专题03 代数式（期中复习讲义·培优版）七年级数学上学期新教材人教版

专题03 代数式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 代数式的识别和书写规范 题型02 列代数式 题型03 正（反）比例关系 题型04 用代数式表示数、图形的规律 题型05 直接代入求代数式的值 题型06 整体代入求代数式的值 题型07 数字类、图形类规律探索 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的识别 能依据定义准确辨别一个式子是否为代数式 基础小题考点，常以选择、判断形式考查，高频陷阱是混入等号、不等号。 代数式书写规范 能判别代数式书写正误，会按照规范改写代数式。 期中高频基础考点，多出选择题，易错点：带分数、乘除、系数1的书写。 列代数式 能读懂文字数量关系，准确把文字描述转化为代数式。 核心重点，选择填空、解答题均会出现；易错点：分不清"增加了"与"增加到"，括号漏写。 求代数式的值 能熟练完成代入、计算两步，正确求出代数式的值。 必考题型，小题、大题都有；易错点：代入负数、分数时漏加括号。 反比例关系判断与表达式 能根据定义判断两个量是否成反比例，会书写反比例关系式。 中档小题，常结合实际情境考查，容易忽略条件。 知识点01代数式的概念 像、、、，都是用运算符号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式。 补充：单独的一个数或一个字母也是代数式。 ⚠️注意：代数式中不能含有、、、、、等关系符号。 知识点02列代数式 列代数式：把文字语言转化为数学符号语言，将数量语句用数字、字母、运算符号的式子表示。 1.审题抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少等。 2.合理断句，根据运算顺序正确添加括号。 代数式书写规范 （1）数字与字母、字母与字母相乘，乘号写作""或者直接省略； （2）除法运算写成分数形式，不写除号； （3）数字与字母相乘，数字写在字母前面； （4）带分数要改写为假分数； （5）系数为时，数字省略不写。 知识点03代数式的读法及意义 1.读法 （1）按运算顺序读：如读作加上； （2）按运算结果读：如读作与的和。 2.实际意义：给代数式中的字母、数赋予实际场景，代数式就可以表示实际问题的数量关系。 知识点04反比例关系 两种相关联的量，一个量变化，另一个量随之变化，两个量的乘积始终为定值，则二者成反比例关系。 若、为关联变量，定值，则反比例关系式：。称为比例系数。 知识点05代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式运算关系计算得到的结果，叫做代数式的值。 代数式的值随字母取值改变；字母取值确定，代数式的值就唯一确定。 求代数式的值两步：（1）代入：用给定数值替换代数式中的字母；（2）计算：按照代数式的运算顺序算出最终结果。 题型01 代数式的识别和书写规范 解｜题｜技｜巧 识别代数式时，重点观察式子，只要含有、、、、、就不是代数式，单独数或字母属于代数式。 书写上牢记规则，乘号可省略或写""，除法改写分数形式，数字写字母前面，带分数化为假分数，系数为时省略。做题多对照规范排查错误。 【例1】下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列代数式书写规范的是（     ） A．元 B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 题型02 列代数式 解｜题｜技｜巧 先圈出题目的关键词，比如和差积商、倍分、增加了、增加到，区分词语含义，避免理解偏差。 读懂题意合理断句，分清运算先后顺序，需要优先计算的部分及时添加括号。把文字描述逐层翻译成数学式子，写完后反向检验，核对是否符合原题语义。 【例3】将含糖的糖水与含糖的糖水混合，混合后的糖水含糖率（     ） A． B． C． D． 【例4】列代数式： (1)的平方与的一半的和； (2)一个两位正整数，它的十位数字是，个位数字是，写出这个两位数． 【变式2-1】成都七中英才学校球队要购买20个篮球和12个足球，每个篮球元，每个足球元，一共需要_____元．（用含的代数式表示） 【变式2-2】在某月的月历中，若用一个正方形框出4个数，设左上角的数为，则另外的三个数分别为________，_______，________． 【变式2-3】电影院某部电影原来每张票60元，现在降价，观众人数增加．现在卖电影票的收入是否减少？ 题型03 正（反）比例关系 解｜题｜技｜巧 判断正比例看两个量的比值固定，反比例看两个量的乘积固定，同时注意常数不能等于。 先找出题目里两个变化的关联量，列出两者的关系式，看是商定值还是积定值。不能只看变量同时变大变小，一定要通过列式计算验证，避免凭直观感觉判断。 【例5】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．聪聪的年龄和体重 B．看一本书，已经看过的与未看过的页数 C．速度一定，路程和时间 D．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 【例6】下面各选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则当压强一定时，与的关系和当压力一定时，与的关系分别是（   ） A．正比例关系，正比例关系 B．正比例关系，反比例关系 C．反比例关系，正比例关系 D．反比例关系，反比例关系 【变式3-2】长方体的体积一定时，底面积和高（     ） A . 成正比例        B．成反比例       C． 不成比例       D．无法判断 【变式3-3】若与两个量成反比例关系，且与的对应关系如下表所示，则的值为________． 1 2 5 20 … 500 250 25 … 题型04 用代数式表示数、图形的规律 解｜题｜技｜巧 先依次写出前2—3组对应的数据，把图形问题转化成数字表格，对比序号和对应结果。 分开观察不变部分与变化部分，重点分析系数、符号的变化特点。归纳出第个的代数式后，把前面的序号代入式子验算，检验推导出来的式子是否成立。 【例7】将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【例8】按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 【变式4-1】如图所示的日历中，用正方形在日历内任意圈出四个数，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系为________． 【变式4-2】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【变式4-3】观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 题型05 直接代入求代数式的值 解｜题｜技｜巧 第一步做好代入，把字母全部替换成给定数值，负数、分数代入时一定要加上括号，防止符号出错。 再按照有理数运算顺序计算，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号优先算括号内部。计算过程分步书写，不要跳步，减少计算失误，最后算出最终结果。 【例9】若，则______． 【例10】定义新运算“”，，则___________． 【变式5-1】若a，b，c，d是互不相等的整数且满足，则的值为________． 【变式5-2】设x是最小的正整数，y是最大的负整数，z是绝对值最小的有理数，则______． 【变式5-3】请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是” 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1) ， ， ； (2)求的值． 题型06 整体代入求代数式的值 解｜题｜技｜巧 观察已知条件和所求代数式，找两者之间相同的整体部分，不单独求解字母具体数值。 对所求代数式做变形，通过拆项、提公因式，凑出题目给出的整体式子。将已知整体的值直接整体替换进去，再进行化简计算，规避复杂解方程，简化运算过程。 【例11】已知的值为9，则代数式的值为________． 【例12】已知，则的值是________． 【变式6-1】若x，y满足等式，且，则式子的值为______． 【变式6-2】若，则代数式的值为________． 【变式6-3】“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：可以把看成一个整体，则． 已知，，请你利用这种思想解决下列问题： （1）的值为________； （2）的值为________． 题型07 数字类、图形类规律探索 解｜题｜技｜巧 数字类分析符号、系数、分子分母的变化；图形类先数出前几个图形对应数量，列出对应序列。 找出每一次的增量，区分初始值和每次增加的量。猜想出第项代数式，选取2个以上序号回代验证。遇到正负交替变化，注意用处理符号规律。 【例13】观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律可得的个位数字是（     ） A． B． C． D． 【例14】用小棒按下图的方式摆三角形，相邻两个三角形共用一条边．摆 n 个三角形需要（     ）根小棒 A． B． C． D． 【变式7-1】用小棒摆正方形，相邻两个正方形共用一条边．摆个正方形用根小棒，摆个用根，摆个用根，，按这样的规律： （）摆个正方形需要______根小棒； （）摆个正方形需要______根小棒． 【变式7-2】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有_________个★． 【变式7-3】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，所以，就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号） ①；②；③． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数构成一对“隔一数对”． 计算：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各式符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 2．关于代数式的意义，下列说法错误的是（     ） A．单价为10元的荔枝与单价为5元的苹果的总价格是元 B．的10倍与的5倍的和为 C．甲从A地出发每小时走10km，乙从B地出发每小时走5km，两人相向而行，甲走，乙走，两人相遇，则A，两地间的距离为 D．面值为10元的人民币张和面值为5元的人民币张共元 3．有个连续偶数，若中间一个数用（为正整数）表示，则这3个连续偶数可以表示为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知：，，且，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 5．已知，满足等式，则的值为________ 6．一本故事书有页，小华每天看15页，看了天，还剩_____页没有看；当、时，还剩_____页． 7．数学社团设计了一个“加密程序”，它输出的数 y 与输入的数 x 满足 ．若输入，则输出的数是 ______；若输入，则输出的数是 ______． 8．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由___________个基本图形组成，第n个图案由___________个基本图形组成． 9．已知有理数满足，，且，，求的值． 10．已知． (1)求x，y的值； (2)若，求z的值 11．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 12．已知整数满足，且，那么_____． 13．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 14．观察下列正方形中四个数，具有一定的规律，根据规律可得____． 15．对于任意有理数a，b定义一种新运算：， (1)若，求的值； (2)求的值． 16．给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 (1)分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 17．三个互不相等的有理数，既可表示为1，，a的形式，又可表示为0，，b的形式．则______． 18．某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 代数式的识别和书写规范 题型02 列代数式 题型03 正（反）比例关系 题型04 用代数式表示数、图形的规律 题型05 直接代入求代数式的值 题型06 整体代入求代数式的值 题型07 数字类、图形类规律探索 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的识别 能依据定义准确辨别一个式子是否为代数式 基础小题考点，常以选择、判断形式考查，高频陷阱是混入等号、不等号。 代数式书写规范 能判别代数式书写正误，会按照规范改写代数式。 期中高频基础考点，多出选择题，易错点：带分数、乘除、系数1的书写。 列代数式 能读懂文字数量关系，准确把文字描述转化为代数式。 核心重点，选择填空、解答题均会出现；易错点：分不清"增加了"与"增加到"，括号漏写。 求代数式的值 能熟练完成代入、计算两步，正确求出代数式的值。 必考题型，小题、大题都有；易错点：代入负数、分数时漏加括号。 反比例关系判断与表达式 能根据定义判断两个量是否成反比例，会书写反比例关系式。 中档小题，常结合实际情境考查，容易忽略条件。 知识点01代数式的概念 像、、、，都是用运算符号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式。 补充：单独的一个数或一个字母也是代数式。 ⚠️注意：代数式中不能含有、、、、、等关系符号。 知识点02列代数式 列代数式：把文字语言转化为数学符号语言，将数量语句用数字、字母、运算符号的式子表示。 1.审题抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少等。 2.合理断句，根据运算顺序正确添加括号。 代数式书写规范 （1）数字与字母、字母与字母相乘，乘号写作""或者直接省略； （2）除法运算写成分数形式，不写除号； （3）数字与字母相乘，数字写在字母前面； （4）带分数要改写为假分数； （5）系数为时，数字省略不写。 知识点03代数式的读法及意义 1.读法 （1）按运算顺序读：如读作加上； （2）按运算结果读：如读作与的和。 2.实际意义：给代数式中的字母、数赋予实际场景，代数式就可以表示实际问题的数量关系。 知识点04反比例关系 两种相关联的量，一个量变化，另一个量随之变化，两个量的乘积始终为定值，则二者成反比例关系。 若、为关联变量，定值，则反比例关系式：。称为比例系数。 知识点05代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式运算关系计算得到的结果，叫做代数式的值。 代数式的值随字母取值改变；字母取值确定，代数式的值就唯一确定。 求代数式的值两步：（1）代入：用给定数值替换代数式中的字母；（2）计算：按照代数式的运算顺序算出最终结果。 题型01 代数式的识别和书写规范 解｜题｜技｜巧 识别代数式时，重点观察式子，只要含有、、、、、就不是代数式，单独数或字母属于代数式。 书写上牢记规则，乘号可省略或写""，除法改写分数形式，数字写字母前面，带分数化为假分数，系数为时省略。做题多对照规范排查错误。 【例1】下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，均为代数式． 不是代数式． 【例2】下列代数式书写规范的是（     ） A．元 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、元书写规范，故此选项正确； B、正确的书写格式是，故此选项错误； C、正确的书写格式是，故此选项错误； D、正确的书写格式是，故此选项错误． 【变式1-1】下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，是数与字母经过运算得到的式子，是代数式．故A项不符合题意． B.，单独一个字母属于代数式，是代数式．故B项不符合题意． C.，式子中含有等号，是等式，不是代数式．故项符合题意． D.，单独一个数属于代数式，是代数式．故D项不符合题意． 【变式1-2】下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：的带分数系数应化为假分数，不符合书写要求． 与均将除法运算写为分数形式，符合书写要求． 中相同字母相乘应写为幂的形式，不符合书写要求． 符合要求的代数式共有2个． 【变式1-3】有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】①符合书写要求； ②百分比符号符合书写要求； ③米应写成米，不符合书写要求； ④符合书写要求； ⑤应写成，不符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求． 故符合要求的有①②④． 故答案为：①②④． 题型02 列代数式 解｜题｜技｜巧 先圈出题目的关键词，比如和差积商、倍分、增加了、增加到，区分词语含义，避免理解偏差。 读懂题意合理断句，分清运算先后顺序，需要优先计算的部分及时添加括号。把文字描述逐层翻译成数学式子，写完后反向检验，核对是否符合原题语义。 【例3】将含糖的糖水与含糖的糖水混合，混合后的糖水含糖率（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：混合后糖的总质量为， 糖水总质量为， 混合后糖水含糖率为． 【例4】列代数式： (1)的平方与的一半的和； (2)一个两位正整数，它的十位数字是，个位数字是，写出这个两位数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：的平方与的一半的和可表示为 ； （2）解：由题意得该两位数可表示为． 【变式2-1】成都七中英才学校球队要购买20个篮球和12个足球，每个篮球元，每个足球元，一共需要_____元．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【详解】解：购买个篮球需要元，购买个足球需要元， ∴一共需要元． 【变式2-2】在某月的月历中，若用一个正方形框出4个数，设左上角的数为，则另外的三个数分别为________，_______，________． 【答案】 【详解】解：∵月历同一行从左到右，相邻两个数相差1，左上角的数为， ∴与同行右侧的数为； ∵月历同一列从上到下，相邻两个数相差7， ∴与同列下一行的数为， ∵右下角的数与同行相邻，比大1， ∴右下角的数为， ∴另外三个数分别为，，． 【变式2-3】电影院某部电影原来每张票60元，现在降价，观众人数增加．现在卖电影票的收入是否减少？ 【答案】现在卖电影票的收入没有减少 【详解】解：设原来有观众人． 原收入：元， 现价：元， 现观众：人， 现收入：元， ， 答：现在卖电影票的收入没有减少． 题型03 正（反）比例关系 解｜题｜技｜巧 判断正比例看两个量的比值固定，反比例看两个量的乘积固定，同时注意常数不能等于。 先找出题目里两个变化的关联量，列出两者的关系式，看是商定值还是积定值。不能只看变量同时变大变小，一定要通过列式计算验证，避免凭直观感觉判断。 【例5】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．聪聪的年龄和体重 B．看一本书，已经看过的与未看过的页数 C．速度一定，路程和时间 D．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 【答案】D 【详解】解：A. 聪聪的年龄和体重乘积不固定，不成反比例． B. 已看页数与未看页数的和为总页数（一定），乘积不一定，不成反比例． C. 速度一定时，（一定），比值一定，成正比例，不成反比例． D. 长方体体积一定时，（一定），乘积一定，成反比例． 故答案为D． 【例6】下面各选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项：由可得，比值一定，成正比例关系； 选项、：为和定，即为差定，均不成比例； 选项：，乘积一定，成反比例关系． 【变式3-1】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则当压强一定时，与的关系和当压力一定时，与的关系分别是（   ） A．正比例关系，正比例关系 B．正比例关系，反比例关系 C．反比例关系，正比例关系 D．反比例关系，反比例关系 【答案】B 【详解】解：∵ ∴当压强一定时，与的比值为定值，根据正比例关系的定义，两个相关联的量比值一定则成正比例关系， ∴与成正比例关系． 又∵， ∴当压力一定时， ∴当压力一定时，与的乘积为定值，根据反比例关系的定义，两个相关联的量乘积一定则成反比例关系， ∴与成反比例关系． 故选B． 【变式3-2】长方体的体积一定时，底面积和高（     ） A . 成正比例        B．成反比例       C． 不成比例       D．无法判断 【答案】B 【详解】解：根据长方体体积公式，即长方体的体积一定时，底面积×高的积一定， ∴底面积和高成反比例． 【变式3-3】若与两个量成反比例关系，且与的对应关系如下表所示，则的值为________． 1 2 5 20 … 500 250 25 … 【答案】100 【详解】解：∵与两个量成反比例关系， ∴的值为定值， ∵当时，， ∴定值， ∴当时，， 解得． 题型04 用代数式表示数、图形的规律 解｜题｜技｜巧 先依次写出前2—3组对应的数据，把图形问题转化成数字表格，对比序号和对应结果。 分开观察不变部分与变化部分，重点分析系数、符号的变化特点。归纳出第个的代数式后，把前面的序号代入式子验算，检验推导出来的式子是否成立。 【例7】将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 【例8】按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 【答案】(1)第n个图形需要根小棒 (2)如图所示： (3)如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 答：第n个图形需要根小棒 【详解】（1）解：第1个图形需要小棒：（根）； 第2个图形需要小棒：（根）； 第3个图形需要小棒：（根）； 以此类推，第n个图形需要根小棒； （2）解：如图所示： 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形有小棒：（根）； （3）解：如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形需要根小棒． 【变式4-1】如图所示的日历中，用正方形在日历内任意圈出四个数，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：①横向来看，，则； ②纵向看，，则； ③对角线的角度看：． 【变式4-2】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【答案】/ 【详解】解：第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有个黑点； 第四个图形有个黑点， ∴第m幅图的点数是个． 【变式4-3】观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， 可知第①行的第个数为， 故第个数为． （2）解：观察可知，第②行的数比第①行对应位置的数大， 第①行的第个数是， 故第②行的第个数是． （3）解：观察可知，第③行的数为第①行对应位置的数的， 第①行的第个数是， 则第③行的第个数是， 第①行的第个数是， 第②行的第个数是， 第③行的第个数是， ， 故这三个数的和为． 题型05 直接代入求代数式的值 解｜题｜技｜巧 第一步做好代入，把字母全部替换成给定数值，负数、分数代入时一定要加上括号，防止符号出错。 再按照有理数运算顺序计算，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号优先算括号内部。计算过程分步书写，不要跳步，减少计算失误，最后算出最终结果。 【例9】若，则______． 【答案】1 【详解】解：， ，， ，， ． 【例10】定义新运算“”，，则___________． 【答案】1 【详解】解：∵ 定义新运算，计算， ∴ 令，，代入得： ． 【变式5-1】若a，b，c，d是互不相等的整数且满足，则的值为________． 【答案】0或或6或或3 【详解】解：∵，是正数， 若四个数均为正整数，最小的四个互不相等正整数乘积为，不成立； 若四个数均为负整数，最小绝对值乘积同样为，不成立； ∴负因数个数只能为个， ①四个互不相等的整数为 ∴； ②四个互不相等的整数为， ∴； ③四个互不相等的整数为 ∴； ④四个互不相等的整数为 ∴ ⑤四个互不相等的整数为 ∴ 综上：的值为0或或6或或3． 【变式5-2】设x是最小的正整数，y是最大的负整数，z是绝对值最小的有理数，则______． 【答案】 【详解】解：∵x是最小的正整数，y是最大的负整数，z是绝对值最小的数， ∴，，， ∴． 【变式5-3】请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是” 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1) ， ， ； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】 【详解】（1）解：∵a的相反数是3，b的绝对值是7， ∴， ∵a和b的符号相同， ∴， ∵c与b的和是， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 题型06 整体代入求代数式的值 解｜题｜技｜巧 观察已知条件和所求代数式，找两者之间相同的整体部分，不单独求解字母具体数值。 对所求代数式做变形，通过拆项、提公因式，凑出题目给出的整体式子。将已知整体的值直接整体替换进去，再进行化简计算，规避复杂解方程，简化运算过程。 【例11】已知的值为9，则代数式的值为________． 【答案】7 【详解】解：∵的值为9， ∴， ∴， ∴． 【例12】已知，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式6-1】若x，y满足等式，且，则式子的值为______． 【答案】 【详解】解：，， ，， ． 【变式6-2】若，则代数式的值为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：可以把看成一个整体，则． 已知，，请你利用这种思想解决下列问题： （1）的值为________； （2）的值为________． 【答案】 6 10 【详解】解：（1）． （2）． 题型07 数字类、图形类规律探索 解｜题｜技｜巧 数字类分析符号、系数、分子分母的变化；图形类先数出前几个图形对应数量，列出对应序列。 找出每一次的增量，区分初始值和每次增加的量。猜想出第项代数式，选取2个以上序号回代验证。遇到正负交替变化，注意用处理符号规律。 【例13】观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律可得的个位数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，，，， 所以个位数字的规律是以这个数为一个循环周期． 因为， 所以的个位数字与的个位数字相同，为． 【例14】用小棒按下图的方式摆三角形，相邻两个三角形共用一条边．摆 n 个三角形需要（     ）根小棒 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：若个三角形互不共用边，共需根小棒， ∵相邻两个三角形共用1条边， ∴个三角形共有条共用边，即少用根小棒， ∴实际需要小棒数为． 【变式7-1】用小棒摆正方形，相邻两个正方形共用一条边．摆个正方形用根小棒，摆个用根，摆个用根，，按这样的规律： （）摆个正方形需要______根小棒； （）摆个正方形需要______根小棒． 【答案】 【详解】解：摆个正方形用根小棒，， 摆个用根，， 摆个用根，， ， ∴摆个正方形需要的小棒数量为， 当时，， ∴摆个正方形需要根小棒． 【变式7-2】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有_________个★． 【答案】 【详解】解： 第个图形有个★， 第个图形有个★， 第个图形有个★， 第个图形有个★， 第个图形有个★ 当时， 第个图形共有个★ 【变式7-3】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，所以，就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号） ①；②；③． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数构成一对“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：① ，是隔一数对． ② ，不是隔一数对． ③ 两者相等，是隔一数对。 （2）解：逐项计算： 代入原式：. （3）解：已知连续非零整构成一对隔一数对，即： ， 所以：原式， ， 裂项相消，中间项全部抵消：. 【点睛】定义新运算核心是读懂规则，照猫画虎代入计算，不要和原有运算混淆；遇到连续分数相加的形式优先考虑裂项相消，中间项可以相互抵消，大幅简化计算． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各式符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、正确书写形式为，故本选项不符合题意； B、正确书写形式为，故本选项不符合题意； C、书写形式正确，故本选项符合题意； D、正确书写形式为，故本选项不符合题意． 2．关于代数式的意义，下列说法错误的是（     ） A．单价为10元的荔枝与单价为5元的苹果的总价格是元 B．的10倍与的5倍的和为 C．甲从A地出发每小时走10km，乙从B地出发每小时走5km，两人相向而行，甲走，乙走，两人相遇，则A，两地间的距离为 D．面值为10元的人民币张和面值为5元的人民币张共元 【答案】C 【详解】解：A．单价为10元的荔枝与单价为5元的苹果的总价格是元，正确； B．的10倍与的5倍的和为，正确； C．甲从A地出发每小时走10km，乙从B地出发每小时走5km，两人相向而行，甲走，乙走，两人相遇，则A，两地间的距离为，故不正确； D．面值为10元的人民币张和面值为5元的人民币张共元，正确． 3．有个连续偶数，若中间一个数用（为正整数）表示，则这3个连续偶数可以表示为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】∵连续偶数相邻两数相差2，中间数为， ∴前一个偶数为，后一个偶数为． 即三个连续偶数为 ，，． 4．已知：，，且，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或， 此时或. 当时，均不满足，舍去. 5．已知，满足等式，则的值为________ 【答案】 【详解】解：∵任意实数的绝对值为非负数，任意实数的平方为非负数， ， ，， ，， 解得 ，， ． 6．一本故事书有页，小华每天看15页，看了天，还剩_____页没有看；当、时，还剩_____页． 【答案】 80 【详解】解：小华天一共看了 页， 总页数为页，因此剩余没看的页数为 页， 当 ， 时， 代入计算得 ， 因此此时还剩页． 7．数学社团设计了一个“加密程序”，它输出的数 y 与输入的数 x 满足 ．若输入，则输出的数是 ______；若输入，则输出的数是 ______． 【答案】 10 5 【详解】解：当 时，； 当 时，． 8．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由___________个基本图形组成，第n个图案由___________个基本图形组成． 【答案】 31 / 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由4个基本图形组成，； 第2个图案由7个基本图形组成，； 第3个图案由10个基本图形组成，； ∴第10个图案由个基本图形组成； ∴第n个图案由个基本图形组成． 9．已知有理数满足，，且，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的值为． 10．已知． (1)求x，y的值； (2)若，求z的值 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：，且 ， ，； （2）解：把 代入 ，得 ， 即 ， ． 11．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ； （2）解：将，代入得， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 12．已知整数满足，且，那么_____． 【答案】5 【详解】解：∵整数满足，且，， ∴， ∴． 13．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 【答案】 【详解】解：输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 依次类推，从第次输出开始，结果分别以、、、、、循环． ， 第次输出的结果是． 14．观察下列正方形中四个数，具有一定的规律，根据规律可得____． 【答案】 【详解】解：， ， ， 以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和， 观察可知上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，即第幅图，右上角的数为，左下角的数为，左上角的数为， 当时，解得， 把，代入，得，， ， ． 15．对于任意有理数a，b定义一种新运算：， (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴． 16．给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 (1)分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 【答案】(1) (2)需要块 【分析】 【详解】（1）解：根据表格的数据得：；；，， 所以，，即； （2）解：换算单位得5分米米， 边长为5分米的方砖面积为（平方米）， 把代入得：， 所以，需要块． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 17．三个互不相等的有理数，既可表示为1，，a的形式，又可表示为0，，b的形式．则______． 【答案】2 【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为，，的形式，又可表示为，，的形式， ∴两组数的元素完全相同，且，若，则无意义， ∴第一组中只有等于，即， ∴， ∴， 此时第一组元素为，，，第二组元素为，，， 比较元素可得，只能是，或，， 若，，第一组元素为，，，出现重复元素，不符合要求，舍去， 若，，第一组为，第二组为，符合互不相等的条件， ． 18．某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 【答案】(1) (2)甲，（或填乙，） (3)乙，76；112 【分析】 【详解】（1）解： 所以图1所示的长方形礼品盒的表面积为 （2）解：若选甲，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． 若选乙，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． （3）解：当时，若选甲，所需的包装纸的面积为， 若选乙，所需的包装纸的面积为， 因为， 所以从节约的角度选择乙种方式包装，所需包装纸． 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，有以下6种不同的摆放方式，如图所示： 观察可知，图⑤重合面积大，数量多，所构成的表面积最小， 所以图⑤最省包装纸，此时礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高，所需的包装纸的面积为 ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $