七年级数学上学期期中模拟卷（新教材北师大版第1～3章，高效培优·强化卷）

2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级上册第一章~第三章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下面几何体中，是柱体的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）在，，，这四个数中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）2026年国庆假期，某市共接待游客约人次．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．（3分）已知，则的值为（     ） A． B． C．4 D．8 5．（3分）若和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为（     ） A． B． C．1 D．5 6．（3分）实数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（3分）奇奇搭了一个立体图形，这个立体图形从正面和右面看到的形状如图所示，他搭这样的一个立体图形，最少需要（    ）个小正方体，最多需要（    ）个小正方体． A．4；7 B．6；6 C．7；8 D．8；5 8．（3分）定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 9．（3分）已知有一列整数1，2，1，，…满足下列条件：从第三个数开始，每一个数等于其前两项之差，例如：第三个数等于其前两项之差，即，第四个数等于其前两项之差，即，…依此类推，下列说法正确的个数有（     ） ①第2026个数是1； ②前2026个数的和为3； ③不论n为何值，前n个数的和的情况有且仅有4种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（3分）某数学老师在课外活动课上做了一个有趣的游戏，他在卡片上写出了一个各个数位数字之和为8且个位数字不为零的三位数，并让同学们完成了以下计算：第一步，将的百位数字与个位数字对调后得到新的三位数；第二步，减去的个位数字的4倍得到；若能被8整除，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）当时，代数式的值是____． 12．（3分）比较大小：___________（填“”“”或“”）． 13．（3分）如图，在可折叠的数轴上，点，表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若，且点在点右侧，则点表示的数是______． 14．（3分）已知长为的两个完全相同的大长方形，按照如图所示的方式各放入四个完全相同的小长方形，大长方形中未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，则图①与图②阴影部分的周长之差为________．（用含的代数式表示） 15．（3分）直角三角形的三边长分别为3厘米、4厘米、5厘米，将它绕其中一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为_________．（结果保留） 16．（3分）下列结论：①绝对值等于它本身的数是0和1；②若，则或；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，，则的值为3或；⑤有理数a，b，c互不相等，若，则不可能成立；其中正确的结论是（填序号）_____． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． 20．（6分）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前两天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 21．（8分）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 22．（8分）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． (1)【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有______；（只填序号） (2)【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子． 如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑥，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，请求出制作成的无盖盒子的体积和有盖盒子的体积？ (3)【拓展探究】 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，聪明的你能画出一个使外围周长最小的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长？ 23．（10分）阅读理解：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．小明认为：根据可以算出，用类似的方法可以算出其它的数． (1)可知_____ ，_____ ； (2)试判断第2026个格子中的数是多少，并给出相应的理由． (3)判断：前n个格子中所填整数之和能否为2026？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 24．（10分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 25．（12分）在数轴上，我们称到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”，例如，图1，表示，表示6，那么0就是和6的“6中数”． (1)如图2，表示的数是，表示的数是，求、的“6中数”是______； (2)若、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、（，是小于的正整数），则、的“6中数”是（用含，的代数式表示）； (3)在数轴上，属于范围内的两个点的“6中数”有______； (4)六中艺术节在一段长米的直路上进行彩灯秀表演，如果将起点在数轴上记为，那么终点记为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器，在每个“6中数”的位置有感应彩灯，小丹和小东同时从起点向终点跑去，小东比小丹跑的快，小东到达终点，小丹也停止，在跑步的过程中，当他们同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯，如果用表示小丹的速度，用表示小东的速度，和满足哪些关系，可以点亮彩灯？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C A C B A A C B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12． 13． 14． 15．或或 16．②③⑤ 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据绝对值的定义和相反数的定义把算式化简，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）运用乘法分配律进行简便计算； （4）根据有理数的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ；························1分 （2）解： ；·······················2分 （3）解： ；·······················4分 （4）解： ．······················6分 18．（6分） 【答案】， 【详解】解： ；·······················4分 当，时， 原式·······················6分 19．（6分） 【答案】(1)如图： (2) 【分析】（1）根据从不同方向看到的几何体的画法画出相应的图形即可； （2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的表面积． 【详解】（1）如图： ······················3分 （2）解：， 这个几何体喷漆的面积为．······················6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) (3) 该厂工人这一周的工资总额是元 【分析】（1）结合每日计划产量与前两天的增减量，求和得到前两天总产量； （2）找出增减量的最大值与最小值，作差得到产量差； （3）先计算一周总增减量得到实际总产量，再根据工资规则计算工资总额． 【详解】（1）解：∵计划每天生产辆，周一增减量为，周二增减量为， ∴前两天总产量为（辆）；······················1分 （2）解：∵一周增减量中最大值为，最小值为， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）；······················3分 （3）解：∵一周总增减量为， ∴实际总产量为（辆）， ∵每生产一辆可得元，超额部分每辆另奖元， ∴工资总额为（元） 答：该厂工人这一周的工资总额是元．······················6分 21．（8分） 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为；······················4分 （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：．······················8分 22．（8分） 【答案】(1)①③ (2)无盖长方体形盒子的体积为，有盖长方体形盒子的体积为 (3)使外围周长最小的表面展开图（答案不唯一），如图所示， 表面展开图的外围周长最小是． 【分析】（1）根据正方体的展开图有11种情况：型共6种，型共3种，型一种，型一种，再根据无盖正方体只有5个面，找出答案即可； （2）根据图形，分别求出有盖和无盖盒子的长宽高，根据长方体的体积公式，求出两个盒子体积即可； （3）根据题意，可知长宽高，要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，尽量少沿“长”剪开，画出符合要求的长方体形盒子的表面展开图，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：可能是无盖正方体的表面展开图的有①③；·················2分 （2）解：由题意得，无盖长方体形盒子的长为， 无盖长方体形盒子的宽为， 无盖长方体形盒子的高为， ∴无盖长方体形盒子的体积为； 由题意得，有盖长方体形盒子长为， 有盖长方体形盒子宽为， 有盖长方体形盒子高为， ∴有盖长方体形盒子的体积为， 答：无盖长方体形盒子的体积为，有盖长方体形盒子的体积为．·················6分 （3）解：∵，即长宽高， ∴要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，尽量少沿“长”剪开， ∴表面展开图的外围周长最小是．·····················10分 23．（10分） 【答案】(1)1；7 (2)解：第2026个格子中的数是1，理由如下： 数据从左到右依次为1、7、、1、7、、， 第9个数与第三个数相同，即， ∴表格中的数是1，7，，1，7，，循环， ∵， ∴第2026个格子中的数对应数列中的第1个，是1 (3)能， 【分析】（1）先根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”列出相邻两组三数和的等式，消去两组共有的中间数即可求解； （2）结合（1）先求出各格数值，找出数列是以3个数为一组循环重复的规律，再用2026除以周期3，最后根据余数对应循环节里的位置，即可确定第2026个格子中的数； （3）先算出一个完整循环周期内三个数的总和，再用目标和2026除以这个周期和，计算能凑出多少个完整周期，最后结合剩余未凑满的数值匹配循环节里的部分和，判断能否达到2026并求出对应的n． 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴， ∵， ∴；·····················2分 （2）解：第2026个格子中的数是1，理由如下：·····················3分 数据从左到右依次为1、7、、1、7、、， 第9个数与第三个数相同，即， ∴表格中的数是1，7，，1，7，，循环， ∵， ∴第2026个格子中的数对应数列中的第1个，是1·····················5分 （3）解：一个完整循环周期的三数和为， ， 405个周期的总和为，还差1即可凑出2026， 循环节第一个数正好是1，加这1个数后总和即为， 对应总格子数．·····················10分 24．（10分） 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ；·····················2分 （2）解：设 则 即 化简得 得： 即：·····················4分 （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，；·····················6分 ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案．·····················10分 25．（12分） 【答案】(1) (2) (3)，，0，5， (4)，， 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、列代数式、中点公式，结合题意确定对应数和中点并采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据定义可知“6中数”在数轴上是两个个位是6的数所对应点的中点，利用中点公式即可求得； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出和，再利用中点公式即可求得； （3）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6、，采用分类讨论的思想两两组合分别求出所有的“6中数”即可； （4）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6，即脚踏感应器对应点的数，从而得到同时踩到脚踏感应器有三种情况，根据时间，结合数轴上两点距离表示路程列出时间关系式即可． 【详解】（1）解：∵到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”， ∴“6中数”是个位数字是6的两个点的中点， ∵表示的数是，表示的数是， ∴、的“6中数”为； 故答案为：；·····················2分 （2）解：∵、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、， ∴表示的数为，表示的数为， ∴、的“6中数”为；·····················4分 （3）解：∵范围内个位是6的数有、、6、， ∴当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为（重复）， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是6、时，这两个点的“6中数”为， ∴属于范围内的两个点的“6中数”有，，0，5，； 故答案为：，，0，5，；·····················9分 （4）解：∵起点为，终点为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器， ∴脚踏感应位置表示的数有、、6， ∵小丹和小东同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯， ∴当小丹和小东同时到达、时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， ∴当和满足或或时，可以点亮彩灯．·····················12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级上册第一章~第三章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下面几何体中，是柱体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的分类逐一进行判断即可． 【详解】解：、选项中为圆柱，是柱体，符合题意； 、选项中为圆锥，是锥体，不符合题意； 、选项中为球，是球体，不符合题意； 、选项中为三棱锥，是锥体，不符合题意． 2．（3分）在，，，这四个数中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， 故负数有，，共2个． 3．（3分）2026年国庆假期，某市共接待游客约人次．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．（3分）已知，则的值为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ 解得， ∴． 5．（3分）若和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为（     ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据相反数、倒数以及负整数的概念，得出、和的值，再代入式子进行计算即可． 【详解】解：和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数， ，，， ． 故选：C． 6．（3分）实数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，且， ∴． 7．（3分）奇奇搭了一个立体图形，这个立体图形从正面和右面看到的形状如图所示，他搭这样的一个立体图形，最少需要（    ）个小正方体，最多需要（    ）个小正方体． A．4；7 B．6；6 C．7；8 D．8；5 【答案】A 【详解】解：从正面看到的形状可知，立体图形有3列，从左至右最高层数分别为2、1、1， 从右面看到的形状可知，立体图形有2排，从前到后最高层数分别为2、1， 则第1列前排必须有2个小正方体，其余位置高度不超过1， 最少时，第1列前排2个，第2、3列各1个且位于后排，共 （个）， 最多时，所有位置均摆满，第1列前后排分别为2，1个，第2、3列前后排均为1个，共 （个）． 8．（3分）定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据定义运算代入计算即可． 【详解】解： 9．（3分）已知有一列整数1，2，1，，…满足下列条件：从第三个数开始，每一个数等于其前两项之差，例如：第三个数等于其前两项之差，即，第四个数等于其前两项之差，即，…依此类推，下列说法正确的个数有（     ） ①第2026个数是1； ②前2026个数的和为3； ③不论n为何值，前n个数的和的情况有且仅有4种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】将这一列整数继续写下去，发现这列整数的变化规律即可解答． 【详解】解：根据题意，这列整数为：1，2，1，，，，1，2，1，， 可以发现，这列整数6个数一循环，每次循环的6个数的和为， ∵， ∴第2026个数是，故①错误； 前2026个数的和等于第2023个到第2026个的数之和：，故②正确； 不论n为何值，前n个数的和的情况有：1，，，，，，共4种，故③正确； 综上，说法正确的个数有2个． 10．（3分）某数学老师在课外活动课上做了一个有趣的游戏，他在卡片上写出了一个各个数位数字之和为8且个位数字不为零的三位数，并让同学们完成了以下计算：第一步，将的百位数字与个位数字对调后得到新的三位数；第二步，减去的个位数字的4倍得到；若能被8整除，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减和数的整除，先根据条件表示，，，再根据数的整除的概念表示出可能满足条件的，b，c的值即可． 【详解】解：设的百位数字为，十位数字为b，个位数字为c，则， 对调的百位数字和个位数字后得到， ∵减去的个位数字的4倍得到， ∴， ∵, ， ∴， 又∵， ∴ ∵能被8整除， ∴能被8整除， ∴， ∴， ∴满足条件的有：； ∴的最小值为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）当时，代数式的值是____． 【答案】 【分析】将代入给定代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入代数式，得 ． 12．（3分）比较大小：___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】两个负数比较大小，按照“两个负数比较，绝对值大的反而小”的规则判断即可 【详解】解： 分别计算两个数的绝对值： ， ． ， ． 13．（3分）如图，在可折叠的数轴上，点，表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若，且点在点右侧，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】先计算出折叠后点表示的数，再计算折叠前后两数的平均数即可． 【详解】解：∵折叠后，且点在点右侧， 又∵点表示的数为， ∴折叠后点表示的数为， ∵折叠前点表示的数为， ∴折点表示的数为． 14．（3分）已知长为的两个完全相同的大长方形，按照如图所示的方式各放入四个完全相同的小长方形，大长方形中未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，则图①与图②阴影部分的周长之差为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，由图可知，，进而得出，然后分别表示出图①阴影部分周长和图②阴影部分周长，然后求其差，即可得出答案． 【详解】解：设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y， 由图可知，， ∴， 图①阴影部分周长为， 图②阴影部分周长为， 图①与图②阴影部分的周长之差为． 15．（3分）直角三角形的三边长分别为3厘米、4厘米、5厘米，将它绕其中一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为_________．（结果保留） 【答案】或或 【分析】已知圆锥体体积公式为，再分三种情况：①绕3厘米直角边旋转；②绕4厘米直角边旋转；③绕5厘米斜边旋转求解即可． 【详解】解：将直角三角形绕其中一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，圆锥的体积公式为，分以下三种情况： ①绕3厘米直角边旋转：如图 此时， ∴； ②绕4厘米直角边旋转： 此时， ∴； ③绕5厘米斜边旋转： ∵， ∴斜边上的高为， 此时， ∴； 故答案为：或或． 16．（3分）下列结论：①绝对值等于它本身的数是0和1；②若，则或；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，，则的值为3或；⑤有理数a，b，c互不相等，若，则不可能成立；其中正确的结论是（填序号）_____． 【答案】②③⑤ 【分析】根据绝对值的非负性，以及有理数的运算法则逐一进行判断即可. 【详解】解：①绝对值等于它本身的数是非负数，故①错误； ②若，则或；故②正确； ③若m是有理数，则当时，，当时，， 即不可能是负数；故③正确； ④∵a、b、c均为非零有理数，且，， ∴中必定有一正，两负， 当同负时，，； 当时，，； 当时，，； 故的值为3或5或；故④错误； ⑤∵有理数a，b，c互不相等， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上：正确的结论是②③⑤. 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据绝对值的定义和相反数的定义把算式化简，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）运用乘法分配律进行简便计算； （4）根据有理数的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ；························1分 （2）解： ；·······················2分 （3）解： ；·······················4分 （4）解： ．······················6分 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ；·······················4分 当，时， 原式·······················6分 19．（6分）如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． 【答案】(1)如图： (2) 【分析】（1）根据从不同方向看到的几何体的画法画出相应的图形即可； （2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的表面积． 【详解】（1）如图： ······················3分 （2）解：， 这个几何体喷漆的面积为．······················6分 20．（6分）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前两天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 该厂工人这一周的工资总额是元 【分析】（1）结合每日计划产量与前两天的增减量，求和得到前两天总产量； （2）找出增减量的最大值与最小值，作差得到产量差； （3）先计算一周总增减量得到实际总产量，再根据工资规则计算工资总额． 【详解】（1）解：∵计划每天生产辆，周一增减量为，周二增减量为， ∴前两天总产量为（辆）；······················1分 （2）解：∵一周增减量中最大值为，最小值为， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）；······················3分 （3）解：∵一周总增减量为， ∴实际总产量为（辆）， ∵每生产一辆可得元，超额部分每辆另奖元， ∴工资总额为（元） 答：该厂工人这一周的工资总额是元．······················6分 21．（8分）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为；······················4分 （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：．······················8分 22．（8分）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． (1)【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有______；（只填序号） (2)【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子． 如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑥，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，请求出制作成的无盖盒子的体积和有盖盒子的体积？ (3)【拓展探究】 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，聪明的你能画出一个使外围周长最小的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长？ 【答案】(1)①③ (2)无盖长方体形盒子的体积为，有盖长方体形盒子的体积为 (3)使外围周长最小的表面展开图（答案不唯一），如图所示， 表面展开图的外围周长最小是． 【分析】（1）根据正方体的展开图有11种情况：型共6种，型共3种，型一种，型一种，再根据无盖正方体只有5个面，找出答案即可； （2）根据图形，分别求出有盖和无盖盒子的长宽高，根据长方体的体积公式，求出两个盒子体积即可； （3）根据题意，可知长宽高，要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，尽量少沿“长”剪开，画出符合要求的长方体形盒子的表面展开图，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：可能是无盖正方体的表面展开图的有①③；·················2分 （2）解：由题意得，无盖长方体形盒子的长为， 无盖长方体形盒子的宽为， 无盖长方体形盒子的高为， ∴无盖长方体形盒子的体积为； 由题意得，有盖长方体形盒子长为， 有盖长方体形盒子宽为， 有盖长方体形盒子高为， ∴有盖长方体形盒子的体积为， 答：无盖长方体形盒子的体积为，有盖长方体形盒子的体积为．·················6分 （3）解：∵，即长宽高， ∴要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，尽量少沿“长”剪开， ∴表面展开图的外围周长最小是．·····················10分 23．（10分）阅读理解：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．小明认为：根据可以算出，用类似的方法可以算出其它的数． (1)可知_____ ，_____ ； (2)试判断第2026个格子中的数是多少，并给出相应的理由． (3)判断：前n个格子中所填整数之和能否为2026？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)1；7 (2)解：第2026个格子中的数是1，理由如下： 数据从左到右依次为1、7、、1、7、、， 第9个数与第三个数相同，即， ∴表格中的数是1，7，，1，7，，循环， ∵， ∴第2026个格子中的数对应数列中的第1个，是1 (3)能， 【分析】（1）先根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”列出相邻两组三数和的等式，消去两组共有的中间数即可求解； （2）结合（1）先求出各格数值，找出数列是以3个数为一组循环重复的规律，再用2026除以周期3，最后根据余数对应循环节里的位置，即可确定第2026个格子中的数； （3）先算出一个完整循环周期内三个数的总和，再用目标和2026除以这个周期和，计算能凑出多少个完整周期，最后结合剩余未凑满的数值匹配循环节里的部分和，判断能否达到2026并求出对应的n． 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴， ∵， ∴；·····················2分 （2）解：第2026个格子中的数是1，理由如下：·····················3分 数据从左到右依次为1、7、、1、7、、， 第9个数与第三个数相同，即， ∴表格中的数是1，7，，1，7，，循环， ∵， ∴第2026个格子中的数对应数列中的第1个，是1·····················5分 （3）解：一个完整循环周期的三数和为， ， 405个周期的总和为，还差1即可凑出2026， 循环节第一个数正好是1，加这1个数后总和即为， 对应总格子数．·····················10分 24．（10分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ；·····················2分 （2）解：设 则 即 化简得 得： 即：·····················4分 （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，；·····················6分 ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案．·····················10分 25．（12分）在数轴上，我们称到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”，例如，图1，表示，表示6，那么0就是和6的“6中数”． (1)如图2，表示的数是，表示的数是，求、的“6中数”是______； (2)若、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、（，是小于的正整数），则、的“6中数”是（用含，的代数式表示）； (3)在数轴上，属于范围内的两个点的“6中数”有______； (4)六中艺术节在一段长米的直路上进行彩灯秀表演，如果将起点在数轴上记为，那么终点记为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器，在每个“6中数”的位置有感应彩灯，小丹和小东同时从起点向终点跑去，小东比小丹跑的快，小东到达终点，小丹也停止，在跑步的过程中，当他们同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯，如果用表示小丹的速度，用表示小东的速度，和满足哪些关系，可以点亮彩灯？ 【答案】(1) (2) (3)，，0，5， (4)，， 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、列代数式、中点公式，结合题意确定对应数和中点并采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据定义可知“6中数”在数轴上是两个个位是6的数所对应点的中点，利用中点公式即可求得； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出和，再利用中点公式即可求得； （3）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6、，采用分类讨论的思想两两组合分别求出所有的“6中数”即可； （4）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6，即脚踏感应器对应点的数，从而得到同时踩到脚踏感应器有三种情况，根据时间，结合数轴上两点距离表示路程列出时间关系式即可． 【详解】（1）解：∵到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”， ∴“6中数”是个位数字是6的两个点的中点， ∵表示的数是，表示的数是， ∴、的“6中数”为； 故答案为：；·····················2分 （2）解：∵、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、， ∴表示的数为，表示的数为， ∴、的“6中数”为；·····················4分 （3）解：∵范围内个位是6的数有、、6、， ∴当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为（重复）， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是6、时，这两个点的“6中数”为， ∴属于范围内的两个点的“6中数”有，，0，5，； 故答案为：，，0，5，；·····················9分 （4）解：∵起点为，终点为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器， ∴脚踏感应位置表示的数有、、6， ∵小丹和小东同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯， ∴当小丹和小东同时到达、时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， ∴当和满足或或时，可以点亮彩灯．·····················12分 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $