+2x﹣15＜0， 解得﹣5＜x＜3， 故答案为：﹣5＜x＜3． 三、详解题（本大题共11小题，满分88分．详解应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2025秋•南京联合体期中）解方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x+1＝x（x+1）． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1； （2）x1＝﹣1，x2＝1． 【详解】解：（1）原方程分解因式可得： （x+3）（x﹣1）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1； （2）原方程移项可得： （x+1）﹣x（x+1）＝0， （x+1）（1﹣x）＝0， x+1＝0或1﹣x＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝1． 18．（6分）（2025秋•建邺区期中）已知y1＝x﹣2，y2＝x2+8x+20．小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，y1都不等于y2．你是否同意他的说法？并说明你的理由． 【详解】解：同意，理由： 假设y1＝y2，则x﹣2＝x2+8x+20， 整理得：x2+7x+22＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×22＝49﹣88＝﹣39＜0， ∴方程x﹣2＝x2+8x+20没有实数根， ∴y1都不等于y2． 19．（6分）（2025秋•秦淮区期中）国庆期间，某景区推出新的文艺表演节目，经试运行发现，票价为60元时，可售出门票800张；票价每提高1元，售出的门票将减少8张．要使得门票收入为50400元，则票价应定为多少元？ 【详解】解：设票价应定为x元， 由题意得：x[800﹣（x﹣60）×8]＝50400， 整理得：x2﹣160x+6300＝0， 解得：x1＝70，x2＝90， 答：票价应定为70元或90元． 20．（8分）（2025秋•建邺区期中）跳绳是便捷又健康的运动．甲、乙两位同学各进行了5组“3分钟跳绳”的练习，成绩如下（单位：个）： 甲：380，422，416，397，385；乙：398，402，406，401，393． （1）填表： 1 平均数 中位数 方差 甲 　 　 　 　 274.8 乙 400 401 　 　 （2）请你运用所学的统计知识做分析，从两个不同的角度评价甲、乙两位同学的跳绳成绩． 【详解】解：（1）甲的平均数为400， 把甲的成绩从小到大排列为380，385，397，416，422，故中位数为397， 乙的方差为[（398﹣400）2+（402﹣400）2+（406﹣400）2+（401﹣400）2+（393﹣400）2]＝18.8， 故答案为：400，397，18.8； （2）数据的集中程度：①从中位数看，乙的中位数略大于甲的中位数，说明乙的成绩略好于甲； 数据的离散程度：②从方差看，乙的方差小于甲的方差，且两人的平均成绩相同，说明乙的成绩比甲更稳定． 21．（7分）（2025秋•鼓楼区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E．求证：DE⊥AC． 【详解】证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BAC＝∠BOD， ∴AC∥OD， ∵DE与O相切于点D，交AC于点E， ∴DE⊥OD， ∴∠ODE＝90°， ∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°， ∴DE⊥AC． 22．（7分）（2025秋•秦淮区期中）已知关于x的方程（x﹣m）2﹣x+m＝0（其中m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是 　 　 ． 【详解】（1）证明：方程（x﹣m）2﹣x+m＝0整理得x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0， ∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：该方程的一个根是2， ∴（2﹣m）2﹣2+m＝0， 解得m＝2或m＝1， ∴方程为x2﹣5x+6＝0或x2﹣3x+2＝0， 设方程的另外一个根为t， 则2+t＝5过2+t＝3， ∴t＝3或t＝1， 故方程的另一个根为3或1． 故答案为：3或1． 23．（7分）（2025秋•玄武区期中）如图，在⊙O中，AB＝AC，半径OM⊥AB，ON⊥AC，垂足为D，E． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为5，AB＝8，则EN＝ 　 　 ． 【详解】（1）证明：∵AB＝BC， ∴， ∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接OA， ∵AB＝BC＝8，ON⊥AC， ∴AEBC＝4，∵OA＝5， ∴OE3， ∴EN＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 24．（7分）（2025秋•鼓楼区期中）尺规作图：如图，已知线段a，O是直线l外一点，作⊙O与直线l相交于点A，B，且AB＝a． 【详解】解：如图，先作线段a的垂直平分线，再过点O作OC⊥l于点C，以点C为圆心，为半径画弧，分别交直线l于点A，B，最后以点O为圆心，OA的长为半径画圆， 则⊙O即为所求． 25．（9分）（2025秋•建邺区期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为12cm，弧长为9cm的扇形，则该纸筒的侧面积为 　 　 cm2； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分），其中的长为30cm，的长为20cm，AB的长为8cm．求扇环ABCD的面积； （3）如图②，梯形ABCD面积为S1，扇环EFGH面积为S2，且AD等于的长，BC等于的长，AB＝CD＝EF＝GH，则S1　 　 S2（填“＞”“＜”或“＝”号）． 【详解】解：（1）该纸筒的侧面积12×9＝54（cm2）； 故答案为：54； （2）设OB＝r，∠AOD＝n°， ∴，， ∴， ∴r•r•AB• ∴扇环ABCD的面积＝S扇形AOD﹣S扇形BOC•（r+AB）r••（r+AB）（r•AB•）（）•AB， ∵的长为30cm，的长为20cm，AB的长为8cm． ∴扇环ABCD的面积（20+30）×8＝200（cm2）； （3）设图形ABCD的高为h， 由（2）得S2（）•EF， ∵AD等于的长，BC等于的长， ∴S2（AD+BC）•EF， ∵h＜AB，AB＝CD＝EF＝GH， ∴h＜EF， ∵S1（AD+BC）•h， ∴S1＜S2． 故答案为：＜． 26．（11分）（2025秋•南京联合体期中）如图，AB是⊙O的弦，点C，D在上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF． （1）如图（1），若AB是⊙O的直径，求证：CE＝DF． （2）如图（2），若AB不是⊙O的直径． ①求证：CE＝DF； ②若AE＝2，CE＝3，AB＝8，则⊙O的半径为 　 　 ． 【详解】（1）证明：连接OC，OD，如图， ∵OA＝OB，AE＝BF， ∴OE＝OF． ∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFD＝90°， 在Rt△OEC和Rt△OFD中， ， ∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL）， ∴CE＝DF． （2）①证明：过点O作OG⊥AB于点G，过点O作OM⊥CE，交CE的延长线于点M，延长MO交DF的延长线于点N，如图， 则AG＝BG． ∵AE＝BF， ∴EG＝FG． ∵CE⊥AB，DF⊥AB，OG⊥AB，OM⊥CE， ∴四边形MEFN，四边形MEGO，四边形OGFN均为矩形． ∴OM＝EG，ON＝FG，EM＝FN＝OG． ∴OM＝ON． 在Rt△OMC和Rt△OND中， ， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴CM＝DN． ∴CM﹣EM＝DN﹣FN， ∴CE＝DF． ②解：连接OA，如图， ∵AB＝8， ∴AG＝BGAB＝4， ∵AE＝BF＝2， ∴EG＝FG＝2， 由（2）①知：OM＝ON＝EG＝FG＝2， 设OG＝a，OC＝OA＝x，则EM＝OG＝a， ∴CM＝CE+EM＝a+3， ∴， ∴16+a2＝4+（a+3）2， ∴a， ∴x． ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 27．（12分）（2025秋•鼓楼区期中）在平面直角坐标系中．对于点P和图形G，给出如下的定义：若图形G上存在点A和点B，使得∠APB＝90°，则称点P是图形G的勾股点．如图（1），已知点M（﹣2，0），N（2，0），连接MN． （1）①在点D（0，1），，中，线段MN的勾股点是 ． ②如图（2），以线段MN为直径作⊙O，若点P是⊙O的勾股点，求所有点P组成的区域的面积． （2）如图（3），将点M，N沿y轴正方向向上平移3个单位长度，得到点M′，N′，顺次连接点M，N，N′，M′，得到矩形MNN′M′．若点P是矩形MNN′M′的勾股点，请在图中用阴影描出所有点P组成的区域，无须说明理由． 【详解】解：（1）①∵∠APB＝90°， ∴P在以AB为直径的圆上， ∵A，B在线段MN上， ∴AB≤MN， ∴P在以MN为直径的圆上及圆内， ∵M（﹣2，0），N（2，0）， ∴OP≤2时，P为线段MN的“勾股点”； ∵OD＝1＜2，OE＝2，OF2， ∴D，E是线段MN的“勾股点”； 故答案为：D，E； ②设A，B在⊙O上，∠APB＝90°，连接OP，作OQ⊥AB于Q，连接PQ，OA，如图： ∴OA＝OB， ∵∠APB＝90°， ∴PQ＝QA＝QB， ∵OP≤PQ+OQ， ∴当O，P，Q共线时，OP最大， 设QA＝QB＝x，则0＜x≤2， ∴OQ， ∴OP＝OQ+PQ＝x， 设xm，则4﹣x2＝（m﹣x）2， 整理得：2x2﹣2mx+m2﹣4＝0， ∴Δ＝4m2﹣8（m2﹣4）≥0， ∴﹣2m≤2， ∵方程的解在0到2之间，2×4﹣4m+m2﹣4≥0恒成立， ∴0＜m≤2， ∴0≤OP≤2， ∴P在以O为圆心，2为半径的圆上及圆内， ∴点P组成的区域面积为：8π； （2）由（1）知，P在矩形内所有线段为直径的圆上及圆内， 作出以MN，MM′，M′N′，NN′，MN′，M′N为直径的圆，所有圆覆盖的区域即为所求，如图： ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/12 16:14:44；用户：房子；邮箱：njshj20@xyh.com；学号：37262488 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 1 2 3 4 5 6 A A A B D D 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（0，1） 8．2． 9．B． 10．34． 11．80． 12．100（1﹣x）2＝36． 13．12． 14．2． 15．2α﹣90°．16．﹣5＜x＜3． 三、详解题（本大题共11小题，满分88分．详解应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【详解】解：（1）原方程分解因式可得： （x+3）（x﹣1）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1；······（4分） （2）原方程移项可得： （x+1）﹣x（x+1）＝0， （x+1）（1﹣x）＝0， x+1＝0或1﹣x＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝1．······（4分） 18．【详解】解：同意，理由： 假设y1＝y2，则x﹣2＝x2+8x+20， 整理得：x2+7x+22＝0，······（3分） ∴Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×22＝49﹣88＝﹣39＜0， ∴方程x﹣2＝x2+8x+20没有实数根， ∴y1都不等于y2．······（3分） 19．【详解】解：设票价应定为x元， 由题意得：x[800﹣（x﹣60）×8]＝50400，······（2分） 整理得：x2﹣160x+6300＝0， 解得：x1＝70，x2＝90，······（4分） 答：票价应定为70元或90元． 20．【详解】解：（1）甲的平均数为400， 把甲的成绩从小到大排列为380，385，397，416，422，故中位数为397， 乙的方差为[（398﹣400）2+（402﹣400）2+（406﹣400）2+（401﹣400）2+（393﹣400）2]＝18.8， 故答案为：400，397，18.8；······（6分） （2）数据的集中程度：①从中位数看，乙的中位数略大于甲的中位数，说明乙的成绩略好于甲； 数据的离散程度：②从方差看，乙的方差小于甲的方差，且两人的平均成绩相同，说明乙的成绩比甲更稳定．······（2分） 21．【详解】证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BAC＝∠BOD， ∴AC∥OD，······（4分） ∵DE与O相切于点D，交AC于点E， ∴DE⊥OD， ∴∠ODE＝90°， ∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°， ∴DE⊥AC．······（3分） 22．【详解】（1）证明：方程（x﹣m）2﹣x+m＝0整理得x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0， ∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．······（3分） （2）解：该方程的一个根是2， ∴（2﹣m）2﹣2+m＝0， 解得m＝2或m＝1， ∴方程为x2﹣5x+6＝0或x2﹣3x+2＝0， 设方程的另外一个根为t， 则2+t＝5过2+t＝3， ∴t＝3或t＝1， 故方程的另一个根为3或1． 故答案为：3或1．······（4分） 23．【详解】（1）证明：∵AB＝BC， ∴， ∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴，， ∴；······（4分） （2）解：如图，连接OA， ∵AB＝BC＝8，ON⊥AC， ∴AEBC＝4，∵OA＝5， ∴OE3， ∴EN＝5﹣3＝2． 故答案为：2．······（3分） 24． 【详解】解：如图，先作线段a的垂直平分线，······（2分） 再过点O作OC⊥l于点C，以点C为圆心，为半径画弧，分别交直线l于点A，B，······（3分） 最后以点O为圆心，OA的长为半径画圆，······（2分） 则⊙O即为所求． 25．【详解】解：（1）该纸筒的侧面积12×9＝54（cm2）； 故答案为：54；······（2分） （2）设OB＝r，∠AOD＝n°， ∴，， ∴， ∴r•r•AB• ∴扇环ABCD的面积＝S扇形AOD﹣S扇形BOC•（r+AB）r••（r+AB）（r•AB•）（）•AB，······（2分） ∵的长为30cm，的长为20cm，AB的长为8cm． ∴扇环ABCD的面积（20+30）×8＝200（cm2）；······（2分） （3）设图形ABCD的高为h， 由（2）得S2（）•EF， ∵AD等于的长，BC等于的长， ∴S2（AD+BC）•EF， ∵h＜AB，AB＝CD＝EF＝GH， ∴h＜EF， ∵S1（AD+BC）•h， ∴S1＜S2． 故答案为：＜．······（3分） 26．【详解】（1）证明：连接OC，OD，如图， ∵OA＝OB，AE＝BF， ∴OE＝OF． ∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFD＝90°， 在Rt△OEC和Rt△OFD中， ， ∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL）， ∴CE＝DF．······（3分） （2）①证明：过点O作OG⊥AB于点G，过点O作OM⊥CE，交CE的延长线于点M，延长MO交DF的延长线于点N，如图， 则AG＝BG． ∵AE＝BF， ∴EG＝FG． ∵CE⊥AB，DF⊥AB，OG⊥AB，OM⊥CE， ∴四边形MEFN，四边形MEGO，四边形OGFN均为矩形． ∴OM＝EG，ON＝FG，EM＝FN＝OG． ∴OM＝ON． 在Rt△OMC和Rt△OND中， ， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴CM＝DN． ∴CM﹣EM＝DN﹣FN， ∴CE＝DF．······（4分） ②解：连接OA，如图， ∵AB＝8， ∴AG＝BGAB＝4， ∵AE＝BF＝2， ∴EG＝FG＝2， 由（2）①知：OM＝ON＝EG＝FG＝2， 设OG＝a，OC＝OA＝x，则EM＝OG＝a， ∴CM＝CE+EM＝a+3， ∴， ∴16+a2＝4+（a+3）2， ∴a， ∴x． ∴⊙O的半径为． 故答案为：．······（4分） 27．【详解】解：（1）①∵∠APB＝90°， ∴P在以AB为直径的圆上， ∵A，B在线段MN上， ∴AB≤MN， ∴P在以MN为直径的圆上及圆内， ∵M（﹣2，0），N（2，0）， ∴OP≤2时，P为线段MN的“勾股点”； ∵OD＝1＜2，OE＝2，OF2， ∴D，E是线段MN的“勾股点”； 故答案为：D，E；······（2分） ②设A，B在⊙O上，∠APB＝90°，连接OP，作OQ⊥AB于Q，连接PQ，OA，如图： ∴OA＝OB， ∵∠APB＝90°， ∴PQ＝QA＝QB， ∵OP≤PQ+OQ， ∴当O，P，Q共线时，OP最大，······（2分） 设QA＝QB＝x，则0＜x≤2， ∴OQ， ∴OP＝OQ+PQ＝x， 设xm，则4﹣x2＝（m﹣x）2， 整理得：2x2﹣2mx+m2﹣4＝0， ∴Δ＝4m2﹣8（m2﹣4）≥0， ∴﹣2m≤2，······（2分） ∵方程的解在0到2之间，2×4﹣4m+m2﹣4≥0恒成立， ∴0＜m≤2， ∴0≤OP≤2， ∴P在以O为圆心，2为半径的圆上及圆内， ∴点P组成的区域面积为：8π；······（2分） （2）由（1）知，P在矩形内所有线段为直径的圆上及圆内， 作出以MN，MM′，M′N′，NN′，MN′，M′N为直径的圆，所有圆覆盖的区域即为所求，如图： ．······（4分） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/12 16:14:44；用户：房子；邮箱：njshj20@xyh.com；学号：37262488 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（2025秋•南京联合体期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+x＝0 B． C．x+2y﹣3＝0 D．2x+1＝0 2．（2025秋•建邺区期中）已知⊙O的直径为10cm，点P在⊙O外，则OP长可能是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 3．（2025秋•秦淮区期中）某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价的百分率是x，下列方程：①10（1﹣x）2＝8；②10（1﹣2x）＝8；③8（1+x）2＝10，其中，符合题意的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 4．（2025秋•玄武区期中）已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2025秋•鼓楼区期中）若二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象与x轴有两个公共点，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．2 6．（2025秋•秦淮区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（2025秋•鼓楼区期中）二次函数y＝x2+1的图象的顶点坐标是　 　 ． 8．（2025秋•建邺区期中）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ 　　 ． 9．（2025秋•秦淮区期中）某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况： 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 如果某顾客将以上四项得分按2：3：4：1计算，那么他会选择商家 ．（填“A”或“B”） 10．（2025秋•鼓楼区期中）点A，B，C在⊙O上的位置如图，已知∠AOB＝68°，则∠B﹣∠A＝　 　 °． 11．（2025秋•建邺区期中）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A：∠B：∠C＝3：5：6，则∠D＝ 　 　 °． 12．（2025秋•南京联合体期中）某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为 　 　 ． 13．（2025秋•秦淮区期中）圆锥的侧面展开图是一个圆心角为150°的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 　 　 ． 14．（2025秋•玄武区期中）将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C．测得AB＝2cm，则圆形玉佩的半径为 　 　 cm． 15．（2025秋•秦淮区期中）如图，AB与⊙O相切，C为切点，AO的延长线交⊙O于点D，连接CD．若∠BCD＝α（45°＜α＜90°），则∠A＝ 　 　 （用含α的代数式表示）． 16．（2025秋•鼓楼区期中）已知a，k为常数（a≠0），若关于x的不等式a（x﹣5）（x+1）＜k的解集是﹣2＜x＜6，则不等式a（x﹣2）（x+4）＜k的解集为　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2025秋•南京联合体期中）解方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x+1＝x（x+1）． 18．（6分）（2025秋•建邺区期中）已知y1＝x﹣2，y2＝x2+8x+20．小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，y1都不等于y2．你是否同意他的说法？并说明你的理由． 19．（6分）（2025秋•秦淮区期中）国庆期间，某景区推出新的文艺表演节目，经试运行发现，票价为60元时，可售出门票800张；票价每提高1元，售出的门票将减少8张．要使得门票收入为50400元，则票价应定为多少元？ 20．（8分）（2025秋•建邺区期中）跳绳是便捷又健康的运动．甲、乙两位同学各进行了5组“3分钟跳绳”的练习，成绩如下（单位：个）： 甲：380，422，416，397，385；乙：398，402，406，401，393． （1）填表： 1 平均数 中位数 方差 甲 　 　 　 　 274.8 乙 400 401 　 　 （2）请你运用所学的统计知识做分析，从两个不同的角度评价甲、乙两位同学的跳绳成绩． 21．（7分）（2025秋•鼓楼区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E．求证：DE⊥AC． 22．（7分）（2025秋•秦淮区期中）已知关于x的方程（x﹣m）2﹣x+m＝0（其中m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是 　 　 ． 23．（7分）（2025秋•玄武区期中）如图，在⊙O中，AB＝AC，半径OM⊥AB，ON⊥AC，垂足为D，E． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为5，AB＝8，则EN＝ 　 　 ． 24．（7分）（2025秋•鼓楼区期中）尺规作图：如图，已知线段a，O是直线l外一点，作⊙O与直线l相交于点A，B，且AB＝a． 25．（9分）（2025秋•建邺区期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为12cm，弧长为9cm的扇形，则该纸筒的侧面积为 　 　 cm2； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分），其中的长为30cm，的长为20cm，AB的长为8cm．求扇环ABCD的面积； （3）如图②，梯形ABCD面积为S1，扇环EFGH面积为S2，且AD等于的长，BC等于的长，AB＝CD＝EF＝GH，则S1　 　 S2（填“＞”“＜”或“＝”号）． 26．（11分）（2025秋•南京联合体期中）如图，AB是⊙O的弦，点C，D在上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF． （1）如图（1），若AB是⊙O的直径，求证：CE＝DF． （2）如图（2），若AB不是⊙O的直径． ①求证：CE＝DF； ②若AE＝2，CE＝3，AB＝8，则⊙O的半径为 　 　 ． 27．（12分）（2025秋•鼓楼区期中）在平面直角坐标系中．对于点P和图形G，给出如下的定义：若图形G上存在点A和点B，使得∠APB＝90°，则称点P是图形G的勾股点．如图（1），已知点M（﹣2，0），N（2，0），连接MN． （1）①在点D（0，1），，中，线段MN的勾股点是 ． ②如图（2），以线段MN为直径作⊙O，若点P是⊙O的勾股点，求所有点P组成的区域的面积． （2）如图（3），将点M，N沿y轴正方向向上平移3个单位长度，得到点M′，N′，顺次连接点M，N，N′，M′，得到矩形MNN′M′．若点P是矩形MNN′M′的勾股点，请在图中用阴影描出所有点P组成的区域，无须说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $