专题03 期中真题百炼通关56题14大压轴题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题03 期中真题百炼通关（56题14大压轴题型） 拔高·压轴破难 题型1 数轴上的动点问题 题型2 数轴上的恒值问题 题型3 绝对值的最值问题 题型4 绝对值的几何意义 题型5 数轴、绝对值中的新定义问题 题型6 有理数的实际应用题 题型7 有理数运算的新定义问题 题型8 整式加减的化简求值 题型9 整式加减的应用 题型10 整式加减中整体性思维解题 题型11 整式加减的无关型问题（几何类） 题型12 整式加减的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 数轴上的动点问题（共3小题） 【易错】动点右加左减，两点距离用差的绝对值；注意动点到达端点的时间分界，多情况分类讨论，切勿遗漏其中一种情形。 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）综合与实践： 【阅读理解】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数学上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： 【变式应用】 （1）已知点为数轴上任一动点，点对应的数记为，若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为___________； （2）已知点为数轴上任一动点．点对应的数为，若数轴上点位于表示的点与表示2的点之间，则___________； （3）已知点在数轴上分别表示数，四个点在数轴上的位置如图所示（假设点按顺序以，排列，即，若，，，则等于___________． 【拓展提升】 （4）已知点在数轴上分别表示数，一动点从原点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动化4个单位长度，以此类推． ①求运动多少秒后所处的位置到点各点距离之和最短？ ②动点能不能在运动过程中同时经过这5个点？若能，求出从出发到都经过这5个点的最短时间：若不能，请说明理由． 【答案】（1）或（2）7（3）1（4）①5秒②能，秒 【分析】本题考查有理数与数轴，绝对值的几何意义，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）利用题目所给的数轴上两点间距离的计算方法列式计算即可； （2）表示数轴上点到所表示的点与所表示的点的距离和，而P点位于表示的点与表示2的点之间，故这个距离即为表示的点与表示2的点之间距离，据此解答即可 （3）根据题目所给的方法把几个式子表达为两点间的距离，进而即可求解； （4）①分析可得则当 位于所对应的点时Q到各点的距离和最小，由Q点移动规律可知此时共移动了个单位，用时秒； ②由Q点移动规律可知可经过所有整数点，所以动点能在运动过程中同时经过这5个点，且最后经过的点是所对应的点，此时Q点共走了个单位长度，因为每秒2个单位长度，所以共用时秒． 【详解】解：（1）若点与表示有理数的点的距离是个单位长度， 则， 即的值为：或， 故答案为：或； （2）表示数轴上点到所表示的点与所表示的点的距离和， ∵P点位于表示的点与表示2的点之间， ∴这个距离即为表示的点与表示2的点之间距离， 故答案为：7； （3）即A点与D点之间的距离为， 即B点与D点之间的距离为3， 则A点与B点之间的距离为， 表示A点与C点之间的距离为8， 故B点与C点之间的距离为， ∴． 故答案为：1； （4）①Q到这些点的距离和为 将数值从小到大排列， 则当 位于时距离和最小， Q沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，从原点先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度至， 共移动了个单位， 用时：秒； ②从原点出发，先向右移动1个单位长度，到达1所对应的点， 再向左移动2个单位长度，到达对应的点， 又向右移动3个单位长度，到达2对应的点， 再向左移动4个单位长度，到达对应的点， 再向右移动5个单位长度，到达3对应的点， 再向左移动6个单位长度，到达对应的点 依次类推，可经过所有整数点， 故动点能在运动过程中同时经过5个点； 设运动次数为n，由规律可知，运动次数为奇数时，到达正整数点， 且点所对应的数为， Q依次经过， 当经过所对应的点时， ， ， 故是第次运动运动到， 此时Q点共走了个单位长度， ∵每秒2个单位长度， ∴用时秒． 从出发到都经过这5个点的最短时间秒． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，且满足．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒． (1)，； (2)若点P从A出发的同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度向左移动，点M 是的中点，当M、Q两点的距离为10个单位长度时，求点Q所对应的数； (3)若点P从A出发的同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度向A点移动，Q到达A点后，再立即以每秒3个单位的速度向右移动，M为的中点，N为的中点，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)；20 (2)或 (3)2或98 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性即可求解； （2）由题意得，点P对应的数是，点Q对应的数是，根据中点公式表示出点M对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式列出方程，求出的值，即可求出点Q所对应的数； （3）分2类情况讨论：①；②，根据题意表示出点Q所对应的数，根据中点公式表示出点N对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，结合列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：；20； （2）解：由题意得，点P对应的数是，点Q对应的数是， ∵点M 是的中点， ∴点M对应的数是， ∵M、Q两点的距离为10个单位长度， ∴，即， ∴， 解得或， 当时，点Q对应的数是； 当时，点Q对应的数是； ∴综上所述，点Q对应的数是或； （3）解：由（2）得，点P对应的数是，点M对应的数是， ∴， 点Q从B点出发，到达A点所需时间为（秒）， ①当时，点Q对应的数是， ∵N为的中点， ∴点N对应的数是， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴t的值为2； ②当时，点Q对应的数是， ∵N为的中点， ∴点N对应的数是， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解，舍去； ∴t的值为98； ∴综上所述，所有满足条件的t的值为2或98． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)18.5秒 (2) (3)14.5或19.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴， （1）利用时间路程速度，即可求出结论； （2）求出点运动到点所需时间，当时，利用点表示的数点表示的数点在线段段的运动速度（运动时间，即可用含的代数式表示出点表示的数； （3）由，及的长，可得出共有2种情况，当点在点和点之间，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；当点在点的右侧，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）； 答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为： （秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为： ， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，， 共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，， ∴， 解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，， ， 解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 题型2 数轴上的恒值问题（共3小题） 【易错】先列式化简含动点的代数式，若结果为定值，则变量项系数为 0；注意化简时符号，不要误把常数当作变量项分析 5．（25-26七年级上·江苏·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，． (1)______，______． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头，相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)，16 (2)2秒或4秒 (3)正确，这个时间定值是0.625秒，为定值8 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，知道数轴上任意两点的距离等于右边的数减去左边的数的差，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据非负数的性质求出，即可得到答案； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 故答案为：，16； （2）解：此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）； （秒）或（秒）， 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）解：正确， ， 当在之间时，是定值5， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间定值是0.625秒，为定值8． 6．（25-26七年级上·江苏·期中）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．如图，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，b的相反数是，且a、c满足． (1)______；______；______； (2)若点P在数轴上运动，点P到点A、B、C的距离之和的最小值是______． (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，是否存在常数k，使为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题，整式加减的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a， c的值，再结合相反数的含义可得的值． （2）设表示的数为，可得点P到点A、B、C的距离之和表示为：，再利用数形结合的方法解题即可． （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ∴，， ，． ∵b的相反数是， ∴． （2）解：设表示的数为， ∴点P到点A、B、C的距离之和表示为：， 如图，当时， ∴， 当时， ∴， 当时，如图， ∴， 如图，当时， ∴， 如图，当时， ∴， 综上：点P到点A、B、C的距离之和的最小值为：． （3）解：存在，，理由如下： ，即点表示数为 ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 7．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图①，若数轴上点、点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为．如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图②中表示出三点的位置，若将数轴对折，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若在，，处分别有三个动点，其中点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，1秒后点从点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动．设点移动时间为秒 ①当时，求的值． ②是否存在有理数，使得在一定时间段内为定值，如果不存在，请说明理由：如果存在，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)3 (2)①或；②存在，或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上的点的移动规律，熟练找到数轴上点的移动轨迹是解题的关键． （1）一个点从数轴上的原点开始，先 向左移动2个单位长度，处于，再向右移动3个单位长度变为，然后再向右移动5个单位长度变为，据此在数轴上画出点，，，找到线段的对称点，据此求解即可； （2）①要使当时，有两种情况：当点、相遇前和当点、相遇后，点、、运动秒后，在数轴上找到相对应的数，分别根据列出方程计算即可； ②根据题意分3种情况讨论，当点、相遇前和当点、相遇后，点、、运动秒后，在数轴上找到相对应的数，分别根据列出方程，然后根据有定值进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，则表示为， 再向右移动3个单位长度到达点，即， 再向右移动5个单位长度到达点，即， 的长度为， 将数轴对折，使得点与点重合，则对称点为， 点与对称点的长度为，点在对称点的左侧，则在数轴上表示的点重合的数为， 故答案为：3； （2）解：①由题意，当1秒时，点、相遇，当时,有两种情况： 当点、相遇前，假设点运动秒，且， 此时点位于，点位于，点位于 则、 当时， 解得； 当点、相遇后，假设点运动秒，且， 此时点位于，点位于，点位于 则、 当时， 解得， 综上所述，当时，的值为或； ②当点、相遇前，假设点运动秒，且， 此时点位于，点位于，点位于， 则 由于为定值，则 解得 此时； 当点、相遇后，且， 此时点位于，点位于，点位于， 则， ， 由于，所以， 则， 当时，， 则， 由于为定值，则， 解得， 此时； 当时，， 则， 由于为定值，则， 解得， 此时； 综上所述，当时，存在定值，定值为，当或时，存在定值，定值为． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可求出的值； （2）设点表示的数为，分在之间、在点左边、在之间、在点右边四种情况考虑，由利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）表示出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分①当，即时，②当时，进行讨论，分别表示出，再根据是定值，确定出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性，数轴上两点间的距离的表示，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解答本题的关键．注意分类讨论思想的运用． 题型3 绝对值的最值问题（共3小题） 【易错】利用绝对值几何意义，找零点分段；多个绝对值和的最值常在零点处取得，要检验端点，不要直接凭主观判断最值。 9．（25-26六年级上·上海·期中）在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置． (1)如果直线上有台机床，应在何处？ (2)有台机床时，应设在何处？ (3)求的最小值． (4)求的最小值． 【答案】(1)应该在第4台位置 (2)当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置 (3) (4) 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）由阅读材料可知，是奇数，故应该在第4台位置； （2）解：由阅读材料可知：当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置； （3）解：由题意，在直线上相当于有台机床，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ∴ ； （4）解：∵， ∴可以理解为：表示的点到一个1，两个，三个，，直到个的距离之和，共有：个点， ∵总点数为奇数，最小值出现在第个点对应的定点处， 设第个点对应的定点是，则， 可得， ∴第个点对应的定点是， 故当时，的值最小， ． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． (1)如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． (2)如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： (3)如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 【答案】(1)，， (2)4或8 (3)；、、、 【分析】（1）根据点到线段距离的定义，判断点与线段的位置关系，计算距离； （2）根据，结合线段长度，分情况确定点对应的数； （3）设点表示的数为，则点表示的数为，设，再分阶段表示的位置，并求出此时S的最小值，进而即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，，，； （2）解：∵线段长度为． ∴当点在左侧时，对应的数为； 当点在右侧时，对应的数为； （3）解：设点表示的数为，则点表示的数为． ∴线段覆盖范围为至， 设， 当在左侧时，此时，即， ∴ ， 则当时，取最小值，； 当点A在上时，此时， ∴ ， 则当时，取最小值：； 当在之间时，此时， ， 则当时，取最小值：； 当点在上时，此时， ∴ ， 则当时，取最小值：； 当在之间时，此时， ∴ ； 当点C在上时，此时， ∴ ， 则当时，取最小值：； 当在右侧时，即， 同理可计算，当时，，最小值为15； 当时，，最小值为17； 当时，，最小值为23； ∴右侧阶段的最小值均大于13． 综上所述，距离和的最小值为13，此时点的取值范围， ∴点可以取的整数为：． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7； （2）7； （3）时，式子有最小值为6，理由： 根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 题型4 绝对值的几何意义（共3小题） 【易错】|a−b | 表示数轴 a、b 两点距离；分清 | x−m | 与 | x+m | 对应的点，去掉绝对值要判断正负，不可直接去掉符号。 13．（25-26七年级上·安徽六安·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【答案】(1)， (2)， (3)5 (4)或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及两点间距离公式，熟练掌握绝对值的意义及两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式得出结论即可； （2）根据两点间距离公式得出结论即可； （3）根据绝对值的意义得出结论即可； （4）根据绝对值的意义得出结论即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为，； （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当在与之间时，有最小值， 故答案为； （4）解：当时，， 解得：， 此时符合； 当时，， 此时不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 此时符合； 故答案为或． 14．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4；2或；（2）或6；（3）6；（4），，或． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，为数轴上到的距离； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为，根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）； ，即数轴上到数的距离为3，所表示的数， ∴或； （2）当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上：或； （3）表示数到和2的距离和， 故当时，的值最小，为数轴上到的距离， ∴的最小值为； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为， 则：或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得或； 综上，点C，D的“二倍点”所对应的数值为，，或． 15．（25-26七年级上·河南商丘·期中）七上教材33页的一道题目： 在数轴上点A，B分别表示a，b．对于下列各数a，b：        观察点A，B在数轴上的位置，你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ (1)用文字语言叙述你的发现； (2)的几何意义是数轴上表示数与数______的两点之间的距离； (3)如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，，且点到原点的距离为28，设点所对应数的和是，求的值． 【答案】(1)数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）用文字语言叙述即可； （2）根据数轴上两点之间的距离的定义求解即可； （3）由点B到原点的距离为28，求得b，再由两点距离求得a、c，进而根据有理数加法法则计算p． 【详解】（1）解：发现如下规律：数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值； （2）解：的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离； 故答案为：； （3）解：∵点B到原点的距离为28， ∴或28， 当时， ，， ， ； 当时， ，， ， ， 综上所述，p的值为或83． 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为． (1)当，时，求A、B两点之间的距离； (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求的值； (3)已知，设点C在数轴上表示的数为x． ①填空：当时，x满足的条件为______， 当时，x满足的条件为______； ②对于，求的最小值及其C点的位置． 【答案】(1)5 (2)0 (3)①；；②当时，最小值为，此时点C在点A处；当时，最小值为2025，此时点在线段上（包括端点）；当时，最小值为2025，此时点C在点B处 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义； （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式得到，再分情况讨论计算即可； （3）①当点C在线段外时，，即，点C到A、B两点的距离之和，点C在线段上，此时，，据此求解即可； ②根据①中结论求解即可，注意分，，三种情况讨论． 【详解】（1）解：A、B两点间的距离为：； （2）解：依题意得， 当时，，； 当时，，； ∴； （3）解：①∵， ∴A、B两点间的距离为， ∴当点C在线段外时，，即，点C到A、B两点的距离之和， 点C在线段上，此时，， ∴当时，点C在线段上，，则，解得； 当时，点C在线段上，，则，解得； 故答案为：，； ②当时，，由①可得，当时，即C点在点处时，，即有最小值，最小值为． 当时，C点在线段上时，； 当时，由①可得，当时，即C点在点处时，有最小值，最小值为． 题型5 数轴、绝对值中的新定义问题（共3小题） 【易错】读懂题干给出全新规则，转化为数轴与绝对值运算；严格按定义列式，分类讨论，不要套用熟悉旧结论直接解题。 17．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 【答案】 ，4 5 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，有理数的加减运算，解题的关键是理解题意，并掌握数学结合的思想． （1）①假设线段上的点为，则，根据定义逐项进行判断即可； ②根据题意，列出算式求最值即可； （2）①根据定义，两个最值点的距离为线段长度的3倍； ②根据题意画出图形，借助数轴求出最值即可． 【详解】解：（1）①， 假设线段上的点为，则， 若， 解得，符合题意； 若， 解得或，均不符合题意； 若， 解得，符合题意； ∴线段的“强关联点”所表示的数有，4， 故答案为：，4； ②根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数最大为； 线段的“强关联点”所表示的数最小为； 故答案为：5，； （2）①根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为， 故答案为：； ②如图所示，当点为时，既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”， ∴的最大值为， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是_____． 关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，）；点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)1，， (2)①，，；②的值不发生变化，；③ 【分析】（1）根据相反数的定义即可得出点表示的数是，再由两点之间的距离公式计算即可得解； （2）①由数轴可得表示的数是，结合题意并根据数轴上两点之间的距离公式得出，进而即可得出表示的数，最后再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解；②由题意可得点表示的数是，再分两种情况：若，若，分别计算即可得解；③由题意可得一次跳跃点表示的数是，结合，点与点位于点的两侧，得出点是的中点，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，点表示的数是， 点与点之间的距离， 点与点的中点表示的数是； （2）解：①由数轴可得，表示的数是， ∵表示的数是6， ∴， ∴， ∴表示的数是， ∴线段的长度为； ②的值不发生变化，，理由如下： 由题意可得：点表示的数是， 若，如图所示： ∵， ∴，即点表示的数是， ∴； 若，如图所示： ∵，点与点位于点的两侧， ∴， ∴，即点表示的数是， ∴； 综上所述，的值不发生变化，； ③∵点表示的数是， ∴一次跳跃点表示的数是， ∵，点与点位于点的两侧， ∴点是的中点， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是， ∴． 【点睛】本题利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 19．（25-26七年级上·北京房山·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，，中其中一点是另外两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 20．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 题型6 有理数的实际应用题（共3小题） 【易错】先确定正负基准，理清数量关系；列式仔细处理符号，算出结果后结合现实检验，舍去不符合实际意义的解。 21．（25-26七年级上·吉林·期末）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． 【答案】问题1：①630；②78；76；；③620； 问题2：30；3；13；579； 问题3：当时为98；当时为 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式的运用，理解数量关系是关键． 问题1：①根据表格信息，确定赠送的杯数，再计算花费即可； ②根据外卖下单的计算方法，结合优惠券的使用情况即可求解； ③根据情况分别确定六次下单的数量，结合费用的计算即可求解； 问题2：根据电话订购与外卖订单的情况，合理分配购买数量即可求解； 问题3：根据题意，分类讨论，分别确定总费用，再确定优惠费用即可求解． 【详解】解：问题1：①电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶中，购买40杯时，赠送了4杯，还需要购买2杯即可， ∴李老师需要花费：（元）， 故答案为：630； ②某顾客通过外卖下单，购买6杯奶茶，需要花费（元）， ∵每个订单结算时系统自动加收配送费， ∴需要花费（元）， 若使用“满28元可减13元”优惠券，则需要花费（元）； 若使用“满38元可减15元”优惠券，则需要花费（元）； 若一单购买杯奶茶，需要花费元，使用“无门槛5元”优惠券需花费（元）； 故答案为：78；76；； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用， ∵，， ∴使用1张“无门槛5元”优惠券时，下单了1次，每次下单1杯，合计1杯， 需要花费：（元）； 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，下单了2次，每次下单6杯，合计12杯， 需要花费：（元）； 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，下单了3次，每次下单11杯，合计33杯， 需要花费：（元）； ∴共花费（元）， 故答案为：620； 问题2：∵电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴结合问题1中的情况，电话订购30杯，送3杯，需要花费（元）， 外卖订购分5次下单杯， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，分3次下单，每次3杯，共9杯，花费（元）， ∴共花费（元）， 故答案为：579； 问题3：共下四单外卖订购杯奶茶， 当时， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用2张“满38元可减15元”优惠券时，分2次下单，每次3杯，共6杯，花费（元）， ∴共花费（元）； 当时，为使花费最少，应使用优惠力度最大的4张优惠券， 即3张“满38元可减15元”的优惠券和1张“满28元可减13元”优惠券， ∴总花费为奶茶费用与4次配送费之和减去4张优惠券的总优惠金额， ∴共花费（元）， 故答案为：当时为98；当时为． 22．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）【素材一】某市居民用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2160度及以下部分 第二档 年用电2161~3600度部分 第三档 年用电3601度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量．用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1 7 8 用电量（度） 480 1720 520 650 【问题解决】 (1)若该用户1月份所用的高峰电量为330度，求该用户1月份应缴电费； (2)若该用户7月份所用的低谷电量为370度，求该用户7月份应缴电费； (3)已知该用户8月份缴纳电费366元，求该用户8月份所用的高峰电的度数． 【答案】(1)该用户1月份应缴电费元 (2)该用户7月份应缴电费元 (3)该用户8月份所用的高峰电的度数为450度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据1月份用电量为480度，属于第一档，先求出低谷电量，再根据表格列式求解即可； （2）分析该用户前6个月及7月的用电量，可得出该用户7月份的用电量在第二档，利用该用户7月份应缴电费该用户7月份所用的高峰电量该用户7月份所用的低谷电量，即可求出结论； （3）分析该用户前7个月及8月的用电量，可得出该用户8月份的用电量在第二档，设该用户8月份所用的高峰电量的度数为x度，则该用户8月份所用的低谷电量的度数为度，根据该用户8月份缴纳电费366元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，低谷电量（度）， ∴电费为 （元）， ∴该用户1月份应缴电费元； （2）解：由题意得，1月至6月的累计用电量：（度）， ∴属于第二档 由题意得，高峰电量为（度）， ∴电费为 （元）， ∴该用户7月份应缴电费元； （3）解：由题意得，1至7月累计用电量为（度）， 8月累计（度）， ∴8月属于第二档， 设8月份高峰电度数为x度，则低谷电度数为度． 根据电费列方程： 解得， ∴该用户8月份所用的高峰电的度数为450度． 23．（25-26七年级上·四川达州·期中）好又多超市“国庆”搞促销，对顾客实行优惠购物，规则如下：若顾客一次性购物不超过300元，则每满100立减10元；若顾客一次性购物超过300元，但不超过600元，则按标价给予八折优惠；若顾客一次性购物超过600元，其中600元按上述给予八折优惠，超过600元的部分给予七折优惠． (1)李阿姨在该超市购买了一台标价350元的电饭煲，王阿姨在该超市购买了一台标价850元的微波炉，她们各应付多少元？ (2)张叔叔先后两次去该超市购物，分别付款256元和648元，如果张叔叔一次性购买，则可以节约多少元？ 【答案】(1)李阿姨应付280元，王阿姨应付655元 (2)如果张叔叔一次性购买，则可以节约元或32元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用．根据题意确定付款方式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）先对第一次进行分情况求解，然后求出张叔叔第二次优惠前要付的费用，最后结合优惠方案，分别计算两种情况下的费用之和，并作差即可解答． 【详解】（1）解：李阿姨应付：（元）； 王阿姨应付：（元）； 答：李阿姨应付280元，王阿姨应付655元． （2）解：∵， ∴第一次购物有两种情况：若标价没有超过300元时，标价应为：（元）； 若标价超过300元时，标价应为：（元）； ∵标价600元时，按8折应付元，而， ∴第二次标价一定超过600元， ∴（元）， ∴第二次标价为840元， 当第一次标价为276元时，张叔叔一次性购买需付元，可节约：元； 当第一次标价为320元时，张叔叔一次性购买需付 元，可节约：元． ∴如果张叔叔一次性购买，则可以节约元或32元． 24．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小忽略不计．假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小和质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A、B两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为______．右挡板E表示的数为______． 任务2 在任务1的位置条件下，当A球以每秒的速度向左匀速运动，请回答下列问题： ①经过______秒，C球第一次撞到左挡板D；②经过______秒，C球第二次撞到左挡板D；③经过______秒，C球第n次（n为正整数）撞到左挡板D． 任务3 在任务1的位置条件下，如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒，B球速度是每秒，试探究经过多长时间A、B两球相撞？相撞时在数轴上所对应的数是多少？ 【答案】任务1：，70；任务2：11，47，；任务3：经过8秒A、B两球相撞，此时在数轴上所对应的数为20． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数轴两点间的距离、数轴和动点问题，理解题意是解决本题的关键． 任务1：根据素材2结合题意求解即可； 任务2：①先算出A球到C球的时间，再算出C球到挡板的时间即可求解； ②根据素材3可得，所有小球的运动可以看作一个小球在运动，则可以算出小球从D挡板到E挡板，再从E挡板到D挡板所花的时间即可求解； ③根据②即可求解； 任务3： A球向左运动速度，B球向右运动速度，A球到C球的时间为秒，B球到右挡板的时间为秒，C球到左挡板再到A球位置所花时间为秒， C球到左挡板再到A球位置，且A球开始运动时，B球的位置为，故，则，，即经过8秒A、B两球相撞，此时在数轴上所对应的数为20． 【详解】解：任务1：∵总长度为且到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，、两球相距， ∴， 又∵球在数轴上表示坐标原点， ∴球表示的数为，右挡板表示的数为， 故答案为：，70； 任务2：①∵A球以每秒的速度向左匀速运动，A球到C球的距离为， ∴所花时间为（秒）， ∵C球到D挡板的距离为， ∴所花时间为（秒）， ∴第一次撞到D挡板的时间为秒， 故答案为：11； ②根据素材3可得，所有小球的运动可以看作一个小球在运动， ∴小球从D挡板到E挡板，再从E挡板到D挡板所花的时间为：（秒）， ∴球第二次撞到左挡板所花时间为：（秒）， 故答案为：47； ③由②可得，第n次撞到左挡板D的时间为：（秒）， 故答案为：； 任务3：∵A球向左运动速度，B球向右运动速度，球表示的数为，右挡板表示的数为， 根据题意得，A球到C球的时间为（秒）， B球到右挡板的时间为（秒）， C球到左挡板再到A球位置所花时间为（秒）， C球到左挡板再到A球位置，且A球开始运动时，B球的位置为 ∴， 则， ∴经过8秒A、B两球相撞，此时在数轴上所对应的数为20． 题型7 有理数运算的新定义问题（共3小题） 【易错】严格依照题目新运算公式替换数值，不能混用常规运算法则；代入后注意括号与负号，分步计算，避免跳步错算。 25．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 【答案】(1) 解：与3互为“友好数”，理由如下： ，， ， 与3互为“友好数”； (2) (3) 【分析】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，解题的关键是紧扣“友好数”的定义（两数积等于两数和）和代数式化简方法及循环规律求解各问． （1）根据“友好数”定义，分别计算与3的和、积，若两者相等则互为“友好数”； （2）由“友好数”定义得，将其代入代数式展开化简，消去未知量即可求值； （3）从开始，依次求出至，找出数字循环周期，用2025除以周期得余数，根据余数确定对应的值． 【详解】（1）略 （2）解：与互为“友好数”， ； ∴ ； （3）解：当时， 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：． 观察得：数列以为周期循环，周期为6． ， ． 故答案为：． 26．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【概念学习】定义：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作23，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下5次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如； （2）仿照上面的算式，直接将下列运算写成幂的形式：5； 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ； 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据所给示例，将所给除方运算写成幂的形式即可； （3）结合（2）中发现的规律即可解决问题； （4）根据除方的定义及实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ． 故答案为：1； （2）； （3）由题知， ． 故答案为：； （4） ． 27．（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 【答案】(1)①正，负，相加；② (2)或1 (3)当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是通过已知算式归纳运算规则，并结合规则进行计算． （1）通过已知算式归纳※运算法则，再按法则计算式子的值； （2）根据※运算结果为0的条件，求解的值并计算； （3）用绝对值表示※运算的一般形式． 【详解】（1）解：①，同号得正，绝对值相加 ※，同号得正，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 故两数进行※运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加 故答案为：正；负；相加 ② ； （2）解：因为， 根据题意归纳的运算法则可知，当且仅当参与运算的两个数都为0时，运算结果为0， 所以且， 解得． 当时，， 当时，， 故的值为或1； （3）解：分情况讨论： 当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 28．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据发现的规律解答即可； （3）根据发现的规律解答即可； （4）根据发现的规律解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，含有乘方的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】解：（1），， 故答案为：； （2）； ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． （4）解：原式 ． 题型8 整式加减的化简求值（共3小题） 【易错】先化简再代值，不要直接代入原式；负数、分数代入必须加括号，去括号留意负号，防止漏变括号内项的符号。 29．（25-26七年级上·江西上饶·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、非负数的性质等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键，先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将值代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵ ∴ ∴原式． 30．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【答案】（1）19；（2）；（3）－8 【分析】本题考查 “整体思想” 在代数式求值中的应用，涉及知识点：代数式的变形、整体代入求值、相反数的性质．解题技巧是将已知条件中的代数式视为一个整体，通过变形将所求代数式转化为整体的倍数或加减形式；解题关键是准确识别整体并进行合理变形；易错点是符号处理错误或整体代入时的系数计算错误． 【详解】解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 31．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整体思想在整式加减中的应用． （1）通过合并同类项系数求解； （2）将已知条件整体代入求值； （3）通过等式变换和整体代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ． 32．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知式子． (1)当______，______时，此式子的值与字母的取值无关； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，根据题意求出，的值即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； （3）先用适当的方法变形，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵此式子的值与的取值无关， ∴，， ∴，． 故答案为：；． （2）解：原式． 当时， 原式． （3）解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题关键． 题型9 整式加减的应用（共3小题） 【易错】读懂实际情境，用整式准确表达数量；列式化简，留意单位，检验代数式是否符合题意，几何应用题注意图形关系。 33．（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 34．（26-27七年级·全国·小升初衔接）材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 【答案】(1)，， (2)101，151，606，656 【分析】（1）根据题意，表示出，得出，根据，确定取值； （2）根据题意，确定三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或，然后确定所有值． 【详解】（1）解：，， ∵，能被整除， ∴，且， 可得满足条件取值如下： ； ； ； 答：符合条件的值有，，； （2）解：， ∵，， ∴其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：、、，显然三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或， ∴符合条件的数有：，，，． 答：若，的所有值有，，，． 35．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 36．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 【答案】（1）3738能被7整除； （2）若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除； ∵ ， ∵、能被7整除， ∴这个三位数能被7整除； （3）1或8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算． （1）依题例进行判断即可； （2）根据题意，若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除；由即可说明； （3）根据题意得能被7整除，再根据x是0到9的整数，求解即可． 【详解】解：（1）能，理由如下： ∵， ∴3738能被7整除； （2）略 （3）∵自然数能被7整除， ∴能被7整除， ∵x是0到9的整数， ∴当，能被7整除，当，能被7整除， ∴x的值为1或8． 题型10 整式加减中整体性思维解题（共3小题） 【易错】观察式子凑整体，不必单独求字母；整体变形添括号注意变号，看清倍数关系，不要随意拆分整体代数式。 37．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）化简：； （2）已知，求代数式的值． 【拓展探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了整体思想在代数式化简与求值中的应用，熟练掌握将代数式中的某一部分看作一个整体进行运算，是解题的关键． （1）将看作一个整体，利用合并同类项的方法化简； （2）观察到，将整体代入计算； （3）先对代数式去括号变形，再将已知条件对应的式子作为整体代入求值． 【详解】解：（1） ； （2）∵ ∴ ； （3） 当，，时，原式． 38．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 39．（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 40．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，有这样一道题“如果代数式的值为那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的薛同学解题过程如下： 原式 薛同学把作为一个整体求解，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求的值； 【拓展提高】 （2）已知，，求代数式的值； 【知识迁移】 （3）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置不重叠无缝隙，若，请求出图中阴影部分的周长． 【答案】（1）7；（2）；（3）8 【分析】本题考查了整体代换思想在代数式求值和几何周长问题中的应用，熟练掌握对代数式或几何关系进行结构变形以构造整体代入形式是解题的关键． （1）需将代数式变形为含的形式，利用已知整体代入求值； （2）需将代数式拆分为含和的形式，结合已知条件整体代入求值即可； （3）需通过图象关系找出小长方形长和宽的关系，再将阴影部门周长转化为大长方形的边长形式，利用整体代换求解． 【详解】解：（1）对变形： ， ； （2），， ，， ； （3）设小长方形的长为x，宽为y，则，且， 阴影部分的周长为： 将，整体代入： 即阴影部分的周长为 题型11 整式加减的无关型问题（几何类）（共3小题） 【易错】结合几何条件列出整式并化简；结果与字母无关，则该项系数为 0，联系图形边长限制，不要忽略几何隐含取值范围。 41．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 【答案】(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，绝对值方程，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式 42．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______； (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______； ②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，2； (2) ∵， ∴当时，； 当时，． (3)①点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，；②不变，6 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，整式加减中的无关型问题，熟练掌握数轴上两点间的距离，是解题的关键： （1）根据点的移动规则，求出，折叠求出点表示的数即可； （2）分两种情况，根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （3）①根据点的移动规则，求出点表示的数即可；②先求出，进而求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为； （2）略 （3）①； 故点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，表示的数为； ②不变，理由如下： 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； 故的值不随着时间t的变化而变化． 43．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 44．（25-26七年级上·河北衡水·期中）中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，正确的将整式进行整理化简，令题中项的系数为零是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令的系数为0，即可求出； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与无关可得． 【详解】（1）解：， 因为其值与的取值无关， 所以，解得， 故当时，多项式的值与的取值无关； （2）因为，， 所以 因为的值与的取值无关，所以，即； （3）解：设，由图可知，， 所以， 因为当的长变化时，的值始终保持不变， 即的值与的取值无关， 所以，即． 题型12 整式加减的新定义问题（共3小题） 【易错】认真阅读新运算规则，转化为整式加减；替换字母后去括号合并同类项，符号是易错点，做完代入检验结果。 45．（25-26八年级上·广东深圳·期中）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 46．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3) 不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 47．（2022·山东青岛·一模）定义： 如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵，∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是 ． 提出问题： 如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？ 探究问题： 要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律． 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 情况1：a、b均为奇数，或均为偶数． 分析： ∵a、b均为奇数，或均为偶数 ∴、均为偶数 此时不妨设， 又∵ ∴为4的倍数，即n为4的倍数． 情况2：a、b为一奇数、一偶数． 分析： ∵a、b为一奇数、一偶数 ∴、均为奇数 此时不妨设， 又∵ ∴为奇数，即n为奇数． 综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先举例几组数值较小，容易验证“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类． 情况1：n是奇数 分析 结论 ① 3是“智慧数” ② 5是“智慧数” ③ 7是“智慧数” ④ 9是“智慧数” …… …… …… 情况2：n是4的倍数 分析 结论 ⑤ 8是“智慧数” ⑥ 12是“智慧数” ⑦ 16是“智慧数” ⑧ 20是“智慧数” …… …… …… 情况1：n是奇数 观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数． 猜想：所有奇数都是“智慧数”． 验证：设，（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有奇数（1除外） ∴所有奇数（1除外）都是“智慧数” 应用： 请直接填空：∵11= 2- 2   ∴11是“智慧数” 情况2：n是4的倍数． 观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2． 猜想：所有4的倍数都是“智慧数”． 验证：设（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有4的倍数（4除外） ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数” 应用： 请直接填空：∵24= 2- 2   ∴24“智慧数” 归纳“智慧数”的发现模型： （1）对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是“智慧数”． （2）当时，只有1个“智慧数”； 当时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每 个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有 个“智慧数”，且第 个数不是“智慧数”． 问题解决： 直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是 ． 实际应用： 若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长最大是 ． 【答案】3，6，5，7，5，4，3，2，，84 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，此题难度较大．根据“智慧数”的定义和规律即可解答． 【详解】解：根据定义，最小的“智慧数”是； ∵， ∴11是“智慧数”； ∵， ∴24“智慧数”； 如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，… ∵对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是“智慧数”， ∴依次每4个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有3个“智慧数”，且第2个数不是“智慧数”， ∵， 第2022个“智慧数”是从5开始的第组的第3个数， 第2022个“智慧数”是：， ， 这个直角三角形纸片的周长最大是 (cm)， 故答案为：3，6，5，7，5，4，3，2，，84． 48．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)____________； (2)小晋同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，他的说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（请你继续完成小晋同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时x的值． 【答案】(1)3 (2) 解：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．则， ∴交换个位与百位后得数为：， ，c均为整数， 必为整数． (3)最小值为7，，3，4，6． 【分析】本题主要考查新定义题型、数字规律、整式的加减运算、绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“异数”和的定义求解即可； （2）根据题意可得，交换个位与百位后得数为：，再求得即可解答； （3）根据“异数”的定义，易得、，结合s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）可得的取值有2，3，4，6，9；的最小值，解化简根据绝对值求最小值即可解答． 【详解】（1）解：∵，交换百位数字与个位数字得到673，，则， ∴， ∴． 故答案为3． （2）略 （3）解：，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）， 的取值有2，3，4，6，9； ，， ，， ∴的最小值的最小值，即数轴上x到1和8的距离之和， 当时，，当时，由最小值7； 当时，； 当时，，当时，有最小值7． ∴最小值为7，此时，3，4，6． 题型13 数字类规律探究综合（共3小题） 49．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式 ： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：第四个等式：； （2）解：第n个等式：（为正整数）； （3）解： ． 50．（2026七年级上·全国·专题练习）观察以下等式（参考数据：）： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请观察以上等式，写出第5个等式：________； (2)根据以上等式发现的规律，用含字母的式子表示第个等式：________； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据所列式子得出规律． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 51．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）动脑筋、找规律． 严老师给小米出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在A位置的数是正数 (2)在B和D位置的数是负数 (3)第2026个数是正数，排在对应于C的位置 【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答； （2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答； （3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2026除以4，根据余数的情况确定对应的位置即可． 【详解】（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）， ∴第2026个数是正数，对应的是C的位置． 52．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据所给的等式的形式进行变形可得，即可求解； （3）根据（1）中的规律原式变形为，再结合（2）中的规律可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ； （3）解： 题型14 图形类规律探究综合（共3小题） 53．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； (4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值． （参考：，） 【答案】(1)①② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据新的拆分的一个正方形面积是上一个正方形面积的即可求出①和②的面积． （2）按照裂项法，将看成，看成，看成，，依次进行相加即可求出答案． （3）观察图形，将其正方形拆分成的长方形形状换成三角形的形状即可． （4）按照（2）问的方法计算即可． 【详解】（1）解：①的面积是， ②的面积是． （2）解： ． （3）略 （4）解： 时， ， ， 原式 ． 54．（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 【答案】(1)15 (2)7 (3)①；② 【分析】（1）直接对1到5连续整数求和． （2）先求出x、y、z的值，再代入代数式计算． （3）观察题中给出的式子，归纳得到棋子数的通项表达式，利用裂项相消，中间项全部抵消，简化分数求和． 【详解】（1）解：第5个图案棋子总数： （2）解：由题意得： ，，， ， （3）解：①根据题意得 ， ， ， ， 由此归纳可得：． 当时， ． ②， ， ． 55．（26-27七年级上·陕西·期中）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】（1）根据图1图2的计算方法找到规律求解即可； （2）①根据前三项的规律求解即可；②根据①的规律求解即可． （3）把正方形按分为和两部分，依次类推分割求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ， ，， ②由① 可得； （3）解：由题意画出图形如下： 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的部分分割为和两部分， 第三次将正方形的部分分割为和两部分， 第四次将正方形的部分分割为和两部分， 由分割图形可知． 56．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）已知层的总圆圈个数公式，将时，代入公式即可解答； （）要求第层最左边的数，先通过公式算出前层的总圆圈数为，再用前层总圆圈数加，得到第层最左边的数是； （）先算出层的总圆圈数，确定其中负数、和正数的数量，再计算所有数的绝对值之和，最终结果为． 【详解】（1）解：已知层的总圆圈个数公式为：， 当时，代入公式得： ； （2）解：最底层第层最左边的数前层总圆圈数， 先算前层总圆圈数：； ∴第11层最左边的数是； （3）解：先算层总圆圈数：， 其中个负数，个，个正数， 按题图方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． $ 专题03 期中真题百炼通关（56题14大压轴题型） 拔高·压轴破难 题型1 数轴上的动点问题 题型2 数轴上的恒值问题 题型3 绝对值的最值问题 题型4 绝对值的几何意义 题型5 数轴、绝对值中的新定义问题 题型6 有理数的实际应用题 题型7 有理数运算的新定义问题 题型8 整式加减的化简求值 题型9 整式加减的应用 题型10 整式加减中整体性思维解题 题型11 整式加减的无关型问题（几何类） 题型12 整式加减的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 数轴上的动点问题（共3小题） 【易错】动点右加左减，两点距离用差的绝对值；注意动点到达端点的时间分界，多情况分类讨论，切勿遗漏其中一种情形。 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）综合与实践： 【阅读理解】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数学上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： 【变式应用】 （1）已知点为数轴上任一动点，点对应的数记为，若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为___________； （2）已知点为数轴上任一动点．点对应的数为，若数轴上点位于表示的点与表示2的点之间，则___________； （3）已知点在数轴上分别表示数，四个点在数轴上的位置如图所示（假设点按顺序以，排列，即，若，，，则等于___________． 【拓展提升】 （4）已知点在数轴上分别表示数，一动点从原点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动化4个单位长度，以此类推． ①求运动多少秒后所处的位置到点各点距离之和最短？ ②动点能不能在运动过程中同时经过这5个点？若能，求出从出发到都经过这5个点的最短时间：若不能，请说明理由． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，且满足．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒． (1)，； (2)若点P从A出发的同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度向左移动，点M 是的中点，当M、Q两点的距离为10个单位长度时，求点Q所对应的数； (3)若点P从A出发的同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度向A点移动，Q到达A点后，再立即以每秒3个单位的速度向右移动，M为的中点，N为的中点，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 题型2 数轴上的恒值问题（共3小题） 【易错】先列式化简含动点的代数式，若结果为定值，则变量项系数为 0；注意化简时符号，不要误把常数当作变量项分析 5．（25-26七年级上·江苏·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，． (1)______，______． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头，相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 6．（25-26七年级上·江苏·期中）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．如图，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，b的相反数是，且a、c满足． (1)______；______；______； (2)若点P在数轴上运动，点P到点A、B、C的距离之和的最小值是______． (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，是否存在常数k，使为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 7．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图①，若数轴上点、点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为．如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图②中表示出三点的位置，若将数轴对折，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若在，，处分别有三个动点，其中点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，1秒后点从点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动．设点移动时间为秒 ①当时，求的值． ②是否存在有理数，使得在一定时间段内为定值，如果不存在，请说明理由：如果存在，请直接写出满足条件的的值． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 题型3 绝对值的最值问题（共3小题） 【易错】利用绝对值几何意义，找零点分段；多个绝对值和的最值常在零点处取得，要检验端点，不要直接凭主观判断最值。 9．（25-26六年级上·上海·期中）在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置． (1)如果直线上有台机床，应在何处？ (2)有台机床时，应设在何处？ (3)求的最小值． (4)求的最小值． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． (1)如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． (2)如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： (3)如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 题型4 绝对值的几何意义（共3小题） 【易错】|a−b | 表示数轴 a、b 两点距离；分清 | x−m | 与 | x+m | 对应的点，去掉绝对值要判断正负，不可直接去掉符号。 13．（25-26七年级上·安徽六安·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 14．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 15．（25-26七年级上·河南商丘·期中）七上教材33页的一道题目： 在数轴上点A，B分别表示a，b．对于下列各数a，b：        观察点A，B在数轴上的位置，你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ (1)用文字语言叙述你的发现； (2)的几何意义是数轴上表示数与数______的两点之间的距离； (3)如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，，且点到原点的距离为28，设点所对应数的和是，求的值． 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为． (1)当，时，求A、B两点之间的距离； (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求的值； (3)已知，设点C在数轴上表示的数为x． ①填空：当时，x满足的条件为______， 当时，x满足的条件为______； ②对于，求的最小值及其C点的位置． 题型5 数轴、绝对值中的新定义问题（共3小题） 【易错】读懂题干给出全新规则，转化为数轴与绝对值运算；严格按定义列式，分类讨论，不要套用熟悉旧结论直接解题。 17．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 18．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是_____． 关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，）；点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 19．（25-26七年级上·北京房山·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，，中其中一点是另外两点的美好点？ 20．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 题型6 有理数的实际应用题（共3小题） 【易错】先确定正负基准，理清数量关系；列式仔细处理符号，算出结果后结合现实检验，舍去不符合实际意义的解。 21．（25-26七年级上·吉林·期末）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． 22．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）【素材一】某市居民用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2160度及以下部分 第二档 年用电2161~3600度部分 第三档 年用电3601度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量．用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1 7 8 用电量（度） 480 1720 520 650 【问题解决】 (1)若该用户1月份所用的高峰电量为330度，求该用户1月份应缴电费； (2)若该用户7月份所用的低谷电量为370度，求该用户7月份应缴电费； (3)已知该用户8月份缴纳电费366元，求该用户8月份所用的高峰电的度数． 23．（25-26七年级上·四川达州·期中）好又多超市“国庆”搞促销，对顾客实行优惠购物，规则如下：若顾客一次性购物不超过300元，则每满100立减10元；若顾客一次性购物超过300元，但不超过600元，则按标价给予八折优惠；若顾客一次性购物超过600元，其中600元按上述给予八折优惠，超过600元的部分给予七折优惠． (1)李阿姨在该超市购买了一台标价350元的电饭煲，王阿姨在该超市购买了一台标价850元的微波炉，她们各应付多少元？ (2)张叔叔先后两次去该超市购物，分别付款256元和648元，如果张叔叔一次性购买，则可以节约多少元？ 24．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小忽略不计．假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小和质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A、B两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为______．右挡板E表示的数为______． 任务2 在任务1的位置条件下，当A球以每秒的速度向左匀速运动，请回答下列问题： ①经过______秒，C球第一次撞到左挡板D；②经过______秒，C球第二次撞到左挡板D；③经过______秒，C球第n次（n为正整数）撞到左挡板D． 任务3 在任务1的位置条件下，如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒，B球速度是每秒，试探究经过多长时间A、B两球相撞？相撞时在数轴上所对应的数是多少？ 题型7 有理数运算的新定义问题（共3小题） 【易错】严格依照题目新运算公式替换数值，不能混用常规运算法则；代入后注意括号与负号，分步计算，避免跳步错算。 25．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 26．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【概念学习】定义：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作23，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下5次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如； （2）仿照上面的算式，直接将下列运算写成幂的形式：5； 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ； 【结论应用】 （4）计算：． 27．（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 28．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 题型8 整式加减的化简求值（共3小题） 【易错】先化简再代值，不要直接代入原式；负数、分数代入必须加括号，去括号留意负号，防止漏变括号内项的符号。 29．（25-26七年级上·江西上饶·期末）先化简，再求值：，其中． 30．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 31．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 32．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知式子． (1)当______，______时，此式子的值与字母的取值无关； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求的值． 题型9 整式加减的应用（共3小题） 【易错】读懂实际情境，用整式准确表达数量；列式化简，留意单位，检验代数式是否符合题意，几何应用题注意图形关系。 33．（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 34．（26-27七年级·全国·小升初衔接）材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 35．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 36．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 题型10 整式加减中整体性思维解题（共3小题） 【易错】观察式子凑整体，不必单独求字母；整体变形添括号注意变号，看清倍数关系，不要随意拆分整体代数式。 37．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）化简：； （2）已知，求代数式的值． 【拓展探索】 （3）已知，，，求的值． 38．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 39．（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 40．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，有这样一道题“如果代数式的值为那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的薛同学解题过程如下： 原式 薛同学把作为一个整体求解，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求的值； 【拓展提高】 （2）已知，，求代数式的值； 【知识迁移】 （3）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置不重叠无缝隙，若，请求出图中阴影部分的周长． 题型11 整式加减的无关型问题（几何类）（共3小题） 【易错】结合几何条件列出整式并化简；结果与字母无关，则该项系数为 0，联系图形边长限制，不要忽略几何隐含取值范围。 41．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 42．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______； (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______； ②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 43．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 44．（25-26七年级上·河北衡水·期中）中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 题型12 整式加减的新定义问题（共3小题） 【易错】认真阅读新运算规则，转化为整式加减；替换字母后去括号合并同类项，符号是易错点，做完代入检验结果。 45．（25-26八年级上·广东深圳·期中）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 46．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 47．（2022·山东青岛·一模）定义： 如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵，∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是 ． 提出问题： 如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？ 探究问题： 要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律． 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 情况1：a、b均为奇数，或均为偶数． 分析： ∵a、b均为奇数，或均为偶数 ∴、均为偶数 此时不妨设， 又∵ ∴为4的倍数，即n为4的倍数． 情况2：a、b为一奇数、一偶数． 分析： ∵a、b为一奇数、一偶数 ∴、均为奇数 此时不妨设， 又∵ ∴为奇数，即n为奇数． 综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先举例几组数值较小，容易验证“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类． 情况1：n是奇数 分析 结论 ① 3是“智慧数” ② 5是“智慧数” ③ 7是“智慧数” ④ 9是“智慧数” …… …… …… 情况2：n是4的倍数 分析 结论 ⑤ 8是“智慧数” ⑥ 12是“智慧数” ⑦ 16是“智慧数” ⑧ 20是“智慧数” …… …… …… 情况1：n是奇数 观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数． 猜想：所有奇数都是“智慧数”． 验证：设，（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有奇数（1除外） ∴所有奇数（1除外）都是“智慧数” 应用： 请直接填空：∵11= 2- 2   ∴11是“智慧数” 情况2：n是4的倍数． 观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2． 猜想：所有4的倍数都是“智慧数”． 验证：设（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有4的倍数（4除外） ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数” 应用： 请直接填空：∵24= 2- 2   ∴24“智慧数” 归纳“智慧数”的发现模型： （1）对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是“智慧数”． （2）当时，只有1个“智慧数”； 当时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每 个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有 个“智慧数”，且第 个数不是“智慧数”． 问题解决： 直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是 ． 实际应用： 若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长最大是 ． 48．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)____________； (2)小晋同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，他的说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（请你继续完成小晋同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时x的值． 题型13 数字类规律探究综合（共3小题） 49．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式 ： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： (3)请利用上述规律计算：． 50．（2026七年级上·全国·专题练习）观察以下等式（参考数据：）： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请观察以上等式，写出第5个等式：________； (2)根据以上等式发现的规律，用含字母的式子表示第个等式：________； (3)请利用上述规律计算：． 51．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）动脑筋、找规律． 严老师给小米出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 52．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 题型14 图形类规律探究综合（共3小题） 53．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； (4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值． （参考：，） 54．（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 55．（26-27七年级上·陕西·期中）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 56．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $