第3章 幂、指数与对数（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020必修第一册

第3章 幂、指数与对数（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，则 ． 2． . 3．若正实数、满足，则的最小值为 ． 4．计算的值为 ． 5．计算： 6．已知且，若，则 . 7． . 8．已知，用a表示为 ． 9．已知，则 ． 10．已知正实数a，b满足，且，则 ． 11．如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，则数学家纳皮尔定义为的对数中，与的对应关系就是，其中e为自然对数的底．若点从线段的中点运动到靠近的四等分点，点同时从运动到，则 ． 12．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：，，），根据以上信息，一张长边长为，厚度为的纸最多能对折 次. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．（    ） A． B．3 C． D． 14．计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 18．（1）； （2）. 19．计算： (1)； (2)． 20．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 21．定义一种新运算“”，. (1)计算，并判断与的大小关系； (2)若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值； (3)已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，则 ． 【答案】 【分析】由对数定义可得答案. 【详解】。 故答案为：. 2． . 【答案】3 【分析】根据对数的运算及算术平方根可求值. 【详解】根据题意. 故答案为：3. 3．若正实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 4．计算的值为 ． 【答案】 【分析】利用对数恒等式、换底公式及运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 5．计算： 【答案】 【分析】利用幂的运算性质，及指对数运算性质即可求解. 【详解】由， 故答案为：5 6．已知且，若，则 . 【答案】10 【分析】利用指对数互化，再借助对数运算性质即可求解. 【详解】由得且，， 所以，即. 故答案为： 7． . 【答案】6 【分析】根据对数的运算及性质求解. 【详解】, 故答案为：6 8．已知，用a表示为 ． 【答案】 【分析】我们关注到所求的与常见对数形式差异较大，首先要用换底公式将其转化为便于计算的形式，再利用对数的运算性质与换底公式，对式子进行合理的拆分，合并和化简，最终实现用来准确表示即可. 【详解】由题意得，由对数换底公式得， . 故答案为： 9．已知，则 ． 【答案】4 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】因为，则， 又， 所以， 所以． 故答案为：4. 10．已知正实数a，b满足，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据指数对数转化，再计算得出，最后结合指数运算计算即可. 【详解】因为正实数a，b满足， 且①，两边取对数则，所以，即得， 所以，所以， 所以，代入①有，即得， 所以，. 故答案为：. 11．如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，则数学家纳皮尔定义为的对数中，与的对应关系就是，其中e为自然对数的底．若点从线段的中点运动到靠近的四等分点，点同时从运动到，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据指数式和对数式的转化得到，然后利用换底公式计算. 【详解】令，则，整理得，即， 令，则，整理得，即， 所以. 故答案为：. 12．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：，，），根据以上信息，一张长边长为，厚度为的纸最多能对折 次. 【答案】8 【分析】根据题意解不等式得到答案. 【详解】由题意， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算性质可得答案. 【详解】． 故选：C. 14．计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据对数运算性质即可得到答案. 【详解】原式. 故选：B. 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数的运算公式及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，且， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 16．已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由题意得：， 所以或，即或， 因为，所以， 即， 取等号条件为，此时， 故选: D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 18．（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）运用对数运算公式及换底公式计算即可. （2）运用完全平方公式及对数运算公式计算即可. 【详解】（1） （2）原式 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 20．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【详解】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 21．定义一种新运算“”，. (1)计算，并判断与的大小关系； (2)若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值； (3)已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据新定义以及对数运算计算可得； （2）先求得的解析式，结合二次函数的值域，进而列不等式求得参数； （3）先化简得出，再根据及计算求解即可. 【详解】（1）因为. 所以. ， ， 所以. （2） ， 令，则问题转化为二次函数在区间上有最小值，且最小值大于0， 因为二次函数过定点， 故只需 解得，而是整数，所以. （3）由题意，不等式， 即，即， 即， 要想满足题意，则必有，则，或.① 令，则， 所以的一个零点在内， 因为解集中的整数恰有4个， 所以4个整数解是， 故的另一个零点在区间内. 所以即② 由①②解得，或. 所以实数的取值范围是或. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $