精品解析：湖南长沙市长郡集团部分学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

第一次数学素养训练 （总分：120分 时长：120分钟） 一．单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 4. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 5. 如图，在中，B为上一点，连接，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 9. 如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点C在AB上，△DAC，△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，则下列结论：①AE=BD；②CM=CN；③△CMN为等边三角形；④MN//BC.其中，正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④ 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，是的角平分线，点P在上，于点M，，则点P到的距离是__________． 12. 如图，在内，点O是三角形三条角平分线的交点，若，则＝_________． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，则的周长为______． 14. 如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为___________． 15. 如图，四边形中，，，，则的面积为___________． 16. 如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为__________． 三．解答题（第17，18，19题6分，第20，21题8分，第22，23题9分，第24，25题10分，共72分） 17. 如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 19. 如图，在和中，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. （1）在平面直角坐标系中作关于y轴对称的. （2）写出点，，的坐标. （3）求的面积. 21. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 22. 如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． （1）证明：； （2）证明：垂直平分； （3）若，，求的长． 23. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 24. 如图是等边三角形，分别是延长线上的点，且，连，直线交于点． （1）求的度数； （2）作于，则时，为等腰三角形，求出的值； （3）若在上，，连，作，，连接交于，则的值为___________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次数学素养训练 （总分：120分 时长：120分钟） 一．单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线使得图形沿该直线折叠后两部分完全重合 【详解】解：∵选项A中的图形无法找到对称轴， ∴选项A不是轴对称图形， ∵选项B中的图形无法找到对称轴， ∴选项B不是轴对称图形， ∵选项C中的图形沿竖直中线折叠，左右两部分能够完全重合， ∴选项C是轴对称图形， ∵选项D中的图形无法找到对称轴， ∴选项D不是轴对称图形 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释． 4. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于x轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，B为上一点，连接，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了外角的定义，由外角的定义得，进而得，即可得的度数． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴． 故选：D． 6. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，不能证明，原选项符合题意； 故选：． 7. 等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，即可计算得到周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 此时三角形的周长为． 8. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 9. 如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可． 【详解】解：由选项D中图可知： 作点关于直线的对称点，连接交于点， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，的距离最短， 故选：D 10. 如图，点C在AB上，△DAC，△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，则下列结论：①AE=BD；②CM=CN；③△CMN为等边三角形；④MN//BC.其中，正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质解得，继而证明，，再由全等三角形的判定与性质逐一解答． 【详解】解：△DAC，△EBC均是等边三角形， ①正确 ②正确 是等边三角形， ③正确 是等边三角形， MN//BC ④正确 故选：C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，是的角平分线，点P在上，于点M，，则点P到的距离是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，准确理解并应用角平分线定理的内容是解题关键．根据角平分线定理可得点P到的距离等于的长，即可解答． 【详解】解：如图：过P作，  是的角平分线，，， ， ， 点P到的距离是4． 故答案为：． 12. 如图，在内，点O是三角形三条角平分线的交点，若，则＝_________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用、角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理先求出，再利用角平分线定义可得，即可求得． 【详解】解∶∵， ∴， ∵点O是三角形三条角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，则的周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线，， ，， ∵的周长为18， ， ， ∴的周长， 故答案为：26． 14. 如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】解：，， ， ，， 和是直角三角形， ，， ， 故答案为：8． 15. 如图，四边形中，，，，则的面积为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：过点D作，交的延长线于点H，再证明，根据全等三角形的性质得到，再运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点D作，交的延长线于点H， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：18． 16. 如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过证明△BDM≌△CDP，△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长＝AB+AC＝2． 【详解】解：延长AC，使CP＝BM，连接DP． ∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°， 又∵△ABC等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°， 同理可得∠NCD＝90°， ∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°， 又∵CP＝BM， ∴△BDM≌△CDP， ∴MD＝PD， ∠MDB＝∠PDC， ∵∠MDN＝60°， ∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， 即∠MDN＝∠PDN＝60°， ∴△NMD≌△NPD（SAS）， ∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝1+1＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解是解题关键． 三．解答题（第17，18，19题6分，第20，21题8分，第22，23题9分，第24，25题10分，共72分） 17. 如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴ 18. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【小问1详解】 解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． 【小问2详解】 解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 19. 如图，在和中，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据角的运算得到，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，再结合三角形内角和定理，以及“”字形得到，最后进行等量代换求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 记交于点， 有， ， ，， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. （1）在平面直角坐标系中作关于y轴对称的. （2）写出点，，的坐标. （3）求的面积. 【答案】（1） 如图所示： （2），，； （3）4 【解析】 【分析】（1）先找出点A、B、C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）结合直角坐标系即可求出点的坐标； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中的图形可知：，，； 【小问3详解】 解：将填补成如下图形： 则． 【点睛】本题考查轴对称图形的画法，直角坐标系，求网格中图形面积，解题的关键是掌握轴对称的性质，直角坐标系． 21. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ，， ． 22. 如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． （1）证明：； （2）证明：垂直平分； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； （3）根据，得出，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 23. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，则， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图是等边三角形，分别是延长线上的点，且，连，直线交于点． （1）求的度数； （2）作于，则时，为等腰三角形，求出的值； （3）若在上，，连，作，，连接交于，则的值为___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明， 推出， 由， 推出，即可解决问题； （2）如图中， 由题意可知， 设，则， 推出， 计算出的值即可； （3）如图中， 在上截取， 则，证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， E， ， ； 【小问2详解】 如图中， 是等腰三角形，， ， 设，则， ， ， 【小问3详解】 如图中， 在上截取， 则， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会添加常用辅助线构造全等三角形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） ，；理由如下： 设与轴交于点，与交于点， ∵， ∴． 在和中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，； （3）①； ②，理由： 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）①作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ②延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①过点D作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ②略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，非负数的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $