江苏苏州第一中学校2026-2027学年第一学期十月自主学习能力检测高一数学试卷

苏州第一中学校2026-2027学年第一学期十月自主学习能力检测 高一数学试卷 (考试时间：120分钟 总分150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.命题“x∈R,x2-3x+3<0”的否定是 () A.Hx∈R,x2-3x+3>0 B.Vx∈R,x2-3x+3≥0 C.ヨx∈R,x2-3c+3>0 D.]x∈R,x2-3x+3≥0 【答案】B 【解析】根据存在量词命题的否定为全称命题，可得命题“了x∈R,x2-3x+3<0”的否定为命题“Vc∈ R,x2-3x+3≥0” 故选：B. 2.已知集合A={xx是小于10的素数}，B={xx是小于10的正奇数}，则AUB= A.{3,5,7} B.{1,3,5,7,9} C.{2,3,5,7,9} D.{1,2,3,5,7,9} 【答案】D 【解析】已知集合A={xx是小于10的素数}，B={xx是小于10的正奇数} 则A={2,3,5,7},B={1,3,5,7,9},所以AUB={1,2,3,5,7,9} 故选：D. 3.集合{-1,0,1}的真子集共有 ( A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】C MNNNNNNNNNNNNNNNANNNNKKNNN 【解析】集合{-1,0,1，则其真子集为{-1}，{0}，{1}，{-1,0}，{0,1}，{-1,1}，0， 所以真子集共有7个， 故选：C 4.设甲：a>2且b>1,乙：a+b>3且ab>2,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分条件，必要条件的定义，若”a>2且b>1”则”a+b>3且ab>2”是真命题，充分性 成立. 反之是假命题，比如当a=1,b=3时满足a+b>3且ab>2,但推不出a>2且b>1 故选：A 5.不等式-1 2- ≥1的解集为 ( A<e<2 B{女号≤<2 C{ee>2或≤》 D.{xl<2} 【答案】A 【解析】：1≥1，.-1-1=1 2-0 2x-3≥0， 2-x 2-x 2-x2-x 2-x 2u-3)2-≥0，解得{✉号≤<2 2-≠0 故选：A. 高一数学-第1页共6页 6.若正数，b满足a+b=1,则上+49的最小值为 a b A.72 B.57 c.50 D.64 【答案】D b.49a =64, b )a+b)=1+:+8e+40≥50+2√ b b 当且仅当名=号，甲a=令，6=号时，等号成立， a b 8 则+ +9的最小值为64. 故选：D. 7.已知0<a-b<2,2<a+b<4,则3a+b的范围是 A.{x4<x<8} B.{xl6<x<10} C.{x4<x<10} D.{xl6<x<12} 【答案】C 【解析】设3a+b=x(a-b)+y(a+b)=(x+y)a+(y-x)b, 得+y二3，解得： =1 (y-x=1' (y=21 所以3a+b=(a-b)+2(a+b), 因为0<a-b<2,2<a+b<4,所以4<2(a+b)<8,4<(a-b)+2(a+b)<10, 所有3a+b的范围是(4,10) 故选：C 8.已知a>0,b∈R,若x>0时，关于x的不等式(ax-2)(-x2-bx+4≤0恒成立.则b+4的最小值为 () A23 3 B.2 C.2W2 D.4 【答案】D 【解析】由a>0, 则函数y=ax-2单调递增，且当0<<2时，a-2<0:当r>2时，am-2>0. a a 因为x>0时，(ac-2)(-x2-bx+4)≤0恒成立，所以(ax-2)(x2+bx-4)≥0恒成立， 则当0<r<2时，x2+b@-4≤0恒成立；当r>2时，+bc-4≥0恒成立 a 故有=2时，(2了+6：2-4=0.则6=2a-2, a a a a 所以6+去=2a-名+去=2a+名≥2V2a层=+当且仅当2a=名，即a=1时取等号， aa a 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9不等式ax-0+c>0的解集是{女号<a<2, 对于系数a,b,c,下列结论正确的是 () A.a>0 B.b<0 C.a-b+c>0 D.不等式c+bx+a<0的解集为{-<<2 【答案】BCD 【解析】因为不等式ax2-bx+c>0的解集为 <<2 a<0 a<0 所以有 -号×2=8 c=一a>0,因此选项A不正确，选项B正确： +2= b=3<0 a 2 高一数学 -第2页共6页 a-b+c=a- 3a 一a>0,因此选项C正确： cm2+bm+a<0→-ax2+ ax+a<0→x'- 3 x-1<0→- 1 <x<2,选项D正确， 2 2 故选：BCD 10.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 A.ab≤1 B.Wa+b≤2 C.(a+1)2+(6+1)2≤8 D.a3+b3≥2 【答案】ABD 【解析】选项A:因为a>0,b>0,a+b=2,由基本不等式2√ad≤a+b=2, 所以√ab≤1，即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确， 选项B:(Wa+√b)P=a+2Wad+b=2+2Wab,又√ab≤1，所以（√a+√b)≤4， 而√a+√6>0，所以√a+√b≤2， 当且仅当a=b=1时取等号，故B正确 选项C:(a+1)+(b+1)P=a2+b2+2(a+b)+2,代入a+b=2,a2+b2=(a+b)-2ab=4-2ab, 则(a+1)2+(b+1P=10-2ab 因为ab≤1，所以-2ab≥-2， 则10-2ab≥8，即(a+1)2+(b+1)P≥8，当且仅当a=b=1时取等号，故C错误. 选项D:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b)=2[(a+b)2-3ab]=8-6ab, 因为ab≤1，所以-6ab≥-6，则8-6ab≥2， 即a3+b3≥2，当且仅当a=b=1时取等号，D正确 故选：ABD, 11.非空数集Ac,同时满足如下两个性质：(（1①)若a,b∈A,则ab∈A:(2)若a∈A,则1∈A.称A为 一个“封闭集”，以下说法正确的是 () A.若A为一个“封闭集”，则1∈A B若A为一个“封闭集”，且a,beA,则号∈A C.若A,B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A三B或B二A D.若A,B都是“封闭集”，则AUB是“封闭集”的充要条件是ASB或B三A 【答案】ABD 【解析】对于A,因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若a∈A,则上∈A,那么a×1=1∈A,A a 正确。 对于B,因为A为一个“封闭集”：a,b∈A,所以名∈A,所以号∈A.B正确， 对于C不妨取“封闭集”A=1分2士4日s小B={号3合9,72} 则A∩B={1}也是“封闭集”，显然A二B或B二A不成立，C错误 对于D,充分性：A,B都是“封闭集”， 若A二B或BCA,则AUB=B或AUB=A,则AUB是“封闭集”. 必要性：若AUB是“封闭集”，令AUB=C, 假设A二B或B二A不成立，则存在a∈A,aB,b∈B,b庄A,同时a∈C,b∈C, 因为AUB=C是“封闭集”，所以b∈C,品eC 分两类情况讨论， 若ab∈A,又当a∈A时，1∈A,所以ab×1=b∈A,这与假设矛盾， 高一数学一第3页共6页 若abEA,又当b∈B时，1∈B,所以ab× =aeB,这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论AUB是“封闭集”，则ASB或BSA成立，即必要性成立.D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.用列举法表示集合A= ideez.1 【答案】{-2,1,2,3} 【解析】由题意得：4-c=1,2,3,6,解得：x=3或2或1或-2 13.不等式x2-5x+4<0的解集是 【答案】-4<D<-1或1<x<4 【解析】(x-1)(x-4)<0,解得：1<z<4, 即：-4<x<-1或1<x<4 14设a,b,c∈(0，+0)且a2-2ab+962-c=0,则当b取最大值时，3+2-9的最大值为 a b c 【答案】3 【解析】a,b,c∈(0，+o)且a2-2ab+962-c=0, 即c=a2-2ab+962, 所以Qb ab 1 a2-2ab+962 8+婴-2 ≤ 1 2√层×-2 4 当且仅当g=96 ,a=3b时等号成立，此时c=a2-2ab+9b=12b, b 所以3+2、9=1+23 1 +66 b 462 根据二次函数的性质可知，当 b -3=2,b=1时， 3 2 3×+3×取得最大值为-3×2+3×2=3. 4b2 6 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步联， 15.已知全集U=R,集合A={xx2-4x-5<0},B={x-2a≤c≤a+3}. (1)若a=1,求(CuA)∩B; (2)若A∩B=A,求a的取值范围， 【答案】(1)(CuA)∩B={x-2≤≤-1；(2)[2，十∞ 【解析】(1)因为x2-4x-5<0的解集为{x-1<c<5}, 所以A={x-1<x<5},则CA={x|x≤-1或x≥5}， 当a=1时，B={x-2≤x≤4}，所以(CwA)∩B={x1-2≤c≤-1} (2)若A∩B=A,则A二B, -2a≤a+3 因为A二B,B≠O,所以 -2a≤-1， a+3≥5 解得a≥2，即a的取值范围为[2，+∞)。 16.已知命题p:3x∈{x-1≤x≤2}，x+k>0,命题q:Hx∈R,16kx2+8kx-3<0. 高一数学 -第4页共6页 (1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围： (2)若命题p和q至少有一个为真命题，求实数k的取值范围， 【答案】(1)(-2，+0)；(2)(-3，+∞： 【解析】(1)由命题p:3x∈{x-1≤r≤2}，x+k>0为真，即k>-x,在-1≤x≤2时有解， 即需使k>(-x)min,因-2≤-x≤1，故得k>-2. 即实数k的取值范围是（一2，+∞）， (2)若q:Vx∈R,16kx2+8kx-3<0为真命题， ①当k=0时，-3<0显然成立： 回当k≠0时，需使收人04x1×3)≤0解得：-3<k<0 综上，当g为真命题时，-3<k≤0. 由(1)知，当p为真命题时，k>-2, 当p,q全是假命题时，则有 k≤-3或k>0 1k≤-2 即得k≤-3， 故当命题p和q至少有一个为真命题时，k的取值范围为(-3，+∞) 17. 已知集合A={xx2-3x+2=0},集合B={xx2+2(a+1)x+a2-5=0}. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值： (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3；(2)a∈（-0∞，-3]： 【解析】(1)：B仅有一个元素， ∴.△=4(a+1)2-4×(a2-5)=8a+24=0, ∴.a=-3 (2)AUB=A,.B≤A, ①当B=时，△<0，∴.8a+24<0,.a<-3,符合题意； ②当B有一个元素时，a=-3,∴x2-4如+4=0.B={2},符合题意： ③当B={1,2}时， 1+2=-2(a+1) 11×2=a2-5 无解 .综上，a∈(-∞，-3] 18.育人中学为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米.底面 积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙.无需建造费用，甲工程队给 出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，压 顶和地面以及其他报价共计14400元。设荣誉室的左右两面墙的长度均为x(米)(3≤x≤6). (1)将甲工程队的整体报价f(x)(元)表示为长度x(米)的函数： (2)当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？井求出最低整体报价： (3)现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为18000元(a>0),若无论左右两面 墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数 a的取值范围， 【答案】(1)f(m)=1800(e+16 +14400(3≤x≤6)：(2)x=4,28800元： (3)0<a<49 【解析11)依题意得：f@)=300×6c+00×7平+1400=100e+16 +14400(3≤x≤6). (2)1800(x+16)+14400≥1800×2×， 16 +14400=28800, x 当且仅当x=16 即x=4时等号成立 故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. 高一数学 -第5页共6页 (3)1800x+16 +1400>1S00a对任意的re[3,6]恒成立. 从而x2+8x+16>a对任意的x∈[3,6]恒成立， 令g(x)=x2+8x+16,在[3,6]上g(x)的最小值为g(3)=49,∴.a<49 所以a的取值范围为：0<a<49 19.已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x-1<x<2}. (1)求实数a,b的值； (2)若m≤0，求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集： (3)若对任意实数x∈[1,2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)a=2,b= 21 2)当m=0时，所求不等式的解集为(-0，-号] 当-2<m<0时，所求不等式的解集为[六打 当m=一2时，所求不等式的解集为 1 2 当m<-2时，所求不等式的解集为 11 a[g+o 【解析】(1)由题意，-1和2是方程(a-1)x2-2bx-2=0的两根，且a-1>0 a=2 ,方 所以 解得b=号 (2)因为a=2,所以不等式amx2+(m-a)x-1≥0可化为2mx2+(m-2)x-1≥0， 即(mx-1)(2x+1)≥0. 当m=0时，不等式可化为2x+1≤0→x≤-2 .1 当m<0时，不等式可化为(e+号e-六)≤0 若-分<品，即m<-2时，不等式的解为一号 ≤x≤1 m m 即m=-2时，不等式的解为x= 2 若号>品，甲-2<m<0时，不等式的解为品≤< 12 综上，当m=0时，所求不等式的解集为（-m,-2 17 当-2<m<0时，所求不等式的解集为[六，号] 当m=-2时，所求不等式的解集为{之} 1 当m<-2时：所架不等式的解集为[受六】 (3)因为a=2,所以不等式amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mx2≥2x+1, 因为1,2习列时，不等式2加≥2+1恒成立，即2m≥2结=+号-（号+1-1有成立 因为ze1.2,所以e[2小，+1e[号2(+旷e[小所以（日+-1e[ 由2m≥(+1-1恒成立，可得2m≥3→m≥ 2 即所求m的取值范围为[号+一 高一数学 一第6页共6页苏州第一中学校2026-2027学年第一学期十月自主学习能力检测 高一数学试卷 (考试时间：120分钟 总分150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“x∈R,x2-3x+3<0”的否定是 () A.Hx∈R,x2-3x+3>0 B.Vx∈R,x2-3x+3≥0 C.彐x∈R,x2-3x+3>0 D.]x∈R,x2-3x+3≥0 2.已知集合A={xx是小于10的素数}，B={xx是小于10的正奇数}，则AUB= A.{3,5,7} B.{1,3,5,7,9} C.{2,3,5,7,9} D.{1,2,3,5,7,9} 3.集合{-1,0,1}的真子集共有 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 4.设甲：a>2且b>1,乙：a+b>3且ab>2,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 5不等式号≥1的解集为 A{a》≤<2 8{号≤<2 C.{l>2或≤号} D.{ox<2} 6若正数a,b满足a+b=1,则+担的最小值为 A.72 B.57 C.50 D.64 7.已知0<a-b<2,2<a+b<4,则3a+b的范围是 () A.{x4<x<8} B.{cl6<x<10] C.{x4<x<10} D.{xl6<c<12} 8.已知a>0,b∈，若x>0时，关于x的不等式(ac-2)(-x-bx+4≤0恒成立.则b+4的最小值为 () A.2v3 B.2 C.2W2 D.4 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9不等式ax-证十c>0的解集是{位合<<2，对于系数@，b,6下列结论正确的是 () A.a>0 B.b<0 C.a-b+c>0 D.不等式cx+br十a<0的解集为{<<2} 高一数学一第1页共4页一 10.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 () A.ab≤1 B.√a+√6≤2 C.(a+1)2+(b+1)2≤8 D.a3+b3≥2 11.非空数集AcR,同时满足如下两个性质：(1①)若a,b∈A,则ab∈A:(2)若a∈A,则】∈A.称A为 a. 一个“封闭集”，以下说法正确的是 () A.若A为一个“封闭集”，则1∈A B.若A为一个“封闭集”，且a,b∈A,则∈A C.若A,B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A二B或B二A D.若A,B都是“封闭集”，则AUB是“封闭集”的充要条件是A二B或B二A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12用列举法表示集合A={dE名。∈N=一 13.不等式x2-5x+4<0的解集是一 14.设a,b,c∈(0，+o0)且a2-2ab+96-c=0,则当b取最大值时，3+2-9的最大值为 a b c 四、解答题：本题共5小题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步联. 15.已知全集U=R,集合A={xx2-4x-5<0},B={x-2a≤c≤a+3}. (1)若a=1,求(CwA)∩B; (2)若A∩B=A,求a的取值范围. 高一数学一第2页共4页一 16.已知命题p:3x∈{x-1≤x≤2}，x+k>0,命题q:Hx∈R,16kac2+8kax-3<0. (1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围； (2)若命题p和q至少有一个为真命题，求实数k的取值范围. 17.已知集合A={x2-3c+2=0},集合B={x2+2(a+1)x+a2-5=0} (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. 18.育人中学为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米.底面 积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙.无需建造费用，甲工程队给 出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，压 顶和地面以及其他报价共计14400元。设荣誉室的左右两面墙的长度均为x(米)(3≤x≤6). (1)将甲工程队的整体报价f(x)(元)表示为长度x(米)的函数； (2)当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？井求出最低整体报价； (3)现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为18000元(a>0),若无论左右两面 m 墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数 a的取值范围. 高一数学一第3页共4页一 19.已知关于x的不等式(a-1)x2-2bc-2<0的解集为{d-1<x<2}. (1)求实数a,b的值： (2)若m≤0，求关于x的不等式am2+(m-a)x-1≥0的解集： (3)若对任意实数c∈[1,2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围. 高一数学一第4页共4页一