湖南省长沙市第十五中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

长沙市雅礼十五中2025-2026学年八上数学10月错题回练 满分：120分 时间120分钟 一、单选题（共10题，每小题3分） 1．下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式的计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 4．下列问题不适合抽样调查的是（   ） A．了解湘江的水质情况 B．了解全省人民对“三高四新”政策的关注情况 C．调查市场上某品牌台灯的使用寿命 D．检查神舟十六号飞船发射前数十万零件的运转情况 5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 6．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 7．将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，以A为顶点，为腰在第三象限作等腰，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换1只雀和1只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问1只雀和1只燕子分别重多少？设1只雀重斤，1只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共6题，每题3分） 11．，则 12．已知点关于轴对称的点在第二象限，则的取值范围是 ． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在的位置上，的延长线与的交点为G．若，则的度数为 ． 14．如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 15．如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 16．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 三、解答题 17． （6分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 18． （6分）先化简，再求值：，其中，． 19． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 19.（7分） 如图，已知△ABC 的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于直线 的轴对称图形，A，B，C的对应点分别是 D，E，F，并直接写出 D，E，F的坐标；（3分） (2)求四边形的面积；（2分） (3)若P在x轴上，且 值最小，请直接写出点 P 坐标．（2分） 20．（8分）某校积极开展“阳光体育”活动，并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了了解学生最喜爱哪一种项目（每名学生必选且只能选择一个项目），随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)本次共调查了________名学生；（2分） (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（2分） (3)在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角度数为________度；（2分） (4)该校共800名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少名？（2分） 21．（8分）如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：． 22．（8分）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，若用380元可购进种娃娃7件，种娃娃8件；用340元可购进种娃娃11件，种娃娃4件． (1)求、两种娃娃的进价分别为多少？（3分） (2)若每件种娃娃售价为25元，每件种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？（5分） 23．（9分）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形；（4分） (2)求证：．（5分） 24．（10分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）（2分） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的范围；（4分） (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．（4分） 25．（10分）已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °．（2分） (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数；（2分） ②当时，求的度数．（2分） (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形．（4分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《长沙市雅礼十五中2025-2026学年八上数学10月错题回练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D B A D B B B 1．D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，对选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、B、C不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形，D为轴对称图形， 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则，分别对每个选项进行计算，判断结果是否正确． 【详解】解： ，故A选项错误． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项正确． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了抽样调查，全面调查，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据抽样调查，全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A. 了解湘江的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意； B. 了解全省人民对“三高四新”政策的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意； C. 调查市场上某品牌台灯的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意； D. 检查神舟十六号飞船发射前数十万零件的运转情况，适合全面调查，故选项符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，进而得该三角形的周长的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，，即， ∴该三角形周长， 即该三角形周长， ∴四个选项中，三角形的周长可能是，只有D选项符合， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及作出辅助线构造全等三角形． 过点作轴于点，易证，根据全等三角形的性质可得，，继而即可求解． 【详解】如图所示，过点作轴于点， ∵，， 则， 在和中， ∴（AAS）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 11．3 【分析】本题考查了幂的乘方，解一元一次方程，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．先整理，结合，则，即，解方程即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 解得， 故答案为：3． 12．/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标和关于轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”得出对称点为，然后再根据第二象限特点进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴关于轴对称的点为， ∵对称点在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为： 14． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为或． 16． 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：的算术平方根是3， ，即； 的立方根是2， ， 即， 是的整数部分，而， ， ， ∴的平方根为． 18．；7 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19．(1)图形见解析，； (2)14； (3) 【分析】本题考查了轴对称作图、平面直角坐标系，求最短路径问题，解题的关键是根据轴对称的性质，找出对应点的坐标． （1）根据轴对称的性质，找出对应点D、E、F的坐标，连结即可； （2）利用梯形的面积公式计算即可； （3）根据轴对称的性质，先作出点A关于x轴对称点，再连结，与x轴相交于点，点P即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示：即为所求，； （2）解：， ； （3）解：作点A关于x轴对称点，连结与x轴相较于点，点P即为所求． 理由：根据轴对称的性质，可知， ， 因为两点之间线段最短，所以的长度是的最小值，故点即为所求． 20．(1)40 (2)见详解 (3) (4)60 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息 （1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数； （2）用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图； （3）根据条形图得到篮球所占百分比，再求圆心角即可； （4）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少 【详解】（1）解：观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有10人，占， 故总人数有（人）； 故答案为：40． （2）解：喜欢足球的有（人）， 喜欢跑步的有（人）， 条形统计图补充为： （3）解：由条形图中喜欢篮球的有15人，占， 所以“篮球”部分所对应的圆心角度数为； 故答案为：． （4）解：全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多（人）． 21．见详解 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，根据角平线的性质定理得到，根据垂直平分线的性质，结合斜边直角边的判定方法得到，即可求解． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 22．(1)A、B两种娃娃的进价分别为20元、30元 (2)一共有3种方案，当购进种30件，种10件时，获得最大利润220元 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两种娃娃的进价分别为元、元，然后根据题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设商店准备购进A种娃娃a件 ，则购进B种娃娃件，由（1）即题意可得，然后分别求出利润即可． 【详解】（1）解：设、两种娃娃的进价分别为元、元．根据题意得： 解得； 答：A、B两种娃娃的进价分别为20元、30元． （2）设商店准备购进A种娃娃a件，根据题意可得： 解得：； 故共有3种方案． 当，利润：（元）， 当，利润：元）， 当，利润：（元）， 答：一共有3种方案，当购进种30件，种10件时，获得最大利润220元． 23．(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】（1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． 【详解】（1）证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ​​​​​​​∴为等腰三角形； （2）证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24．(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【详解】（1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 25．(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $