专题05 整式的应用10大题型57题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材人教版

专题05 整式的应用 基础·固本强基 题型一、周长问题 题型二、面积问题（重点） 提升·进阶突破 题型三、分段计费问题 题型四、方案选择问题（重点） 题型五、数式规律问题（重点） 拔高·压轴破难 题型六、图形类规律问题（难点） 题型七、日历问题 题型八、数阵问题 题型九、整除问题（难点） 题型十、幻方问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、周长问题 【模型】把图形边长用含字母的式子表达，周长本质是所有边长相加，得到整式后再化简求值，常见长方形、不规则组合图形。 【步骤】①根据图形标注各边长度，用字母表示未知边；②将所有边相加，列出周长代数式；③去括号、合并同类项化简，按需代入数值计算。 【易错】组合图形容易漏掉隐藏边；去括号时符号出错；边长代数式书写错误。 1．将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 2．如图，将5个形状相同的小长方形以两种方式去覆盖一个大长方形，若要求出两种方式未覆盖部分（阴影部分）的周长之差，只需要知道（    ） A．小长方形的宽 B．小长方形的长 C．小长方形的长和宽之差 D．大长方形的长和宽之差 【答案】A 【详解】解：设大长方形的宽为x，小长方形的长为a，宽为b， 由右图可知：大长方形的长为，则宽为x， 右图中阴影部分图形的周长是：， 左图中阴影部分图形的周长是：， ， 所以要求出两种方式未覆盖部分（阴影部分）的周长之差，只需要知道小长方形的宽， 故选：A． 3．从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：根据题意，这个长方形的周长为 ． 故选：D． 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为6小块，除长方形A，B外，其余4块是形状，大小完全相同的小长方形，设小长方形的宽为．若，则长方形A，B的周长之和为___． 【答案】80 【详解】解：设小长方形的长为， 则A的长为，宽为，B的长为，宽为， ， 即长方形A，B的周长之和为． 5．如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 【答案】 【分析】 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， ∴阴影的周长， 故答案为：． 6．现在有边长分别为的两种正方形卡片若干（如图1），还有一个长宽分别为13，9的长方形． (1)如图2，将两种正方形卡片各一张放入长方形中，计算出阴影部分的周长，并用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)如图3，将两张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长； (3)如图4，将两张边长为的正方形卡片与四张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长，并求当时阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）解：根据正方形四边相等，可知阴影部分的周长长方形的周长， 阴影部分的周长； 阴影部分的面积； （2）解：， 阴影部分是两个正方形的重叠部分， ； （3）解：， ， ， 当时， ． 题型二、面积问题 【模型】组合图形面积常用两种思路：分割求和，或是整体减去空白部分，列出整式化简，是整式加减最核心的几何应用。 【步骤】①选择分割法或补全法拆解图形；②分别写出各部分面积代数式；③列式，去括号合并同类项，化简后求值。 【易错】图形重叠区域重复相加或多减；系数计算失误；分不清整体与空白。 7．如图1是某圆形餐桌的桌面（阴影表示可折叠部分），把其折叠可得到如图2正方形桌面．已知圆形桌面的直径为，正方形桌面的边长为b．如图3、图4所示，现将两块边长都为的正方形桌布分别铺在圆形桌面和正方形桌面上，设桌布垂下部分的面积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得：，， ∴，即选项D符合题意． 8．已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【详解】解： ， ∵， ∴， 即长方形A与长方形B的面积差为6． 9．如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 10．如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） (1)用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） (2)若取3，求种植草皮的面积． 【答案】(1) (2)种植草皮的面积为 【分析】 【详解】（1）解：种植草皮的面积： ； （2）解：当取3时， 种植草皮的面积为：， 故种植草皮的面积为． 11．如图，长方形是一个花圃的示意图，四边形区域（阴影部分）种花，剩余两个三角形区域（三角形和三角形）种草，已知长方形花圃的长为，宽为，点E、F分别在线段上． (1)用含a、b的代数式表示种花区域（阴影部分）的面积；（结果化为最简） (2)当，时，求种花区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)种花区域（阴影部分）的面积为； (2)种花区域（阴影部分）的面积为． 【分析】 【详解】（1）解： 答：种花区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， 则， 答：种花区域（阴影部分）的面积为． 12．如图，①②两个正方形的边长分别为． (1)若，求阴影部分的面积； (2)用含的代数式表示阴影部分的面积； (3)阴影部分的面积（记作）和组合图形剩余部分的面积（记作）哪个大？大多少（用含的代数式表示）？ 【答案】(1)； (2) (3)，． 【分析】 【详解】（1）解：， ，， ∴； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：， ； ， ，． 13．现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含a的式子分别表示________，________； (2)当时，分别求，的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)解： 理由： ， ． 【分析】 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时 ， ； （3）略 提升·进阶突破 题型三、分段计费问题 【模型】总量划分为多个区间，每个区间单价标准不一样，不同区间对应不同整式，属于分类列式应用题。 【步骤】①找出收费分界点，划分区间；②判断已知量落在哪个区间；③按规则列出费用整式，化简并代入计算。 【易错】分界点归属判断错误；超额费用误算成全部总量乘高价，只超出部分加价。 14．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表格（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过8立方米的部分 2 超过8立方米的部分但不超过12立方米的部分 4 超过12立方米的部分 8 (1)若某户居民3月份用水10立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份共用水14立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民5月份共用水x立方米，则应收水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)该户居民3月份用水10立方米，则应收水费24元 (2)该户居民4月份用水14立方米，则应收水费48元； (3)该户居民5月份共用水x立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元 【分析】 【详解】（1）解：由表格可得， （元）； 答：该户居民3月份用水10立方米，则应收水费24元； （2）解： （元）， 答：该户居民4月份用水14立方米，则应收水费48元； （3）解：当时， 则应收水费 （元）； 当时，则应收水费 （元）； 答：该户居民5月份共用水x立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元． 15．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 不超出6立方米的部分 超出6立方米但不超出10立方米的部分 超出10立方米的部分 注：水费按月结算 单价 2元/米 4元/米 8元/米 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2、3月份共用水15立方米，当2月份用水立方米时，该户居民3月份应交水费多少元？（用含的整式表示，结果要化成最简形式） (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水立方米，求该户居民4、5月份应交水费多少元？（用含的整式表示，结果要化成最简形式） 【答案】(1)20元 (2)元 (3)当时，总水费为元；当时，总水费为元；当时，总水费为36元 【分析】 【详解】（1）解：（元）； 答：应交水费20元； （2）∵， ∴， ∴3月份应交水费为元； （3）当时，，总水费为元； 当时，，总水费为元； 当时，，总水费为元； 16．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的．该市自来水收费的价目表如表（注：水费按月份结算）： 每月用水量 价格 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 5元 超过的部分 9元 设李老师家某月用水量为 (1)若，则李老师家当月应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示） (2)若，则李老师家当月应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示） (3)若李老师家10月份用水，则李老师家当月应缴纳水费多少元? 【答案】(1)元 (2)元 (3)李老师家当月应缴纳水费118元 【分析】 【详解】（1）解：当时，应缴纳水费元； （2）解：当时，应缴纳水费元； （3）解：当时，（元） 答：李老师家当月应缴纳水费118元． 17．某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表： 一次性购物价格m（元） 优惠办法 不予优惠 全部按9折优惠 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠 (1)若小惠一次购物原价400元，她实际付款________元； 若一次购物原价600元，她实际付款________元． (2)若小惠在该超市一次购物x元．当元时，她实际付款________元（用含x的代数式表示）． (3)如果小惠两次购物合计900元（原价），第一次购物的原价为a元（），用含a的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？当元时，小惠两次购物一共节省了多少元？ 【答案】(1)360；530； (2)； (3)元；小惠两次购物一共节省了105元. 【分析】 【详解】（1）解：若小惠一次购物原价400元，则实际付款为： （元）， 若一次购物原价600元，则实际付款为： （元）． 故答案为：360；530； （2）解：当时，她实际付款为： 元． 故答案为：； （3）解：小惠第一次购物原价为元，则小惠第二次购物原价为元， 小惠第一次付款为元， 第二次付款为元， 小惠两次购物实际付款为元， 当时，小惠两次购物一共节省了：（元）， 答：用含的代数式表示两次购物实际付款一共元，当元时，小惠两次购物一共节省了105元． 18．某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都为10元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的90%优惠；批发数量不超过200千克，按零售价的80%优惠；超过200千克的按零售价的70%优惠． B家的规定如下表： 数量范围（千克） 0～50 50以上～150的部分 150以上～250的部分 250以上的部分 价格（元） 零售价的90% 零售价的80% 零售价的70% 零售价的60% （1）如果他批发60千克苹果，则他在A、B两家批发分别需要多少元？ （2）如果他批发x千克苹果（150＜x＜200），请你分别用含x的代数式表示他在A、B两家批发所需的费用； （3）现在他要批发180千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由． 【答案】（1）他在A、B两家批发分别需要540元，530元；（2）A家所需费用为8x，B家所需费用为7x+200；（3）选择A家更优惠，理由见解析． 【分析】 【详解】解：（1）由题意可得， A家批发苹果费用：60×10×90%=540（元）， B家批发苹果费用：50×10×90%+10×10×80%=530（元）， 答：他在A、B两家批发分别需要540元，530元； （2）由题意可得， A家所需费用：10x×80%=8x元， B家所需费用：50×10×90%+100×10×80%+(x−150)×10×70%=450+800+7x−1050=(7x+200)元； （3）选择A家更优惠，理由如下： 由题意可得，在A家花费为：8x=8×180=1440（元）， 在B家花费为：7x+200=7×180+200=1460（元）， ∵1440<1460， ∴选择A家更优惠． 【点睛】本题主要考查列代数式的实际应用，理解题目中的数量关系，列出代数式，是解题的关键． 题型四、方案选择问题 【模型】根据题意列出多种方案对应的费用整式，通过作差法比较代数式大小，根据字母取值选出最优方案。 【步骤】①针对每种方案，分别列出费用的整式；②化简各个代数式；③作差比较大小，结合实际意义选方案。 【易错】忘记未知数实际取值范围；比较代数式时不分类讨论；列式漏写固定费用。 19．为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 20．一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【答案】(1), (2)方案一更省钱 (3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元 【分析】 【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元， 方案二的总付款金额为元； 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一的总付款金额为：（元）， 方案二的总付款金额为：（元）， ， 方案一更省钱； （3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买， 混合总费用为：（元）， ， 存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元． 21．为贯彻落实教育部提出的五育并举，发展学生的劳动教育，七（1）班计划在培植园内规划一块长方形菜地．已知培植园有一面足够长的墙可以利用，班级准备用长度为的篱笆围成长方形菜地．同学们设计了以下两种方案： 方案一：如图1，利用墙体作为菜地的一条长边，左右两侧各用长的篱笆围成宽，在平行于墙的另一边开一个宽的小门（门不需要篱笆）．此方案围成的长方形菜地面积为； 方案二：如图2，利用墙体作为菜地的一条长边，在左右两侧各开一个宽的小门（门不需要篱笆），左右两侧各用长的篱笆围成宽，用剩余篱笆围成平行于墙的另一边．此方案围成的长方形菜地面积为． (1)图1中长方形的边长度为______m；图2中长方形的边长度为______m；（用含a的代数式表示） (2)七（1）班的同学们在计算过程中发现，的值与a无关．请判断这个发现是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：这个发现正确，理由如下： 由题意可得：，， ∴ ， 故的值与a无关． 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得：图1中长方形的边长度为； 图2中长方形的边长度为； （2）略 22．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)方案二划算，便宜180元 (2) 购买A商品件，B商品件，两种方案所需费用如下： 方案一：； 方案二：； 作差比较：； 因x为正整数，， 所以， 故方案二更合算． 【分析】 【详解】（1）解：两种方案所需费用如下： 方案一：（元）； 方案二： （元）， ， 方案二划算，便宜（元）． （2）略 23．为庆祝校园科技节，某班计划为同学们定制纪念衫．现有两家网店提供定制方案如下： 网店甲：每件纪念衫定价元，另收元设计制版费． 网店乙：定制数量不超过件时，每件元；超过件时，超过部分每件元．（不收取设计制版费） 设班级定制纪念衫件． (1)请用含的代数式分别表示两家网店的总费用． (2)如果班级需要定制件纪念衫，在不考虑其他因素的情况下，选择哪家网店总费用更低？请通过计算说明理由． 【答案】(1)甲网店的费用为元，乙网店的费用为元 (2)选择乙网店的费用更低 【分析】 【详解】（1）解：甲网店的费用：． 乙网店的费用： 答：甲网店的费用为元，乙网店的费用为元． （2）选择乙网店的费用更低． 当时， （元） （元） ∵． 答：选择乙网店的费用更低． 题型五、数式规律问题 【模型】观察一组式子，对比序号与式子结构，区分不变部分和随序号变化部分，归纳出第n项整式。 【步骤】①写出前几项对应结果；②分析符号、系数、数字的变化规律；③写出第n个代数式，验证正确性。 【易错】序号n和表达式对应错位；正负符号规律判断错误；只看表面数字忽略式子结构。 24．有一列按规律排列的代数式：，，，，，……相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第4个代数式的值为8，则前7个代数式的和为（   ） A．28 B．56 C．84 D．112 【答案】B 【详解】解：由题意得，相邻两个代数式的差都是， 前7个代数式为：，，，，，，， 前7个代数式的和， 第4个代数式的值为8， ， ， 前7个代数式的和为56． 故选：B． 25．观察下面三行数： 1，4，9，16，25，36，．．．．．① 3，6，11，18，27，38，．．．．．② 0，﹣3，﹣8，﹣15，﹣24，﹣35，．．．．．③ （1）第①行第7个数是 　 　；第n个数是 　 　； （2）将位于同一列的第①行数与第③行数相加，你能发现什么规律 　 　，根据这个规律可得第③行的第8个数是 　 　； （3）三行数中位于第n列的三个数之和可能为103吗？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 【答案】（1）49； n2．（2）其和为1；-63．（3）存在，三数为：100、102、-99． 【分析】 【详解】解：（1）∵1，4，9，16，25，36，．．．．．① ∴第①行第7个数是49；第n个数为：n2． （2）1+0=1,4+(﹣3)=1,9+(﹣8)=1, 16+(﹣15)=1…… 故将位于同一列的第①行数与第③行数相加，发现其和为1； ∵第①行，第n个数为：n2，则第8个数是64 ∴第③行的第8个数是-63． （3）∵第①行第n个数为：n2，第二行第n个数为：n2+2，第三行第n个数为：-（n2-1）， 所以，第n列的三个数之和n2+ n2+2+[-（n2-1）]= n2+3 当n2+3=103时， n=10． ∴三数为：100、102、-99． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数据． 26．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 【答案】D 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故选D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键． 27．给出按一定规律排列的三组数（如下表）： 第一组 … 第二组 … 第三组 … (1)每组的第8个数从上到下依次是_________，_________，_________（用数字作答），第一组的第（为正整数）个数是_________（用含的代数式表示）； (2)求每组的第2025个数的和； (3)取每一组的第个数，从上到下依次记作a，b，c，对于任意正整数，判断代数式的值是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)0 (3) 代数式的值为定值，理由如下： 由（1）得，，， ， 故的值为定值． 【分析】 【详解】（1）解：第一组：观察数： 符号：奇数项为负，偶数项为正，即符号由决定； 绝对值：，，，，是，，，，，； 故第一组第个数：． 第二组：观察数： 对比第一组对应项：，，，，； 故第二组第个数：第一组第个数． 第三组：时，； 时，； 时，； ； 故第三组第个数：． 第一组第8个数： ∵第一组第个数为， ∴当时，； 第二组第8个数： ∵第二组第个数为， ∴当时，； 第三组第8个数： ∵第三组第个数为， ∴当时，； 故答案为：，，，． （2）解：第一组第2025个数：， 第二组第2025个数：， 第三组第2025个数：， ； （3）略 28．下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式． 序号 1 2 3 …… 图形 …… 例如：第1格的“特征多项式”为， 第2格的“特征多项式”为． 回答下列问题： （1）第4格的“特征多项式”为 ，第格的“特征多项式”为 ；（为正整数） （2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差． 【答案】（1），；（2） 【分析】 【详解】解：（1）第1格的“特征多项式”为， 第2格的“特征多项式”为， 第3格的“特征多项式”为， 则第4格的“特征多项式”为； 由此发现：第格的“特征多项式”为， 故答案是：， （2）因为第5格的“特征多项式”为第6格的“特征多项式”为 所以． 【点睛】本题主要考查了整式的加减的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 拔高·压轴破难 题型六、图形类规律问题 【模型】图形依次变化，统计每个序号下图形元素个数，转化为数字规律，推导第n个图形对应数量的整式。 【步骤】①数出前几个图形的数量；②找出每次增加的数量；③写出第n项表达式，带回检验。 【易错】数图形个数时数错；分不清初始数量和每次增加量；不能把图形变化转化成代数式。 29．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 【答案】B 【详解】解： ∵图案①需根火柴棒， 图案②需根火柴棒，， 图案③需根火柴棒，， 每增加一个图案，火柴棒根数增加根， 第个图案需火柴棒根数为， 当时，（根）． 30．如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 【答案】2 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故答案为：2． 31．【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为． 为正整数， ， 每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 【分析】 【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； …… 第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 故答案为：；． （2）略 32．下列各图形是由大小相同的白点和黑点组成，根据这些图形的设计规律，回答下列问题： (1)填写下表： 图1 图2 图3 图4 图5 … 图（用含的式子表示） 白点个数 3 5 7 9 … 黑点个数 2 5 10 17 … (2)试比较图中黑点个数和白点个数的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)11；；26； (2)图中黑点个数比白点个数多，理由如下： ． ，即， 图中黑点个数比白点个数多． 【分析】 【详解】（1）解：图1、图2、图3、图4分别有2、5、10、17个黑点，即，所以图5有黑点个；图n有个； 故答案为：11；；26； 图1、图2、图3、图4分别有3、5、7、9个白点，即，所以图5有白点个；图n有个；26；． （2）解：略． 33．探索规律是深入认识事物的一种方法，通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式，历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律． 问题情景：如图1所示，把火柴棒搭成正方形． (1)问题提出：①按图1的方式，搭4个正方形需要 根火柴棒； ②学生A是按照图2思考的，根据他思考的方法求出搭x个正方形所需火柴棒根数的代数式； (2)问题解决：你还有其他的思考方法也能得到正方形的个数x与火柴棒的根数之间的关系吗？说明思考方法，画出对应图形，求出代数式； (3)问题运用：改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形，画出图形，求出图形个数x与火柴棒根数之间关系的代数式． 【答案】(1)①13；②根； (2) 如图， 第1个正方形，需要根， 第2个正方形，需要根， 第3个正方形，需要根， ∴搭x个正方形所需火柴棒根数为根； (3) 如图，按如下图方式搭正五边形， ， 同理可得：搭x个正五边形所需火柴棒根数为根． 【分析】 【详解】（1）解：①按图1的方式，搭4个正方形需要（根）， ②搭1个正方形需要（根）， 搭2个正方形需要（根）， 搭3个正方形需要（根）， 搭4个正方形需要（根）， ∴搭x个正方形所需火柴棒根数为根； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法并总结规律是解本题的关键． 34．规律探索渗透了从特殊到一般的数学思想方法．例如将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图， 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． 我们结合图形，从1开始两个连续奇数相加到3个，4个连续奇数相加，再到更多个连续奇数相加，从而探索出了从1开始的多个连续奇数相加求和的规律与方法．根据你的探索完成以下问题： (1)类比上例，写出第五个等式___________ ； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)拓展应用：请探究并直接写出的计算公式．(用含n的代数式表示) 【答案】(1) (2) (3) (4) ，理由如下： ∵， ∴ ， ， …… 左右两边分别相加得： ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【分析】 【详解】（1）∵； ； ； 可知第五个式子是连续奇数从1加到11，即， 故答案是：； （2）总结规律得：， 令，得：， ∴； （3） ； （4）略 35．如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 题型七、日历问题 【模型】日历中左右相邻数差1，上下相邻数差7，设一个未知数，利用整式加减表示方框内其余数字。 【步骤】①选取合适位置设未知数；②用整式表示方框内其他数字；③列式化简，进行计算或推理。 【易错】混淆行列差值，误把上下差当成1；对角数字关系理解错误；设未知数不合理加大计算量。 36．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为a，则这三个数之和为 _______ （用含a的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设中间一个数为a，则上面的数为，下面的数为， 则这三个数的和为， 故答案为：． 37．下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是x，则用含x的代数式表示这9个数的和是_______． 【答案】 【分析】 【详解】解：设最中间一个是，另外8个可表示为：，，，，，，，， 这9个数的和可表示为：． 故答案为：． 38．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 39．如图1是年月份的日历，小乐在其中画出了一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图1中的结果为________． 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则________，________， （________）（________）________． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1），；（2），，，，0； （3），理由如下： 解：设，则，，， ． 【分析】 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）解：设，则，，， ； 故答案为：，，，，0； （3） 略 40．如图（1）是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图（2）所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图（1）中的结果为_______． (2)深入思考：小明将的方框移动到图（1）中的其他位置，通过计算可以求出的值．探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整． 设，则_______，_______，_______，所以_______．（填写化简后的结果） (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图（1）中的日历，继续进行如下探究．在日历中用“Y型框”框住位置如图（3）所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)； (2)设，则，，，所以的值为； (3) 【分析】 【详解】（1）解：： （2）日历中，同一行相邻数差1，同一列相邻数差7． 在右侧， ； 在下方两行且左移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： （3）设，根据日历数的规律： 在右侧， ； 在下方一行且右移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： 【点睛】本题核心是利用日历中数的行列差规律（同行差1，同列差7），通过“设未知数表示数→代入运算→化简”的步骤，探索运算结果的固定规律．这种方法体现了代数思想在规律探究中的应用，帮助我们将具体数值问题转化为一般化的代数推导． 41．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B， D上的数相乘， 位置A， E上的数相乘， 再相减， 例如∶ ， ，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数与最大的数的乘积为161，请求出中间位置上的数a的值． 【答案】(1)15，15，15 (2) 证明：由日历的规律可知，位置的数字比位置的数字少，位置的数字比位置的数字少，位置的数字比位置的数字多，位置的数字比位置的数字多． 因为位置的数字为， 所以位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为． 根据题目中的运算规则，可列出式子， 可得 ． (3)15 【分析】 【详解】（1）解：，， ∴结果都等于， 故答案为：，，． （2）略 （3）解：由正方形方框中数的位置关系可知，最小的数比中间位置上的数小，即最小的数为； 最大的数比中间位置上的数大，即最大的数为． 因为最小的数与最大的数的乘积为， 所以可列出方程． 化简方程得：，即． 可得：，解得． 因为表示日历中的数，为正整数， 所以． 题型八、数阵问题 【模型】数字按行列排成数阵，每行、每列数字有固定增减规律，用整式表示任意位置上的数。 【步骤】①观察每行、每列数字变化规律；②根据行列位置，写出目标数字的代数式；③整式化简运算。 【易错】行列变化规律找反；位置序号与数字对应出错；分不清行公差和列公差。 42．如图是由连续的奇数1，3，5，7，…排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设竖列中间的数为，则竖列上面的数为，竖列下面的数为，横行右边的数为． 这四个数的和为： ， 故选：D． 43．下列数阵用中的整数按连续排列的方式组成“自然数阵”，现用“”型框任意框出5个数．    如果用表示类似“X”形框中的5个数，请用含的代数式表示________． 【答案】 【详解】解：根据题目中的排列顺序可知，，，，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式和整式的加减，观察题目中的“自然数阵”找到四个数与m的关系是解题的关键． 44．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵．如果用方框任意圈住四个数，如图2，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被 4 整除． 【答案】这四个数的和为，能被4整除，理由： 方框中的四个数分别为，，，， 这四个数的和为： 为整数 这个和能被4整除． 【详解】略 45．下图的数阵是由全体奇数排成：    (1)图中“工”字形框内的七个数之和与中间的数有什么关系？算一算； (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的“工”字形框，这七个数之和还有这种规律吗？请说出理由． 【答案】(1)图中“工”字形框内的七个数之和是中间的数23的7倍 (2) 解：移动“工”字，其框内七个数之和仍是中间的数的7倍． 理由为：设中间数为，则其余六个数为：，，，，， 则此七个数之和为： 即框内七个数之和仍是中间的数的7倍． 【分析】 【详解】（1）解：图中“工”字形框内的七个数之和是中间的数23的7倍； ， ； （2）略 46．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2) 解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； (3) 解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 【分析】 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）略 （3）略 题型九、整除问题 【模型】列出整式并化简变形，提取公因式，证明式子结果含有指定因数，从而判断能否被整数整除。 【步骤】①根据题意列式；②完整化简整式；③对结果因式分解，提取公因数；④写出整除说理过程。 【易错】整式化简不彻底；缺少说理文字；提取公因式时系数、符号出错。 47．试说明把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，所得的新两位数与原两位数的和能被11整除 【答案】见解析 【详解】解：设十位上的数字为 a ， 个位上的数字为 b ，（其中a，b为1到9的整数），则原两位数为， 调换后的两位数为， 则， 故新两位数与原两位数的和能被11整除． 48．若一个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为．已知三位数能被9整除，请说明三位数也能被9整除． 【答案】 证明：三位数可表示为： ． ∵三位数能被9整除， ∴能被9整除． ∵是9的倍数， ∴能被9整除， ∵三位数可表示为：， ∵是9的倍数，能被9整除， ∴能被9整除， ∴三位数也能被9整除． 【详解】略 49．已知是一个四位数，表示千位、百位、十位、个位上的数字分别是，，，，若可以被9整除，求证：这个数可以被9整除． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四位数的千位、百位、十位、个位数字分别为，，， ∴ ∵是9的整数倍，可以被9整除 已知可以被9整除 ∴两个能被9整除的数的和也能被9整除 ∴可以被9整除． 50．一个四位正整数可表示为，若它的各位数字之和（即）可以被3整除，则这个四位数可以被3整除，试说明理由．请举一个能被3整除的四位正整数． 【答案】解：由题意得，四位正整数 ， 是3的整数倍，能被3整除， 又可以被3整除， 与的和能被3整除， 即可以被3整除． 举例：四位正整数1230， 理由：各位数字和为，6能被3整除，，符合要求． 【详解】略． 51．我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，已知三位数． (1)请用含a，b，c的代数式表示三位数：＿＿＿＿； (2)小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； 【答案】(1) (2) 解：小军的说法正确．理由如下：， 其中是3的倍数，是3的倍数， 所以三位数就能被3整除． 【分析】 【详解】（1）解：三位数可表示为：； 故答案为：； （2）略 题型十、幻方问题 【模型】幻方核心性质：每行、每列、对角线上数字之和相等，设未知数，依靠整式加减建立等式求解未知数。 【步骤】①利用幻和相等列出等式；②通过整式加减化简等式；③求出未知字母，回代算出幻方数字。 【易错】误用幻方性质，等式列错；多个未知数时关系混乱；去括号符号出错。 52．“幻方”最早记载于公元前500年的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（   ） A．15或 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， 得：． 故选：． 53．“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 54．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 55．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中．在如图所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 56．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．则图2的九宫格中的9个数的和是 ____________．（用含a的式子表示） 【答案】 【详解】解：设中间的数字为b， 根据题意得：， ∴， ∴图2的九宫格中的9个数的和是． 故答案为：． 57．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．如图3是一个没有填完整的三阶幻方，那么正中间的方格中的数字为______；由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，______． 【答案】 1 0 【详解】解：设图3三阶幻方第一排第一个数字为t，中间的数字为e，则有， ∴； 设图4的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和与中间正方形四个顶点上的数字之和都为S，则有：， ∴； 故答案为1；0． $专题05 整式的应用 基础·固本强基 题型一、周长问题 题型二、面积问题（重点） 提升·进阶突破 题型三、分段计费问题 题型四、方案选择问题（重点） 题型五、数式规律问题（重点） 拔高·压轴破难 题型六、图形类规律问题（难点） 题型七、日历问题 题型八、数阵问题 题型九、整除问题（难点） 题型十、幻方问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、周长问题 【模型】把图形边长用含字母的式子表达，周长本质是所有边长相加，得到整式后再化简求值，常见长方形、不规则组合图形。 【步骤】①根据图形标注各边长度，用字母表示未知边；②将所有边相加，列出周长代数式；③去括号、合并同类项化简，按需代入数值计算。 【易错】组合图形容易漏掉隐藏边；去括号时符号出错；边长代数式书写错误。 1．将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将5个形状相同的小长方形以两种方式去覆盖一个大长方形，若要求出两种方式未覆盖部分（阴影部分）的周长之差，只需要知道（    ） A．小长方形的宽 B．小长方形的长 C．小长方形的长和宽之差 D．大长方形的长和宽之差 3．从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为6小块，除长方形A，B外，其余4块是形状，大小完全相同的小长方形，设小长方形的宽为．若，则长方形A，B的周长之和为___． 5．如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 6．现在有边长分别为的两种正方形卡片若干（如图1），还有一个长宽分别为13，9的长方形． (1)如图2，将两种正方形卡片各一张放入长方形中，计算出阴影部分的周长，并用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)如图3，将两张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长； (3)如图4，将两张边长为的正方形卡片与四张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长，并求当时阴影部分的面积． 题型二、面积问题 【模型】组合图形面积常用两种思路：分割求和，或是整体减去空白部分，列出整式化简，是整式加减最核心的几何应用。 【步骤】①选择分割法或补全法拆解图形；②分别写出各部分面积代数式；③列式，去括号合并同类项，化简后求值。 【易错】图形重叠区域重复相加或多减；系数计算失误；分不清整体与空白。 7．如图1是某圆形餐桌的桌面（阴影表示可折叠部分），把其折叠可得到如图2正方形桌面．已知圆形桌面的直径为，正方形桌面的边长为b．如图3、图4所示，现将两块边长都为的正方形桌布分别铺在圆形桌面和正方形桌面上，设桌布垂下部分的面积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 9．如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 10．如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） (1)用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） (2)若取3，求种植草皮的面积． 11．如图，长方形是一个花圃的示意图，四边形区域（阴影部分）种花，剩余两个三角形区域（三角形和三角形）种草，已知长方形花圃的长为，宽为，点E、F分别在线段上． (1)用含a、b的代数式表示种花区域（阴影部分）的面积；（结果化为最简） (2)当，时，求种花区域（阴影部分）的面积． 12．如图，①②两个正方形的边长分别为． (1)若，求阴影部分的面积； (2)用含的代数式表示阴影部分的面积； (3)阴影部分的面积（记作）和组合图形剩余部分的面积（记作）哪个大？大多少（用含的代数式表示）？ 13．现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含a的式子分别表示________，________； (2)当时，分别求，的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 提升·进阶突破 题型三、分段计费问题 【模型】总量划分为多个区间，每个区间单价标准不一样，不同区间对应不同整式，属于分类列式应用题。 【步骤】①找出收费分界点，划分区间；②判断已知量落在哪个区间；③按规则列出费用整式，化简并代入计算。 【易错】分界点归属判断错误；超额费用误算成全部总量乘高价，只超出部分加价。 14．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表格（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过8立方米的部分 2 超过8立方米的部分但不超过12立方米的部分 4 超过12立方米的部分 8 (1)若某户居民3月份用水10立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份共用水14立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民5月份共用水x立方米，则应收水费多少元？（用含x的代数式表示） 15．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 不超出6立方米的部分 超出6立方米但不超出10立方米的部分 超出10立方米的部分 注：水费按月结算 单价 2元/米 4元/米 8元/米 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2、3月份共用水15立方米，当2月份用水立方米时，该户居民3月份应交水费多少元？（用含的整式表示，结果要化成最简形式） (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水立方米，求该户居民4、5月份应交水费多少元？（用含的整式表示，结果要化成最简形式） 16．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的．该市自来水收费的价目表如表（注：水费按月份结算）： 每月用水量 价格 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 5元 超过的部分 9元 设李老师家某月用水量为 (1)若，则李老师家当月应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示） (2)若，则李老师家当月应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示） (3)若李老师家10月份用水，则李老师家当月应缴纳水费多少元? 17．某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表： 一次性购物价格m（元） 优惠办法 不予优惠 全部按9折优惠 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠 (1)若小惠一次购物原价400元，她实际付款________元； 若一次购物原价600元，她实际付款________元． (2)若小惠在该超市一次购物x元．当元时，她实际付款________元（用含x的代数式表示）． (3)如果小惠两次购物合计900元（原价），第一次购物的原价为a元（），用含a的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？当元时，小惠两次购物一共节省了多少元？ 18．某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都为10元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的90%优惠；批发数量不超过200千克，按零售价的80%优惠；超过200千克的按零售价的70%优惠． B家的规定如下表： 数量范围（千克） 0～50 50以上～150的部分 150以上～250的部分 250以上的部分 价格（元） 零售价的90% 零售价的80% 零售价的70% 零售价的60% （1）如果他批发60千克苹果，则他在A、B两家批发分别需要多少元？ （2）如果他批发x千克苹果（150＜x＜200），请你分别用含x的代数式表示他在A、B两家批发所需的费用； （3）现在他要批发180千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由． 题型四、方案选择问题 【模型】根据题意列出多种方案对应的费用整式，通过作差法比较代数式大小，根据字母取值选出最优方案。 【步骤】①针对每种方案，分别列出费用的整式；②化简各个代数式；③作差比较大小，结合实际意义选方案。 【易错】忘记未知数实际取值范围；比较代数式时不分类讨论；列式漏写固定费用。 19．为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 20．一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 21．为贯彻落实教育部提出的五育并举，发展学生的劳动教育，七（1）班计划在培植园内规划一块长方形菜地．已知培植园有一面足够长的墙可以利用，班级准备用长度为的篱笆围成长方形菜地．同学们设计了以下两种方案： 方案一：如图1，利用墙体作为菜地的一条长边，左右两侧各用长的篱笆围成宽，在平行于墙的另一边开一个宽的小门（门不需要篱笆）．此方案围成的长方形菜地面积为； 方案二：如图2，利用墙体作为菜地的一条长边，在左右两侧各开一个宽的小门（门不需要篱笆），左右两侧各用长的篱笆围成宽，用剩余篱笆围成平行于墙的另一边．此方案围成的长方形菜地面积为． (1)图1中长方形的边长度为______m；图2中长方形的边长度为______m；（用含a的代数式表示） (2)七（1）班的同学们在计算过程中发现，的值与a无关．请判断这个发现是否正确，并说明理由． 22．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 23．为庆祝校园科技节，某班计划为同学们定制纪念衫．现有两家网店提供定制方案如下： 网店甲：每件纪念衫定价元，另收元设计制版费． 网店乙：定制数量不超过件时，每件元；超过件时，超过部分每件元．（不收取设计制版费） 设班级定制纪念衫件． (1)请用含的代数式分别表示两家网店的总费用． (2)如果班级需要定制件纪念衫，在不考虑其他因素的情况下，选择哪家网店总费用更低？请通过计算说明理由． 题型五、数式规律问题 【模型】观察一组式子，对比序号与式子结构，区分不变部分和随序号变化部分，归纳出第n项整式。 【步骤】①写出前几项对应结果；②分析符号、系数、数字的变化规律；③写出第n个代数式，验证正确性。 【易错】序号n和表达式对应错位；正负符号规律判断错误；只看表面数字忽略式子结构。 24．有一列按规律排列的代数式：，，，，，……相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第4个代数式的值为8，则前7个代数式的和为（   ） A．28 B．56 C．84 D．112 25．观察下面三行数： 1，4，9，16，25，36，．．．．．① 3，6，11，18，27，38，．．．．．② 0，﹣3，﹣8，﹣15，﹣24，﹣35，．．．．．③ （1）第①行第7个数是 　 　；第n个数是 　 　； （2）将位于同一列的第①行数与第③行数相加，你能发现什么规律 　 　，根据这个规律可得第③行的第8个数是 　 　； （3）三行数中位于第n列的三个数之和可能为103吗？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 26．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 27．给出按一定规律排列的三组数（如下表）： 第一组 … 第二组 … 第三组 … (1)每组的第8个数从上到下依次是_________，_________，_________（用数字作答），第一组的第（为正整数）个数是_________（用含的代数式表示）； (2)求每组的第2025个数的和； (3)取每一组的第个数，从上到下依次记作a，b，c，对于任意正整数，判断代数式的值是否为定值，并说明理由． 28．下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式． 序号 1 2 3 …… 图形 …… 例如：第1格的“特征多项式”为， 第2格的“特征多项式”为． 回答下列问题： （1）第4格的“特征多项式”为 ，第格的“特征多项式”为 ；（为正整数） （2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差． 拔高·压轴破难 题型六、图形类规律问题 【模型】图形依次变化，统计每个序号下图形元素个数，转化为数字规律，推导第n个图形对应数量的整式。 【步骤】①数出前几个图形的数量；②找出每次增加的数量；③写出第n项表达式，带回检验。 【易错】数图形个数时数错；分不清初始数量和每次增加量；不能把图形变化转化成代数式。 29．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 30．如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 31．【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 32．下列各图形是由大小相同的白点和黑点组成，根据这些图形的设计规律，回答下列问题： (1)填写下表： 图1 图2 图3 图4 图5 … 图（用含的式子表示） 白点个数 3 5 7 9 … 黑点个数 2 5 10 17 … (2)试比较图中黑点个数和白点个数的大小关系，并说明理由． 33．探索规律是深入认识事物的一种方法，通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式，历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律． 问题情景：如图1所示，把火柴棒搭成正方形． (1)问题提出：①按图1的方式，搭4个正方形需要 根火柴棒； ②学生A是按照图2思考的，根据他思考的方法求出搭x个正方形所需火柴棒根数的代数式； (2)问题解决：你还有其他的思考方法也能得到正方形的个数x与火柴棒的根数之间的关系吗？说明思考方法，画出对应图形，求出代数式； (3)问题运用：改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形，画出图形，求出图形个数x与火柴棒根数之间关系的代数式． 34．规律探索渗透了从特殊到一般的数学思想方法．例如将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图， 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． 我们结合图形，从1开始两个连续奇数相加到3个，4个连续奇数相加，再到更多个连续奇数相加，从而探索出了从1开始的多个连续奇数相加求和的规律与方法．根据你的探索完成以下问题： (1)类比上例，写出第五个等式___________ ； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)拓展应用：请探究并直接写出的计算公式．(用含n的代数式表示) 35．如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 题型七、日历问题 【模型】日历中左右相邻数差1，上下相邻数差7，设一个未知数，利用整式加减表示方框内其余数字。 【步骤】①选取合适位置设未知数；②用整式表示方框内其他数字；③列式化简，进行计算或推理。 【易错】混淆行列差值，误把上下差当成1；对角数字关系理解错误；设未知数不合理加大计算量。 36．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为a，则这三个数之和为 _______ （用含a的代数式表示）． 37．下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是x，则用含x的代数式表示这9个数的和是_______． 38．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 39．如图1是年月份的日历，小乐在其中画出了一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图1中的结果为________． 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则________，________， （________）（________）________． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 40．如图（1）是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图（2）所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图（1）中的结果为_______． (2)深入思考：小明将的方框移动到图（1）中的其他位置，通过计算可以求出的值．探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整． 设，则_______，_______，_______，所以_______．（填写化简后的结果） (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图（1）中的日历，继续进行如下探究．在日历中用“Y型框”框住位置如图（3）所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 41．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B， D上的数相乘， 位置A， E上的数相乘， 再相减， 例如∶ ， ，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数与最大的数的乘积为161，请求出中间位置上的数a的值． 题型八、数阵问题 【模型】数字按行列排成数阵，每行、每列数字有固定增减规律，用整式表示任意位置上的数。 【步骤】①观察每行、每列数字变化规律；②根据行列位置，写出目标数字的代数式；③整式化简运算。 【易错】行列变化规律找反；位置序号与数字对应出错；分不清行公差和列公差。 42．如图是由连续的奇数1，3，5，7，…排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（   ） A． B． C． D． 43．下列数阵用中的整数按连续排列的方式组成“自然数阵”，现用“”型框任意框出5个数．    如果用表示类似“X”形框中的5个数，请用含的代数式表示________． 44．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵．如果用方框任意圈住四个数，如图2，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被 4 整除． 45．下图的数阵是由全体奇数排成：    (1)图中“工”字形框内的七个数之和与中间的数有什么关系？算一算； (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的“工”字形框，这七个数之和还有这种规律吗？请说出理由． 46．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 题型九、整除问题 【模型】列出整式并化简变形，提取公因式，证明式子结果含有指定因数，从而判断能否被整数整除。 【步骤】①根据题意列式；②完整化简整式；③对结果因式分解，提取公因数；④写出整除说理过程。 【易错】整式化简不彻底；缺少说理文字；提取公因式时系数、符号出错。 47．试说明把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，所得的新两位数与原两位数的和能被11整除 48．若一个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为．已知三位数能被9整除，请说明三位数也能被9整除． 49．已知是一个四位数，表示千位、百位、十位、个位上的数字分别是，，，，若可以被9整除，求证：这个数可以被9整除． 50．一个四位正整数可表示为，若它的各位数字之和（即）可以被3整除，则这个四位数可以被3整除，试说明理由．请举一个能被3整除的四位正整数． 51．我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，已知三位数． (1)请用含a，b，c的代数式表示三位数：＿＿＿＿； (2)小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； 题型十、幻方问题 【模型】幻方核心性质：每行、每列、对角线上数字之和相等，设未知数，依靠整式加减建立等式求解未知数。 【步骤】①利用幻和相等列出等式；②通过整式加减化简等式；③求出未知字母，回代算出幻方数字。 【易错】误用幻方性质，等式列错；多个未知数时关系混乱；去括号符号出错。 52．“幻方”最早记载于公元前500年的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（   ） A．15或 B．5 C． D． 53．“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 54．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 55．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中．在如图所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是__________． 56．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．则图2的九宫格中的9个数的和是 ____________．（用含a的式子表示） 57．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．如图3是一个没有填完整的三阶幻方，那么正中间的方格中的数字为______；由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，______． $