第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·提升卷）高一数学沪教版必修第一册

第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．化简__________. 2．若有意义，则实数的取值范围是__________. 3．若，则______． 4．若实数，且，，则_________． 5．方程的解集为__________． 6．已知，则的值为_____． 7．已知，则__________. 8．若方程的两根为、， 则___________． 9．设，，则______. 10．某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 11．课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则______． 12．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 14．函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题：命题①：方程没有实数根；命题②：存在实数，使得当且时，都有．则下列选项中正确的是（      ） A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题 15．在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 16．已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 18．（14分）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 19．（14分）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 20．（18分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知，，为正数，若，求的值． (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数试判断的位数注 21．（18分）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·提升卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1 . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 4 8 . 9. 10 . 11. 12. 8 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C A B B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）原式；……（6分） （2）由，则，， 则.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由题设有可得，故.……（7分） （2）因为，故，故.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则……（6分） （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）解：原式；……（5分） （2）由题意知，令，则， 所以， 所以；……（11分） （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）∵ ∴ ∴……（4分） （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或；……（4分） （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．化简__________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 2．若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 3．若，则______． 【答案】 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 4．若实数，且，，则_________． 【答案】 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. 5．方程的解集为__________． 【答案】 【详解】已知：，根据换底公式可得：， 化简得：，约分整理得：，即：， 因此可得：或，即：或. 故方程的解集为. 故答案为： 6．已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 7．已知，则__________. 【答案】4 【详解】由，整理得， 得，解得，所以. 另解：由题知，则， 利用基本不等式可得， 当且仅当时取等号，解得. 故答案为：4 8．若方程的两根为、， 则___________． 【答案】 【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得， 故. 故答案为：. 9．设，，则______. 【答案】 【详解】由式子有意义可知，且，故，且. 由，，得， 则； 又； ； ； 则原式； 故答案为：. 10．某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 【答案】 【详解】由题意得， ，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为，， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 又结果精确到整数，从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 故答案为：. 11．课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则______． 【答案】 【详解】由题意互不相同，则互不相同. 即互不相同. 由已知， 可得是方程的三个不同的实数根. 由一元三次方程的韦达定理得 ，即①， 由，且为一常数， 则是方程的两不等根， 则由韦达定理可得，②， 联立①②解得. 故答案为：. 12．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________. 【答案】8 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 14．函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题：命题①：方程没有实数根；命题②：存在实数，使得当且时，都有．则下列选项中正确的是（      ） A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题 【答案】A 【详解】因为，所以定义域为，即， 则的值域为， 因为，所以方程没有实数根，故①为真命题； 令，则， 因为，所以， 当时，， 为了满足恒成立，则只需要， 又由于， 即只需要， 即存在满足题意，故②为真命题； 故选：A. 15．在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】B 【详解】由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 16．已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于②，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于③，若，则， 故不成立，错误； 对于④，显然，若均为非正数，显然， 满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，，满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，， 则 ，故， 若，则，， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，综上，，④正确. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【详解】（1）原式；……（6分） （2）由，则，， 则.……（14分） 18．（14分）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 【详解】（1）由题设有可得，故.……（7分） （2）因为，故，故.……（14分） 19．（14分）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则……（6分） （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB.……（14分） 20．（18分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知，，为正数，若，求的值． (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数试判断的位数注 【详解】（1）解：原式；……（5分） （2）由题意知，令，则， 所以， 所以；……（11分） （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为……（18分） 21．（18分）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【详解】（1）∵ ∴ ∴……（4分） （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或；……（4分） （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $