专题02 期中真题百炼通关63题20大热考题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题02 期中真题百炼通关（63题20大热考题型） 热考·进阶突破 题型1 正数和负数 题型2 有理数 题型3 数轴相关问题 题型4 数轴上的动点问题 题型5 绝对值非负性 题型6 绝对值几何意义 题型7 有理数大小比较 题型8 有理数四则混合运算 题型9 有理数简便运算 题型10 有理数实际应用 题型11 科学记数法 题型12 代数式及其求值 题型13 单项式相关概念及求解 题型14 多项式相关概念及求解 题型15 整式相关概念及求解 题型16 数字类、图形类规律探索 题型17 整式的加减 题型18 整式的加减中化简求值 题型19 整式加减的应用 题型20 整式加减的规律性计算问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 热考·固本强基 题型1 正数和负数（共3小题） 【易错】相反意义的量只要求意义相反；带负号不一定是负数，0 既非正也非负，审题找准基准量，不要主观判断数的正负。 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案． 【详解】解：在有理数中，是负数的是-2，，-0.7， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 题型2 有理数（共3小题） 【易错】有理数是整数和分数统称，无限不循环小数不是有理数；区分非正数、非负数，注意 0 的归属，不要混淆概念。 4．（26-27七年级上·江苏南通·期中）在，，0，这四个数中，属于正有理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】解：和是负有理数，是正有理数，0既不是正有理数，也不是负有理数， 故选项B符合题意． 5．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）在下列五个数中：，0，，1.21212121……，1.8，正有理数个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】正有理数需同时满足为正数和有理数，以此为标准筛选各数． 【详解】解：是负数，不符合要求； 0不是正数，不符合要求； 是无理数，不符合要求； 是无限循环小数，属于正有理数； 是有限小数，属于正有理数； 综上，正有理数共2个，故答案为C． 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 题型3 数轴相关问题（共3小题） 【易错】数轴原点、正方向、单位长度三要素缺一；有理数都能在数轴表示，但数轴上点不全是有理数，看清方向。 7．（24-25七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示数，，，0，的点，并把这组数从小到大用“＜”号连接起来． 【答案】 各数在数轴上的位置如图所示： ． 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数、比较有理数的大小等知识点，在数轴上表示出题目中的各数是解题的关键．先在数轴上表示出各数，然后依据数轴上右边的数大于左边的数进行比较即可． 【详解】解：略． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则： ①表示0的点与表示的点重合； ②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解． 【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合， 折痕在原点处， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示1的点与表示的点重合， 折痕在处， 表示0的点与表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧）， 则点表示的数是， 点表示的数是． 所以、两点表示的数分别是，2． 9．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②A表示的数是，B表示的数是 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离， （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可； ②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， 又∵数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴折痕处表示的数为0， ∴数轴上数表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， 又∵数轴上数表示的点与数3表示的点关于点1对称， ∴折痕处表示的数为1， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为， 又∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是，． 题型4 数轴上的动点问题（共3小题） 【易错】动点移动，向右加向左减；两点距离用两数之差的绝对值，注意分类讨论，别漏掉动点不同位置情况。 10．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，依次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， ， 数轴上的数2025所对应的点将与圆周上的字母B重合， 故选：B． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是 (2) (3)点D表示的数为2或 (4) 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据点B对齐刻度列式求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可； （4）首先求出，然后根据线段中点的概念找出规律求解即可． 【详解】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2， ； ， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的； （2）∵点B对齐刻度， ∴， ∴， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴ ∴ ∴点D所对应的数为或； （4）点B表示的数是，点C表示的数是2， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 点表示的数为． 12．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 题型5 绝对值非负性（共3小题） 【易错】任意数的绝对值≥0；若几个绝对值相加等于 0，则每一项绝对值都为 0，分别列方程求参数，不可漏项。 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值； （1）根据绝对值和平方的非负性即可得出，即可求解； （2）把代入得出，进而裂项计算即可求解． 【详解】（1）解：∵． ∴ 解得： （2）解：当时 原式 14．（25-26七年级上·江苏·期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足． (1)点A到点B的距离为_________； (2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数． 【答案】(1)8 (2)3或9 【分析】（1）根据，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数； （2）分两种情况：①当点P在线段上时；②当点P在线段延长线上时；分别 求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 即点A表示的数是，点B表示的数是5， ∴ （2）解：分两种情况：①点P在线段之间时，如图， 由 (1)知: ， ∵，, ∴， ∴， ∴点P在数轴上对应的数是3； ②点P在点B右侧时，如图， 由 (1)知: ， ∵，, ∴， ∴， ∴点P在数轴上对应的数是9． 综上所述：点P对应的数为3或9． 【点睛】本题考查数轴、非负数性质，线段和差倍分计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题，注意分类讨论思想的应用． 15．（25-26七年级下·江苏·期中）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：当时，，则原方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、解绝对值方程等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 题型6 绝对值几何意义（共3小题） 【易错】|a−b | 表示数轴上 a、b 两点距离；|x−m | 代表 x 到 m 距离，区分几何含义，不要直接当成普通减法运算。 16．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于______． (2)如果，那么________； (3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是________． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使|，_____． 【答案】(1)5， (2)2或 (3)8 (4)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据题意，计算求解即可； （2）解，得或，然后作答即可； （3）解，得或，解，得或，由题意知当，时，A、B两点间距离最大，计算求解即可； （4）由，可知表示数轴上有理数x所对应的点到和5所对应的点的距离之和，当时，，由，可知时，，计算求解即可；当时，，计算求解即可． 【详解】（1）解：表示和2两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； 故答案为：5，； （2）解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：2或； （3）解：∵， ∴或， 解得或， ∵， ∴或， 解得或， 当，时，A、B两点间的最大距离是8， 故答案为：8； （4）解：∵， ∴表示数轴上有理数x所对应的点到和5所对应的点的距离之和， ∴当时，， ∵， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴x的值为或， 故答案为：或． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)基本应用：已知，x的值为___________． (2)探究问题：如图，数轴上，点、，分别表示数，，． 因为 的几何意义是 线段与的长度之和， 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是________ ； (3)解决问题： ①直接写出式子 的最小值为______ ； ②若满足时，则的值是______ ； ③当为______时，代数式的最小值是．（直接写出结果） 【答案】(1)或 (2) (3)①；②或；③或 【分析】本题考查数轴和绝对值，熟练运用绝对值求数轴上两点之间的距离是本题的关键． （1）根据绝对值的几何意义可得表示到的距离等于的点表示的数，即可求解； （2）根据题意直接解答即可； （3）①根据的几何意义求其最小值即可； ②分别求解当和时对应的值即可； ③根据其几何意义，的最小值为和3对应的点之间的距离，利用数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，则表示到的距离等于的点表示的数， ∴ ∴或， 故答案为：或． （2）解：当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是3． 故答案为：3． （3）①∵ 的几何意义是数轴上对应的点与对应的点之间的距离与对应的点与4对应的点之间的距离之和， ∴当对应的点在和4对应的点之间时，有最小值，最小值为6． 故答案为：6； ②∵， ∴根据①可知，对应的点不在和4对应的点之间． ∴当对应的点在对应的点左侧时，即当 时， ，解得； 当对应的点在4对应的点右侧时，即当时，，解得． 综上，或5， 故答案为：或5； ③∵的最小值是2，即数轴上表示数的点到表示数3的点与到表示数的点的距离和的最小值为2， 当x在和3之间时，取得最小值， 即， ∴或． 故答案为：或． 题型7 有理数大小比较（共3小题） 【易错】正数大于 0，负数小于 0；两个负数比较，绝对值大的数反而小，比较负数时，不要忽略负号的影响。 19．（25-26六年级下·上海闵行·期末）比较大小：______.（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键. 【详解】解：，， 故， 故答案为：． 20．（2023·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 21．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 题型8 有理数四则混合运算（共3小题） 【易错】遵循先乘除后加减，同级运算从左向右；去括号注意符号，负号去括号，括号内各项都变号，忌跳步。 22．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算与运算律，熟记运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数的加法运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加法运算进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘法运算进行计算即可求解； （4）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解； （5）利用有理数的乘法分配律计算即可得； （6）利用有理数的除法法则计算即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 23．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)2 (2) (3)2 (4) (5) (6)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． （1）先化简多重符号，再进行加减运算； （2）先化简多重符号和绝对值，再进行加减运算； （3）先化简符号并将除法转化为乘法，再根据乘法的运算法则计算即可； （4）运用乘法分配律进行简便计算； （5）先化简符号并将除法转化为乘法，再计算乘法，最后算减法即可． （6）逆用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 24．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减乘除运算法则，以及运算顺序． （1）按照从左到右的运算，相反数和为0，计算即可； （2）先化简式子，再计算即可； （3）直接运用乘法的分配律计算； （4）先化简绝对值，再算乘除最后算加减，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型9 有理数简便运算（共3小题） 【易错】灵活使用运算律，分配律要乘遍括号内每一项；拆分带分数留意符号，不要漏乘，不要随便改变原式符号。 25．（25-26七年级上·四川自贡·期中）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数乘法分配律，是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（25-26七年级上·山东聊城·期中）用简便方法计算（过程要有体现简便的步骤）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法和乘法运算律，掌握相关运算法则和运算律简便计算是解题关键． （1）将小数化为分数，再利用加法交换律和结合律简便计算即可； （2）先把除法换成乘法，再利用乘法分配律展开计算，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 27．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．应用运算律简便运算是解题关键． 题型10 有理数实际应用（共3小题） 【易错】确定正负的基准，读懂题干数量关系；列式计算后，结合现实意义检验结果，舍去不符合实际的答案。 28．（26-27七年级上·江苏南京·期中）苏州市民小宋将自己家的大白菜放到网上销售．计划每天销售100千克，但每天实际销售量与计划销售量相比有出入．若超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负．下表是小宋第一周白菜的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 白菜销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小宋第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小宋第一周白菜的平均每天销量是多少千克？ (3)若小宋按元/千克进行白菜销售，白菜的种植成本和运费等为2元/千克，则小宋第一周销售白菜获利多少元？ 【答案】(1)25千克. (2)105千克. (3)882元. 【分析】（1）确定销量最多与最少一天的偏差值，计算二者的差值，即可得到结果.； （2）先计算一周的总销量，再计算平均日销量即可； （3）用一周总销量乘以每千克利润 即可． 【详解】（1）解：小宋第一周销售白菜最多的一天是周日，最少的一天是周四， （千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售25千克； （2）解：（千克）， （千克）， 所以小宋第一周白菜的平均每天销量是105千克； （3）解：（元）， 答：小宋第一周销售白菜获利882元． 29．（26-27七年级上·江苏南京·期中）如何制定奶茶订购方案？ 素材1：为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学，现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 2.5元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2：刘老师是该外卖的会员，平台赠送他以下6个红包：    问题解决： (1)若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ (2)若刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ (3)请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量：电话订购__________杯；外卖订购__________杯． ②计算订购方案的总费用． 【答案】(1)630元 (2)667元 (3)①30；13；②623.5元（答案不唯一） 【分析】（1）通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，据此列式计算即可作答； （2）结合刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，据此列式计算即可作答； （3）根据题意，制定一个奶茶订购方案为电话订购30杯，送3杯，则外卖订购杯，再结合红包类型尽可能多使用红包减少费用，据此列式计算即可作答． 【详解】（1）解：通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费： （元）， 答：需花费630元． （2）解：刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费： （元）， 答：需花费667元． （3）解：根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元， 则可以选择电话订购30杯，送3杯， 此时花费（元）， 则外卖订购杯； 通过某外卖分五次下单这13杯奶茶， 其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”， 则（元）， 订购总费用为（元）． 电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元． 30．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 【答案】(1)9个 (2)2508个 (3)73分 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的混合运算．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数意义，用最大值减去最小值计算即可； （2）先计算出实际数量与标准数量的差值的和，再加上每人每分钟50个乘人数即可； （3）结合计分方式列式计算即可． 【详解】（1）解：（个）， 答：50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做9个； （2）解： （个）， 答：该班所有同学一分钟共做仰卧起坐2508个； （3）解： （分）， 答：该班50名学生的总积分为73分． 题型11 科学记数法（共3小题） 31．（2025·江苏连云港·一模）电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止年月日，电影的全球票房已突破亿，将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：亿， 故选：C． 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在第七次全国人口普查中，某省常住人口约为84700000人，将84700000用科学记数法表示应为________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某地数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的倍，达到，则的值为______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查了科学记数法-表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键． 根据把一个较大的数记成的形式，其中a是整数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 题型12 代数式及其求值（共3小题） 【易错】代数式不含等号不等号；代入负数、分数必须加括号，优先化简再代值，乘方代入极易漏掉括号出错。 34．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3． (1)______，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)0；1； (2)4或 【分析】（1）根据相反数，倒数的定义，绝对值的性质，即可求解； （2）分两种情况代入计算即可． 【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3， ∴，，； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 综上，的值为4或． 35．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后把代入得，进而利用整体思想可进行求解． 【详解】解：由题意得：当时，，则有 当时， ； 故答案为． 36．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． (1)设，则___________（用含的代数式表示）． (2)根据，得到，所以的值为___________． (3)尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2023 (3)1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是将代数式变形为含已知式子的形式，利用整体代入简化计算． （1）将代数式变形为含的形式； （2）代入的值计算结果； （3）先由已知式变形得的值，再化简代数式并整体代入． 【详解】（1）解：由，得， 则. 故答案为：. （2）解：由，得，代入得 故答案为：2023． （3）解：由（），两边除以得： 化简，代入得：． 答：代数式的值为. 题型13 单项式相关概念及求解（共3小题） 【易错】单项式为数字字母乘积，分母不能含字母；系数包含前面符号，次数是所有字母指数相加，不算数字指数。 37．（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是______，次数是______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 38．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若单项式的系数为，次数为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根据项式系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 39．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，分别找出代数式的符号、系数绝对值、的次数对应的规律，再将代入规律计算即可． 【详解】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 题型14 多项式相关概念及求解（共3小题） 【易错】多项式由单项式相加构成；每一项连带前面符号，多项式次数取最高次项次数，分清项数与次数概念。 40．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 41．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式恒等的性质，解题的关键是根据对应项的系数相等建立方程求解． 先对多项式进行合并同类项；再根据恒等条件，让对应项的系数分别相等，求出、、的值；最后代入计算的值． 【详解】解： ∵ 该多项式与恒等 ∴ ，解得 ∴ ，解得 ∴ ，即， ． 故答案为：． 42．（24-25七年级上·广东汕头·期中）已知下列代数式：①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧． (1)单项式有：__________；多项式有：__________（只填序号）； (2)将代数式按字母x的降幂重新排列． 【答案】(1)①②④⑥；③⑤⑧ (2) 【分析】本题考查单项式，多项式，多项式的排列，熟练掌握相关定义，是解题的关键；　 （1）根据单项式的定义，数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可； （2）按要求将多项式重新排列即可． 【详解】（1）解：由题意，单项式有①②④⑥；多项式有③⑤⑧； （2）由题意，按字母x的降幂重新排列为． 题型15 整式相关概念及求解（共3小题） 【易错】整式包含单项式与多项式，分母含有字母的式子不是整式；区分系数、次数，判断类别时留意隐藏负号。 43．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 44．（25-26七年级上·全国·期中）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】 解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【详解】略 45．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整式的相关概念，根据单项式的系数，多项式的项数和次数，常数项，整式的概念逐一进行判断即可． 【详解】解：的系数是；故①错误； 多项式是三次三项式；故②错误； 的常数项为；故③错误； 在，，，，0中，整式有，，0，共3个；故④正确； 故选A． 题型16 数字类、图形类规律探索（共3小题） 【易错】列举前几项，对比序号寻找变化规律；归纳出式子后代入检验，不能仅凭猜想下结论，避免以偏概全。 46．（26-27七年级上·陕西西安·期中）已知，，，，…，依此类推，则等于_________． 【答案】 【分析】按递推公式计算前几项，找出循环周期，计算除以周期的余数，根据余数得到对应项的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得数列每项为一个循环周期， ， ． 47．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）观察下列各式： ① ② ③     ……， 探索以上式子的规律： (1)第5个等式是 ； (2)试写出第n个等式，并用所学知识说明第n个等式成立． 【答案】(1) (2) 解：由题意得，第n个等式为， 理由：左边 ， 右边， 左边右边， ． 【分析】（1）由已知等式得出奇数与比它大4的奇数的积与4的和等于这两个奇数中间的奇数的平方即可得； （2）根据以上所得规律列出等式即可得，再利用整式的混合运算验证左右两边是否相等即可． 【详解】（1）解：第5个等式是； （2）略 48．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为_____． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为_____． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为_____ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为，部分③的面积为； （2）由（1）得求的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为，用总面积减去阴影部分面积即可解题； （3）根据材料二两边同时乘以，然后相减解题即可； （4）利用材料二两边同时乘以，然后相减解题即可． 【详解】（1）解：正方形边长为1， 正方形面积为1， ①是边长为1的正方形纸片面积的一半， ①的面积为， 依此类推，②的面积为， ③的面积为； （2）解：求的值， 即为求将图形分割下去空白部分的面积， 此时剩余阴影部分面积为：， ； （3）解：令①， 等式两边同时乘以5，得②， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令①， 等式两边同时乘以4，得②， ②一①得，， ， 即． 题型17 整式的加减（共3小题） 【易错】整式加减核心为去括号、合并同类项；括号前是负号，括号内所有项变号，仅同类项能合并，字母指数不变。 49．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）若与是同类项， (1)______，______； (2)化简多项式； (3)在（1）的条件下，求（2）多项式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，同类项定义，熟练掌握同类项定义，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据同类项定义，进行求解即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵与是同类项， ∴，， ∴，； （2）解： ； （3）解：把，代入得： 原式． 50．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）有一道题目是一个多项式减，小马虎误当成了这个多项式加，结果得到，那么这个多项式是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算是解题的关键． 令原多项式为，先按错误的说法，列出关于的等式，运用去括号，合并同类项即可得到正确的结果． 【详解】解：令原多项式为， 由题意得， 解得 ， 因此， 故答案为：． 51．（25-26七年级上·河北邢台·期中）已知． (1)化简：． (2)已知是2的相反数，是最小的正整数，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，求代数式的值； （1）运用整式运算法则计算化简； （2）将、的值代入求值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：∵是2的相反数， ∴， ∵为最小的正整数， ∴， ∴ ． 题型18 整式的加减中化简求值（共3小题） 【易错】必须先化简整式，再代入数值；负数、分数代入添加括号，不要直接带入原式计算，减少复杂运算失误。 52．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）化简求值：，其中，满足． 【答案】，29． 【分析】本题考查整式的化简与求值，解题的关键在于正确处理括号运算顺序，并利用平方与绝对值的非负性确定未知数的具体取值，最后代入计算．涉及括号的展开、合并同类项以及代数运算．同时给出的条件利用了平方和绝对值的非负性，可解出的具体数值，从而代入化简后的代数式进行计算．解题思路为：先化简原代数式，再根据条件求出的值，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， ． 由题意可知：，， 即，， 原式 ． 53．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）化简与求值： (1)先化简，并求当，时的值． (2)已知，，当x为何值时，． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值与解一元一次方程，解题关键是通过去括号、合并同类项化简整式，再代入求值；以及通过代入、去括号、移项合并解一元一次方程． （1）先去括号，再合并同类项化简整式，最后代入，计算求值． （2）将代入，去括号、合并同类项得到一元一次方程，再求解方程． 【详解】（1）解： ， ． 当，时，原式． （2）解： ， ． ， ， 解得， 当时，． 54．（25-26七年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 题型19 整式加减的应用（共3小题） 【易错】读懂实际情境，用代数式准确表达数量；列式化简，检验式子合理性，答案要贴合题意，注意单位书写。 55．（25-26七年级上·四川眉山·期中）小梁在洪雅买了一套房，他准备将地面铺地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)用含的式子表示地面的总面积； (2)若铺地砖的费用为元，则当，时，求铺地砖的总费用． 【答案】(1)； (2)元 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，已知字母的值求代数式的值，有理数乘法的实际应用，仔细读图，找出题目中的数量关系是解答本题的关键． ()先表示出客厅面积为，卫生间面积，厨房面积为，卧室面积为，然后相加得出总面积即可； ()将字母的值代入求出()总面积，再乘以单价即可得到总费用． 【详解】（1）解：客厅面积为， 卫生间面积， 厨房面积为， 卧室面积为， 地面总面积为； （2）解：当，时， 地砖的总面积为： 则铺地砖的总费用为：(元)． 56．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，由此即可得． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， ∴大的长方形的边， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∴，即， 将代入得：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 57．（25-26七年级上·河南南阳·期中）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 因为． 显然能被9整除，因此如果能被9整除，那么就能被9整除，所以猜想成立． (1)【举例说明】请写出一个能被9整除的三位数______； (2)【迁移运用】设是一个四位数，如果这个四位数能被3整除，那么需满足什么特征，试说明理由． (3)【类比延伸】若三位数能被11整除，探索、、应满足的条件最正确的是______（填序号）． ①、、均能被11整除②能被11整除③④能被11整除 【答案】(1)108（或，答案不唯一，其他合理答案也可） (2) 解：如果这个四位数能被3整除，需满足能被3整除，理由如下： ， 能被3整除，且能被3整除， 能被3整除； (3)④ 【分析】本题考查了数的整除性问题，以及整式加减运算的应用． （1）根据“如果能被9整除，那么就能被9整除，”分析求解，即可解题； （2）类比题干“猜想证明”的过程求解，即可解题； （3）类比题干“猜想证明”的过程求解，即可解题； 【详解】（1）解：根据如果能被9整除，那么就能被9整除， ，且能被9整除， 则能被9整除的三位数可以是（或，答案不唯一，其他合理答案也可）； 故答案为：； （2）略 （3）解： ， 能被11整除，且三位数能被11整除， 、、应满足能被11整除； 故答案为：④． 题型20 整式加减的规律性计算问题（共3小题） 【易错】多写出前几组式子，观察项与序号的联系；归纳通项后回代验证，注意符号周期性变化，防止找错规律。 58．（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第5个等式即可； （2）观察可知，相差为2的两个正整数的积与1的和等于较小的正整数与1的和的平方，据此可得答案； （3）先把每个小括号内的式子通分，再根据（2）所求把对应分数的分子进行替换，进行约分即可得到答案． 【详解】（1）解：依照上述规律，第5个式子为， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 59．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的数字规律，理解题意，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据已知条件得到规律，即可求解第五个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ∴ ． 60．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形（长方形），接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．我们可以利用图形展示的规律将累加式进行化简： 例如：由于，所以． 完成解答： ①类比上面推理将累加式化简为______； ②利用上面的解题方法化简累加式______； ③化简累加式：． 【答案】①；②；③ 【分析】本题考查图形和数字规律； ①参考例题解题过程，得到，据此求解即可； ②参考例题解题过程，先计算，进而即可得解； ③根据，结合前面两问的结果计算即可． 【详解】解：①类比上面推理得到， ∴， 故答案为：； ② ， ∴， 故答案为：； ③∵， ∴ ． 61．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，……，那么： （1）根据规律可知：第6个数是______，是第______个数； （2）根据规律填空：______； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第n个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式中的每一项进行裂项，再利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴第6个数是， ， ∴是第11个数； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：； （3） ． 62．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下列等式，并完成下列问题： 第个：； 第个：； 第个：； 第个：； …… (1)请写出第个等式：________； (2)请用含的式子表示这个规律：________； (3)运用上述结论，计算：（写出必要的解题过程）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． （1）根据规律即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）根据规律，， 由得，即可求解． 【详解】（1）解：第个：； 第个：； 第个：； 第个：； 第5个：， 故答案为：； （2）解：用含的式子表示这个规律： ， 故答案为：； （3）解：则规律得： ， ， 得：， ∴ ． 63．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 【答案】(1)；16；； (2)由于十进制计数法的进位以及估算可知，第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051 【分析】本题考查数字规律探究，解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 （1）观察前几排数字和： 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积．因为从第二排开始，数字和依次是，，，⋯，指数比排数少1．可以发现规律：第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）从第三排到第五排，我们看到杨辉三角中的数与11的连乘有这样的对应关系： 第三排： ； 第四排： ； 第五排： ． 按照前面的规律，第六排对应的式子是 ，从杨辉三角看第六排数字是1、5、10、10、5、1 ． 估算方面：11接近10 ， ，是六位数 ，所以的结果应该是六位数． 十进制计数法方面：在杨辉三角中，这些数字相加时，因为满十要进一 ．像第六排的10，在计算时会产生进位．比如个位相加满十向十位进一，十位相加满十向百位进一等等 ，所以实际结果不是简单按照数字排列得到八位数15101051 ，而是六位数161051 ． 【详解】（1）解：第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）解：第六排杨辉三角中的数字包含10和15等超过9的数，十进制中需向高位进位，导致位数合并。例如：1，5，10，10，5，1中，10变为0并向前进1，最终形成161051（六位数）。 因此，实际结果与预期不符是由于进位导致位数减少。 所以第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051． $ 专题02 期中真题百炼通关（63题20大热考题型） 热考·进阶突破 题型1 正数和负数 题型2 有理数 题型3 数轴相关问题 题型4 数轴上的动点问题 题型5 绝对值非负性 题型6 绝对值几何意义 题型7 有理数大小比较 题型8 有理数四则混合运算 题型9 有理数简便运算 题型10 有理数实际应用 题型11 科学记数法 题型12 代数式及其求值 题型13 单项式相关概念及求解 题型14 多项式相关概念及求解 题型15 整式相关概念及求解 题型16 数字类、图形类规律探索 题型17 整式的加减 题型18 整式的加减中化简求值 题型19 整式加减的应用 题型20 整式加减的规律性计算问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 热考·固本强基 题型1 正数和负数（共3小题） 【易错】相反意义的量只要求意义相反；带负号不一定是负数，0 既非正也非负，审题找准基准量，不要主观判断数的正负。 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 题型2 有理数（共3小题） 【易错】有理数是整数和分数统称，无限不循环小数不是有理数；区分非正数、非负数，注意 0 的归属，不要混淆概念。 4．（26-27七年级上·江苏南通·期中）在，，0，这四个数中，属于正有理数的是（     ） A． B． C．0 D． 5．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）在下列五个数中：，0，，1.21212121……，1.8，正有理数个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 题型3 数轴相关问题（共3小题） 【易错】数轴原点、正方向、单位长度三要素缺一；有理数都能在数轴表示，但数轴上点不全是有理数，看清方向。 7．（24-25七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示数，，，0，的点，并把这组数从小到大用“＜”号连接起来． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 9．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 题型4 数轴上的动点问题（共3小题） 【易错】动点移动，向右加向左减；两点距离用两数之差的绝对值，注意分类讨论，别漏掉动点不同位置情况。 10．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 11．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 12．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 题型5 绝对值非负性（共3小题） 【易错】任意数的绝对值≥0；若几个绝对值相加等于 0，则每一项绝对值都为 0，分别列方程求参数，不可漏项。 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知． (1)求，的值； (2)求的值． 14．（25-26七年级上·江苏·期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足． (1)点A到点B的距离为_________； (2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数． 15．（25-26七年级下·江苏·期中）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 题型6 绝对值几何意义（共3小题） 【易错】|a−b | 表示数轴上 a、b 两点距离；|x−m | 代表 x 到 m 距离，区分几何含义，不要直接当成普通减法运算。 16．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于______． (2)如果，那么________； (3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是________． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使|，_____． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)基本应用：已知，x的值为___________． (2)探究问题：如图，数轴上，点、，分别表示数，，． 因为 的几何意义是 线段与的长度之和， 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是________ ； (3)解决问题： ①直接写出式子 的最小值为______ ； ②若满足时，则的值是______ ； ③当为______时，代数式的最小值是．（直接写出结果） 题型7 有理数大小比较（共3小题） 【易错】正数大于 0，负数小于 0；两个负数比较，绝对值大的数反而小，比较负数时，不要忽略负号的影响。 19．（25-26六年级下·上海闵行·期末）比较大小：______.（填“”、“”或“”） 20．（2023·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 题型8 有理数四则混合运算（共3小题） 【易错】遵循先乘除后加减，同级运算从左向右；去括号注意符号，负号去括号，括号内各项都变号，忌跳步。 22．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 23．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 24．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)． (2) (3)． (4)． 题型9 有理数简便运算（共3小题） 【易错】灵活使用运算律，分配律要乘遍括号内每一项；拆分带分数留意符号，不要漏乘，不要随便改变原式符号。 25．（25-26七年级上·四川自贡·期中）简便运算： (1)； (2)． 26．（25-26七年级上·山东聊城·期中）用简便方法计算（过程要有体现简便的步骤）： (1)； (2)． 27．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）简便计算： (1)； (2)． 题型10 有理数实际应用（共3小题） 【易错】确定正负的基准，读懂题干数量关系；列式计算后，结合现实意义检验结果，舍去不符合实际的答案。 28．（26-27七年级上·江苏南京·期中）苏州市民小宋将自己家的大白菜放到网上销售．计划每天销售100千克，但每天实际销售量与计划销售量相比有出入．若超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负．下表是小宋第一周白菜的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 白菜销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小宋第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小宋第一周白菜的平均每天销量是多少千克？ (3)若小宋按元/千克进行白菜销售，白菜的种植成本和运费等为2元/千克，则小宋第一周销售白菜获利多少元？ 29．（26-27七年级上·江苏南京·期中）如何制定奶茶订购方案？ 素材1：为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学，现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 2.5元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2：刘老师是该外卖的会员，平台赠送他以下6个红包：    问题解决： (1)若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ (2)若刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ (3)请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量：电话订购__________杯；外卖订购__________杯． ②计算订购方案的总费用． 30．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 题型11 科学记数法（共3小题） 31．（2025·江苏连云港·一模）电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止年月日，电影的全球票房已突破亿，将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在第七次全国人口普查中，某省常住人口约为84700000人，将84700000用科学记数法表示应为________． 33．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某地数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的倍，达到，则的值为______（用科学记数法表示）． 题型12 代数式及其求值（共3小题） 【易错】代数式不含等号不等号；代入负数、分数必须加括号，优先化简再代值，乘方代入极易漏掉括号出错。 34．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3． (1)______，______，______； (2)求的值． 35．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值为_____． 36．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． (1)设，则___________（用含的代数式表示）． (2)根据，得到，所以的值为___________． (3)尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：已知，求代数式的值． 题型13 单项式相关概念及求解（共3小题） 【易错】单项式为数字字母乘积，分母不能含字母；系数包含前面符号，次数是所有字母指数相加，不算数字指数。 37．（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是______，次数是______． 38．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若单项式的系数为，次数为，则________． 39．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 题型14 多项式相关概念及求解（共3小题） 【易错】多项式由单项式相加构成；每一项连带前面符号，多项式次数取最高次项次数，分清项数与次数概念。 40．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 41．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 42．（24-25七年级上·广东汕头·期中）已知下列代数式：①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧． (1)单项式有：__________；多项式有：__________（只填序号）； (2)将代数式按字母x的降幂重新排列． 题型15 整式相关概念及求解（共3小题） 【易错】整式包含单项式与多项式，分母含有字母的式子不是整式；区分系数、次数，判断类别时留意隐藏负号。 43．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 44．（25-26七年级上·全国·期中）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 45．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型16 数字类、图形类规律探索（共3小题） 【易错】列举前几项，对比序号寻找变化规律；归纳出式子后代入检验，不能仅凭猜想下结论，避免以偏概全。 46．（26-27七年级上·陕西西安·期中）已知，，，，…，依此类推，则等于_________． 47．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）观察下列各式： ① ② ③     ……， 探索以上式子的规律： (1)第5个等式是 ； (2)试写出第n个等式，并用所学知识说明第n个等式成立． 48．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为_____． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为_____． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为_____ 题型17 整式的加减（共3小题） 【易错】整式加减核心为去括号、合并同类项；括号前是负号，括号内所有项变号，仅同类项能合并，字母指数不变。 49．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）若与是同类项， (1)______，______； (2)化简多项式； (3)在（1）的条件下，求（2）多项式的值． 50．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）有一道题目是一个多项式减，小马虎误当成了这个多项式加，结果得到，那么这个多项式是______． 51．（25-26七年级上·河北邢台·期中）已知． (1)化简：． (2)已知是2的相反数，是最小的正整数，求（1）中代数式的值． 题型18 整式的加减中化简求值（共3小题） 【易错】必须先化简整式，再代入数值；负数、分数代入添加括号，不要直接带入原式计算，减少复杂运算失误。 52．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）化简求值：，其中，满足． 53．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）化简与求值： (1)先化简，并求当，时的值． (2)已知，，当x为何值时，． 54．（25-26七年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型19 整式加减的应用（共3小题） 【易错】读懂实际情境，用代数式准确表达数量；列式化简，检验式子合理性，答案要贴合题意，注意单位书写。 55．（25-26七年级上·四川眉山·期中）小梁在洪雅买了一套房，他准备将地面铺地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)用含的式子表示地面的总面积； (2)若铺地砖的费用为元，则当，时，求铺地砖的总费用． 56．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为______． 57．（25-26七年级上·河南南阳·期中）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 因为． 显然能被9整除，因此如果能被9整除，那么就能被9整除，所以猜想成立． (1)【举例说明】请写出一个能被9整除的三位数______； (2)【迁移运用】设是一个四位数，如果这个四位数能被3整除，那么需满足什么特征，试说明理由． (3)【类比延伸】若三位数能被11整除，探索、、应满足的条件最正确的是______（填序号）． ①、、均能被11整除②能被11整除③④能被11整除 题型20 整式加减的规律性计算问题（共3小题） 【易错】多写出前几组式子，观察项与序号的联系；归纳通项后回代验证，注意符号周期性变化，防止找错规律。 58．（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 59．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 60．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形（长方形），接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．我们可以利用图形展示的规律将累加式进行化简： 例如：由于，所以． 完成解答： ①类比上面推理将累加式化简为______； ②利用上面的解题方法化简累加式______； ③化简累加式：． 61．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，……，那么： （1）根据规律可知：第6个数是______，是第______个数； （2）根据规律填空：______； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 62．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下列等式，并完成下列问题： 第个：； 第个：； 第个：； 第个：； …… (1)请写出第个等式：________； (2)请用含的式子表示这个规律：________； (3)运用上述结论，计算：（写出必要的解题过程）． 63．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $